🧭

Σύνθεση & Ανάλυση Δυνάμεων

Κανόνας παραλληλογράμμου, συνισταμένη δύο δυνάμεων, ανάλυση Fx = Fσυνθ, Fy = Fημθ

Γιατί δύο ρυμουλκά τραβούν ένα πλοίο με σχοινιά που ανοίγουν σε «V»;

Όταν δύο ρυμουλκά τραβούν ένα μεγάλο πλοίο με σχοινιά που σχηματίζουν γωνία, η συνολική δύναμη δεν είναι το άθροισμα των δύο! Όταν οι δυνάμεις δεν είναι στην ίδια ευθεία, προστίθενται διανυσματικά, και ένα μέρος τους «χάνεται» σε πλάγιες συνιστώσες που αλληλοαναιρούνται. Εδώ θα μάθεις τα δύο εργαλεία για δυνάμεις στο επίπεδο: τη σύνθεση και την ανάλυση.

Όταν οι δυνάμεις δεν είναι στην ίδια ευθεία

Στην πράξη οι δυνάμεις σπάνια είναι συγγραμμικές: δύο άνθρωποι τραβούν μια βάρκα με σχοινιά που σχηματίζουν γωνία, το βάρος «τραβάει» ένα κιβώτιο πάνω σε κατηφόρα. Χρειαζόμαστε εργαλεία για δυνάμεις στο επίπεδο.

Σύνθεση δύο δυνάμεων $\vec{F}_1$ , $\vec{F}_2$ με κοινή αρχή γίνεται με τον κανόνα του παραλληλογράμμου: η συνισταμένη $\vec{F}$ είναι η διαγώνιος του παραλληλογράμμου με πλευρές τις δύο δυνάμεις.

Όταν οι δυνάμεις είναι κάθετες μεταξύ τους, το παραλληλόγραμμο γίνεται ορθογώνιο και το μέτρο της συνισταμένης βγαίνει από το Πυθαγόρειο θεώρημα.

$F = \sqrt{F_1^2 + F_2^2} \quad (\vec{F}_1 \perp \vec{F}_2), \qquad \varepsilon\phi\theta = \frac{F_2}{F_1}$

Γρήγορος έλεγχος

Δύο κάθετες μεταξύ τους δυνάμεις έχουν μέτρα $F_1 = 6\ N$ και $F_2 = 8\ N$ . Ποιο είναι το μέτρο της συνισταμένης τους;

Δύο δυνάμεις με τυχαία γωνία

Αν οι $\vec{F}_1$ και $\vec{F}_2$ σχηματίζουν γωνία $\theta$ , το μέτρο της συνισταμένης και η γωνία $\varphi$ που σχηματίζει με την $\vec{F}_1$ δίνονται από:

$F = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2\,\sigma\upsilon\nu\theta}, \qquad \varepsilon\varphi\varphi = \frac{F_2\,\eta\mu\theta}{F_1 + F_2\,\sigma\upsilon\nu\theta}$

Έλεγξε τις ειδικές περιπτώσεις: για $\theta = 0^{\circ}$ βγαίνει $F = F_1 + F_2$ (ομόρροπες), για $\theta = 180^{\circ}$ βγαίνει $F = |F_1 - F_2|$ (αντίρροπες), για $\theta = 90^{\circ}$ το Πυθαγόρειο. Γενικά $|F_1 - F_2| \le F \le F_1 + F_2$ : όσο μεγαλώνει η γωνία, τόσο μικραίνει η συνισταμένη.

