🔀

Κανόνες του Kirchhoff

Κανόνας των κόμβων, κανόνας των βρόχων, κυκλώματα με διακλαδώσεις

Γιατί με νοιάζει;

Όταν «μπαταριάζεις» ένα αυτοκίνητο με ξεφορτισμένη μπαταρία, συνδέεις δύο πηγές μεταξύ τους και με τη μίζα. Πόσο ρεύμα δίνει η καθεμιά; Πόσο φορτίζει η μία την άλλη; Ο απλός νόμος του Ohm δεν αρκεί σε κυκλώματα με διακλαδώσεις και πολλές πηγές. Χρειάζεσαι δύο κανόνες, που δεν είναι παρά η διατήρηση του φορτίου και της ενέργειας.

Οι δύο κανόνες του Kirchhoff

Στα σύνθετα κυκλώματα με διακλαδώσεις, δύο απλοί κανόνες αρκούν για να «λογιστικοποιήσεις» τα πάντα. Δεν είναι νέοι νόμοι της φύσης — είναι η διατήρηση του φορτίου και η διατήρηση της ενέργειας ντυμένες με ρούχα κυκλώματος.

1ος κανόνας (κανόνας των κόμβων)

Κόμβος είναι κάθε σημείο του κυκλώματος όπου συναντώνται τρεις ή περισσότεροι αγωγοί. Επειδή στον κόμβο δεν συσσωρεύεται ούτε χάνεται φορτίο:

$\sum I_{\varepsilon\iota\sigma} = \sum I_{\varepsilon\xi}$

Όσο ρεύμα μπαίνει σε έναν κόμβο, τόσο βγαίνει — όπως σε μια διασταύρωση σωλήνων το νερό που φτάνει ισούται με το νερό που φεύγει. Τη σχέση $I = I_1 + I_2$ της παράλληλης σύνδεσης την έχεις ήδη χρησιμοποιήσει: ήταν ο κανόνας των κόμβων εν δράσει.

2ος κανόνας (κανόνας των βρόχων)

Βρόχος είναι κάθε κλειστή διαδρομή μέσα στο κύκλωμα. Αν την περιδιαβείς ολόκληρη και γυρίσεις στο σημείο εκκίνησης, επιστρέφεις στο ίδιο δυναμικό — άρα το αλγεβρικό άθροισμα των μεταβολών δυναμικού κατά μήκος του βρόχου είναι μηδέν:

$\sum V = 0$

Ισοδύναμα: το άθροισμα των ΗΕΔ των πηγών του βρόχου ισούται με το άθροισμα των πτώσεων τάσης $IR$ . Ο νόμος του Ohm για κλειστό κύκλωμα, $\mathcal{E} = IR + Ir$ , είναι ακριβώς ο κανόνας των βρόχων στο απλούστερο κύκλωμα — και η σχέση $V = V_1 + V_2$ της σύνδεσης σε σειρά είναι το ίδιο πράγμα από άλλη σκοπιά.

Κόλπο μνήμης

«Κόμβος = λογιστήριο φορτίου, βρόχος = βόλτα στο βουνό.» Όσο ρεύμα μπαίνει σε έναν κόμβο, τόσο βγαίνει — το φορτίο δεν χάνεται. Κι όταν κάνεις έναν πλήρη γύρο σε βρόχο, γυρίζεις στο ίδιο υψόμετρο (δυναμικό): όσο ανέβηκες στις πηγές, τόσο κατέβηκες στις αντιστάσεις, άρα $\sum V = 0$ .

Καθώς ρυθμίζεις τάση και αντίσταση, κάνε νοερά τον γύρο του κυκλώματος: η «ανηφόρα» δυναμικού που προσφέρει η πηγή ξοδεύεται ολόκληρη στις «κατηφόρες» πάνω στις αντιστάσεις — θα ανακαλύψεις ότι το άθροισμα των μεταβολών δυναμικού σε κάθε κλειστή διαδρομή βγαίνει πάντα μηδέν.

$\sum I_{\varepsilon\iota\sigma} = \sum I_{\varepsilon\xi}, \qquad \sum V = 0 \ (\text{σε κάθε βρόχο}), \qquad \sum \mathcal{E} = \sum IR$

Γρήγορος έλεγχος

Σε κόμβο κυκλώματος καταλήγουν δύο ρεύματα $I_1 = 3 \ \text{A}$ και $I_2 = 2 \ \text{A}$ , ενώ από τον κόμβο αναχωρεί ένα μόνο ρεύμα $I_3$ . Πόσο είναι το $I_3$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Σε κλειστό βρόχο, πηγή με ΗΕΔ $\mathcal{E} = 12 \ \text{V}$ τροφοδοτεί δύο αντιστάτες σε σειρά. Αν στον πρώτο η τάση είναι $V_1 = 7 \ \text{V}$ και η εσωτερική αντίσταση της πηγής είναι αμελητέα, η τάση στον δεύτερο είναι:

Μέθοδος: εφαρμογή των κανόνων του Kirchhoff

Σε κάθε κλάδο σχεδίασε ένα ρεύμα με αυθαίρετη φορά.
Γράψε τον κανόνα των κόμβων (σε κύκλωμα με $k$ κόμβους αρκούν $k - 1$ εξισώσεις).
Διάλεξε βρόχους και φορά διαγραφής. Περνώντας αντιστάτη κατά τη φορά του ρεύματος το δυναμικό πέφτει κατά $IR$ · περνώντας πηγή από τον αρνητικό στον θετικό πόλο ανεβαίνει κατά $\mathcal{E}$ .
Γράψε $\sum V = 0$ για κάθε βρόχο — ισοδύναμα, άθροισμα ΗΕΔ ίσο με άθροισμα πτώσεων τάσης $IR$ .
Λύσε το σύστημα. Αρνητικό ρεύμα δεν είναι λάθος: σημαίνει ότι η πραγματική φορά είναι αντίθετη από αυτή που υπέθεσες.

Παράδειγμα (κόμβος με τέσσερις αγωγούς): Σε έναν κόμβο καταλήγουν τέσσερις αγωγοί. Από τους δύο εισέρχονται ρεύματα $5 \ \text{A}$ και $1{,}5 \ \text{A}$ , ενώ από τον τρίτο εξέρχεται ρεύμα $2 \ \text{A}$ . Τι ρεύμα διαρρέει τον τέταρτο αγωγό και με ποια φορά;

Λύση: Κανόνας κόμβων: τα εισερχόμενα είναι $5 + 1{,}5 = 6{,}5 \ \text{A}$ . Αν ο τέταρτος αγωγός διαρρέεται από ρεύμα $I_4$ που εξέρχεται:

$6{,}5 = 2 + I_4 \Rightarrow I_4 = 4{,}5 \ \text{A}$

Θετικό, άρα όντως εξέρχεται από τον κόμβο. Αν είχαμε υποθέσει ότι εισέρχεται, θα βρίσκαμε $-4{,}5 \ \text{A}$ — ίδια πληροφορία. ✔

Άσκηση (παράλληλοι κλάδοι): Ιδανική πηγή $\mathcal{E} = 12 \ \text{V}$ τροφοδοτεί δύο αντιστάτες $R_1 = 4 \ \Omega$ και $R_2 = 6 \ \Omega$ συνδεδεμένους παράλληλα. Με τους κανόνες του Kirchhoff να βρεθούν τα ρεύματα των κλάδων και το ολικό ρεύμα.

Λύση: Βρόχος πηγή– $R_1$ : $\mathcal{E} = I_1R_1 \Rightarrow I_1 = \frac{12}{4} = 3 \ \text{A}$ .

Βρόχος πηγή– $R_2$ : $\mathcal{E} = I_2R_2 \Rightarrow I_2 = \frac{12}{6} = 2 \ \text{A}$ .

Κόμβος: $I = I_1 + I_2 = 5 \ \text{A}$ .

Έλεγχος στον βρόχο $R_1$ – $R_2$ (χωρίς πηγή): $I_1R_1 - I_2R_2 = 12 - 12 = 0$ ✔ — ο κανόνας των βρόχων ισχύει και σε βρόχους χωρίς πηγή.

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Δύο πηγές με αμελητέα εσωτερική αντίσταση, $\mathcal{E}_1 = 12 \ \text{V}$ και $\mathcal{E}_2 = 6 \ \text{V}$ , συνδέονται σε κύκλωμα τριών κλάδων ανάμεσα στους κόμβους Α και Β: στον αριστερό κλάδο η $\mathcal{E}_1$ σε σειρά με $R_1 = 2 \ \Omega$ , στον δεξιό η $\mathcal{E}_2$ σε σειρά με $R_2 = 2 \ \Omega$ , και στον μεσαίο μόνο ο αντιστάτης $R_3 = 4 \ \Omega$ . Οι θετικοί πόλοι και των δύο πηγών είναι στραμμένοι προς τον κόμβο Α.

Δεδομένα: $\mathcal{E}_1 = 12 \ \text{V}$ , $\mathcal{E}_2 = 6 \ \text{V}$ , $R_1 = R_2 = 2 \ \Omega$ , $R_3 = 4 \ \Omega$ .

Ζητούμενα: τα ρεύματα των τριών κλάδων και η πραγματική φορά τους.