Γρήγορος έλεγχος

Δύο δυνάμεις με μέτρα $3 \ \text{N}$ και $4 \ \text{N}$ σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία που μπορούμε να αλλάζουμε. Ποια τιμή ΔΕΝ μπορεί να πάρει το μέτρο της συνισταμένης τους;

Ανάλυση δύναμης σε συνιστώσες

Η ανάλυση είναι η αντίστροφη πορεία: αντικαθιστούμε μία δύναμη $\vec{F}$ με δύο κάθετες συνιστώσες πάνω σε άξονες $x$ , $y$ που διαλέγουμε εμείς. Αν η $\vec{F}$ σχηματίζει γωνία $\theta$ με τον άξονα $x$ :

$F_x = F\sigma\upsilon\nu\theta, \qquad F_y = F\eta\mu\theta$

Γιατί το κάνουμε; Γιατί πάνω σε κάθε άξονα οι δυνάμεις γίνονται συγγραμμικές και προστίθενται με απλή άλγεβρα! Έτσι η σύνθεση πολλών ομοεπίπεδων δυνάμεων γίνεται ρουτίνα: αναλύουμε όλες στους άξονες, αθροίζουμε $\Sigma F_x$ και $\Sigma F_y$ , και ξανασυνθέτουμε με Πυθαγόρειο.

Χρήσιμες τιμές: $\eta\mu 30^{\circ} = \sigma\upsilon\nu 60^{\circ} = 0{,}5$ , $\eta\mu 60^{\circ} = \sigma\upsilon\nu 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\eta\mu 45^{\circ} = \sigma\upsilon\nu 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Δύναμη $F = 10 \ \text{N}$ σχηματίζει γωνία $60^{\circ}$ με τον οριζόντιο άξονα $x$ . Η οριζόντια συνιστώσα της είναι:

Κόλπο μνήμης

«συν = κολλητός». Η συνιστώσα πάνω στον άξονα που ακουμπά τη γωνία $\theta$ (είναι «κολλητός» της) παίρνει συνημίτονο· η άλλη, απέναντι από τη γωνία, παίρνει ημίτονο. Έλεγχος με $\theta = 0^{\circ}$ : όλη η δύναμη πέφτει πάνω στον άξονα, $F\sigma\upsilon\nu 0^{\circ} = F$ ✔

Ήξερες ότι;

Ο κανόνας του παραλληλογράμμου είναι το πρώτο «Πόρισμα» που διατυπώνει ο Νεύτωνας αμέσως μετά τους τρεις νόμους του στα Principia (1687). Τον ίδιο κανόνα χρησιμοποιούν σήμερα οι πιλότοι και οι ναυτικοί για να συνθέσουν την ταχύτητα του σκάφους με την ταχύτητα του ανέμου ή του θαλάσσιου ρεύματος.

Μέθοδος: σύνθεση και ανάλυση

Σχεδίασε τις δυνάμεις με κοινή αρχή και σημείωσε τη γωνία ανάμεσά τους.
Κάθετες δυνάμεις: $F = \sqrt{F_1^2 + F_2^2}$ και $\varepsilon\varphi\varphi = \frac{F_2}{F_1}$ .
Τυχαία γωνία: χρησιμοποίησε τον γενικό τύπο ή ανάλυσε τη μία δύναμη σε συνιστώσες πάνω και κάθετα στην άλλη.
Ανάλυση: διάλεξε άξονες, βρες τη γωνία $\theta$ της δύναμης με τον άξονα $x$ και γράψε $F_x = F\sigma\upsilon\nu\theta$ , $F_y = F\eta\mu\theta$ , με το σωστό πρόσημο για κάθε συνιστώσα.
Έλεγχος: $F_x^2 + F_y^2 = F^2$ , και η συνισταμένη βρίσκεται ανάμεσα σε $|F_1 - F_2|$ και $F_1 + F_2$ .

Παράδειγμα (κάθετες δυνάμεις): Δύο παιδιά τραβούν ένα έλκηθρο με οριζόντια σχοινιά κάθετα μεταξύ τους, με δυνάμεις $F_1 = 30 \ \text{N}$ και $F_2 = 40 \ \text{N}$ . Βρες το μέτρο και την κατεύθυνση της συνισταμένης.

Λύση: $F = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50 \ \text{N}$ .

Γωνία με την $F_1$ : $\varepsilon\varphi\varphi = \frac{F_2}{F_1} = \frac{40}{30} = \frac{4}{3}$ , δηλαδή $\varphi \approx 53^{\circ}$ . Η συνισταμένη είναι πιο κοντά στη μεγαλύτερη δύναμη, όπως περιμένουμε.

Παράδειγμα (γωνία 60°): Δύο δυνάμεις $F_1 = 5 \ \text{N}$ και $F_2 = 3 \ \text{N}$ σχηματίζουν γωνία $\theta = 60^{\circ}$ . Βρες τη συνισταμένη.

Λύση: $F = \sqrt{25 + 9 + 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 0{,}5} = \sqrt{49} = 7 \ \text{N}$ .

Γωνία με την $F_1$ : $\varepsilon\varphi\varphi = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{5 + 3 \cdot 0{,}5} = \frac{1{,}5\sqrt{3}}{6{,}5} \approx 0{,}40$ , δηλαδή $\varphi \approx 22^{\circ}$ .

Έλεγχος με ανάλυση: κατά μήκος της $F_1$ έχουμε $5 + 3\sigma\upsilon\nu 60^{\circ} = 6{,}5 \ \text{N}$ και κάθετα $3\eta\mu 60^{\circ} = 1{,}5\sqrt{3} \ \text{N}$ · $\sqrt{6{,}5^2 + (1{,}5\sqrt{3})^2} = \sqrt{42{,}25 + 6{,}75} = 7 \ \text{N}$ ✔

Γρήγορος έλεγχος

Δύναμη $F = 20 \ \text{N}$ αναλύεται σε δύο κάθετες συνιστώσες. Αν η μία είναι $F_x = 12 \ \text{N}$ , η άλλη είναι:

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Σε σώμα ασκούνται δύο ομοεπίπεδες δυνάμεις με κοινό σημείο εφαρμογής, $F_1 = 9 \ \text{N}$ και $F_2 = 10 \ \text{N}$ , που σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία $\theta$ με $\sigma\upsilon\nu\theta = 0{,}6$ και $\eta\mu\theta = 0{,}8$ .

Δεδομένα: $F_1 = 9 \ \text{N}$ , $F_2 = 10 \ \text{N}$ , $\sigma\upsilon\nu\theta = 0{,}6$ , $\eta\mu\theta = 0{,}8$ .

Ζητούμενα: α) οι συνιστώσες της $F_2$ πάνω και κάθετα στη διεύθυνση της $F_1$ , β) το μέτρο της συνισταμένης, γ) η γωνία της συνισταμένης με την $F_1$ , δ) η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή που θα μπορούσε να πάρει η συνισταμένη αν αλλάζαμε τη γωνία.

Λύση: α) Με άξονα $x$ κατά την $F_1$ : $F_{2x} = 10 \cdot 0{,}6 = 6 \ \text{N}$ και $F_{2y} = 10 \cdot 0{,}8 = 8 \ \text{N}$ .

β) $\Sigma F_x = 9 + 6 = 15 \ \text{N}$ , $\Sigma F_y = 8 \ \text{N}$ , άρα $F = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17 \ \text{N}$ . Με τον γενικό τύπο: $\sqrt{81 + 100 + 2 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 0{,}6} = \sqrt{289}$ ✔

γ) $\varepsilon\varphi\varphi = \frac{8}{15}$ , δηλαδή $\varphi \approx 28^{\circ}$ .

δ) Μέγιστη $9 + 10 = 19 \ \text{N}$ (ομόρροπες), ελάχιστη $10 - 9 = 1 \ \text{N}$ (αντίρροπες).

Απάντηση: α) $6 \ \text{N}$ και $8 \ \text{N}$ β) $17 \ \text{N}$ γ) $\varepsilon\varphi\varphi = \frac{8}{15}$ δ) $19 \ \text{N}$ και $1 \ \text{N}$ .

Πρόκληση

Δύο άνθρωποι, «ένας» άνθρωπος. Μια βάρκα κινείται στον άξονα ενός στενού καναλιού. Δύο φίλοι, ένας σε κάθε όχθη, την τραβούν με σχοινιά. Κάθε σχοινί ασκεί $F = 100 \ \text{N}$ και σχηματίζει γωνία $60^{\circ}$ με τον άξονα του καναλιού, συμμετρικά. (α) Πόση είναι η συνισταμένη; (β) Με ποια γωνία θα έπρεπε να τραβούν για συνισταμένη $160 \ \text{N}$ ; (Δίνεται $\sigma\upsilon\nu 37^{\circ} \approx 0{,}8$ .) (γ) Αν τραβούσε μόνο ο ένας (πάλι με $60^{\circ}$ ), τι θα γινόταν;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Άξονας $x$ κατά μήκος του καναλιού, $y$ κάθετα σε αυτό.

(α) Οι συνιστώσες $y$ είναι αντίθετες ( $\pm F\eta\mu 60^{\circ}$ ) και αλληλοεξουδετερώνονται. Στον $x$ : $\Sigma F_x = 2F\sigma\upsilon\nu 60^{\circ} = 2 \cdot 100 \cdot 0{,}5 = 100 \ \text{N}$ . Δύο άνθρωποι μαζί «αποδίδουν» όσο ένας που τραβάει ευθεία!

(β) $2 \cdot 100 \cdot \sigma\upsilon\nu\theta = 160 \Rightarrow \sigma\upsilon\nu\theta = 0{,}8 \Rightarrow \theta \approx 37^{\circ}$ . Μικρότερη γωνία, μεγαλύτερη «χρήσιμη» συνιστώσα.

(γ) $F_x = 100 \cdot 0{,}5 = 50 \ \text{N}$ κατά μήκος, αλλά και $F_y = 100 \cdot \eta\mu 60^{\circ} \approx 87 \ \text{N}$ πλάγια: η βάρκα θα έπεφτε στην όχθη.

Απάντηση: $100 \ \text{N}$ · περίπου $37^{\circ}$ · με έναν μόνο, η πλάγια συνιστώσα σπρώχνει τη βάρκα στην όχθη.

Συνηθισμένα λάθη

Αριθμητική πρόσθεση μέτρων: $6 \ \text{N}$ και $8 \ \text{N}$ δεν δίνουν $14 \ \text{N}$ αν δεν είναι ομόρροπες. Διόρθωση: σύνθεση με συνιστώσες ή Πυθαγόρειο.
Ανταλλαγή ημ/συν: Διόρθωση: η συνιστώσα πάνω στον άξονα που σχηματίζει τη γωνία παίρνει συνημίτονο· στο κεκλιμένο, η παράλληλη στο επίπεδο παίρνει $\eta\mu\phi$ .
Λάθος γωνία στον γενικό τύπο: η $\theta$ είναι η γωνία ανάμεσα στις δύο δυνάμεις με κοινή αρχή, όχι η γωνία με τον ορίζοντα.
Ξεχασμένα πρόσημα συνιστωσών: συνιστώσα που δείχνει προς τα αρνητικά του άξονα μπαίνει με μείον.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Σύνθεση δύο δυνάμεων: κανόνας του παραλληλογράμμου· $F = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2\sigma\upsilon\nu\theta}$ .
Κάθετες δυνάμεις: $F = \sqrt{F_1^2 + F_2^2}$ , $\varepsilon\varphi\varphi = \frac{F_2}{F_1}$ .
Πάντα $|F_1 - F_2| \le F \le F_1 + F_2$ .
Ανάλυση: $F_x = F\sigma\upsilon\nu\theta$ , $F_y = F\eta\mu\theta$ ( $\theta$ η γωνία με τον άξονα $x$ ).

Όταν οι δυνάμεις δεν είναι στην ίδια ευθεία

Σύνθεση δύο δυνάμεων

\vec{F}_1

\vec{F}_2

με κοινή αρχή γίνεται με τον κανόνα του παραλληλογράμμου: η συνισταμένη

\vec{F}

είναι η διαγώνιος του παραλληλογράμμου με πλευρές τις δύο δυνάμεις.