Λύση: Υποθέτουμε ότι το $I_1$ διαρρέει την $\mathcal{E}_1$ προς το Α, το $I_2$ διαρρέει την $\mathcal{E}_2$ προς το Α και το $I_3$ διαρρέει τον $R_3$ από το Α προς το Β.

Κόμβος Α: $I_1 + I_2 = I_3$ .

Αριστερός βρόχος ( $\mathcal{E}_1$ , $R_1$ , $R_3$ ): $\mathcal{E}_1 = I_1R_1 + I_3R_3 \Rightarrow 12 = 2I_1 + 4I_3$ .

Δεξιός βρόχος ( $\mathcal{E}_2$ , $R_2$ , $R_3$ ): $\mathcal{E}_2 = I_2R_2 + I_3R_3 \Rightarrow 6 = 2I_2 + 4I_3$ .

Από τις εξισώσεις των βρόχων: $I_1 = 6 - 2I_3$ και $I_2 = 3 - 2I_3$ . Αντικατάσταση στον κόμβο:

$6 - 2I_3 + 3 - 2I_3 = I_3 \Rightarrow 9 = 5I_3 \Rightarrow I_3 = 1{,}8 \ \text{A}$

Άρα $I_1 = 6 - 3{,}6 = 2{,}4 \ \text{A}$ και $I_2 = 3 - 3{,}6 = -0{,}6 \ \text{A}$ .

Το αρνητικό πρόσημο λέει ότι το $I_2$ έχει φορά αντίθετη από την υποτιθέμενη: μπαίνει στην $\mathcal{E}_2$ από τον θετικό της πόλο — η ισχυρότερη πηγή «φορτίζει» την ασθενέστερη, που εδώ λειτουργεί ως αποδέκτης.

Έλεγχος στον εξωτερικό βρόχο: $\mathcal{E}_1 - \mathcal{E}_2 = I_1R_1 - I_2R_2 \Rightarrow 6 = 4{,}8 + 1{,}2$ ✔

Απάντηση: $I_1 = 2{,}4 \ \text{A}$ (μέσα από την $\mathcal{E}_1$ προς το Α), $I_2 = 0{,}6 \ \text{A}$ (από το Α προς το Β μέσα από την $\mathcal{E}_2$ ), $I_3 = 1{,}8 \ \text{A}$ (από το Α προς το Β μέσα από τον $R_3$ )

Γρήγορος έλεγχος

Λύνοντας κύκλωμα με τους κανόνες του Kirchhoff βρίσκεις για ένα ρεύμα $I_2 = -2 \ \text{A}$ . Τι σημαίνει;

Γρήγορος έλεγχος

Ο κανόνας των κόμβων του Kirchhoff είναι συνέπεια της αρχής διατήρησης:

Ήξερες ότι;

Ο Gustav Kirchhoff διατύπωσε τους κανόνες του το 1845, όταν ήταν ακόμη φοιτητής, περίπου 21 ετών. Αργότερα, μαζί με τον Robert Bunsen, θεμελίωσε τη φασματοσκοπία: την τεχνική που αναγνωρίζει τα χημικά στοιχεία από το φως που εκπέμπουν — ακόμη και σε μακρινά αστέρια.

Στις ασκήσεις με διακλαδώσεις, γράψε ΠΡΩΤΑ τον κανόνα των κόμβων για να μειώσεις τους αγνώστους και ΜΕΤΑ βρόχους. Και πριν από τις πράξεις σημείωσε σε κάθε κλάδο ένα ρεύμα με βέλος: ο ίδιος κλάδος έχει παντού το ίδιο ρεύμα, όσα στοιχεία κι αν περιέχει σε σειρά.

Πρόκληση

Δύο μπαταρίες αυτοκινήτου συνδέονται παράλληλα, θετικός με θετικό πόλο, χωρίς άλλο καταναλωτή: η καλή με $\mathcal{E}_1 = 12{,}6 \ \text{V}$ , $r_1 = 0{,}1 \ \Omega$ και η εξασθενημένη με $\mathcal{E}_2 = 11{,}8 \ \text{V}$ , $r_2 = 0{,}3 \ \Omega$ .

α) Πόσο ρεύμα κυκλοφορεί και προς ποια κατεύθυνση;

β) Πόση είναι η κοινή τάση στους πόλους τους;

γ) Πόση ισχύς γίνεται θερμότητα στις εσωτερικές αντιστάσεις;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

α) Υπάρχει ένας μόνο βρόχος. Οι ΗΕΔ είναι αντίθετες στον βρόχο, οπότε

$\mathcal{E}_1 - \mathcal{E}_2 = I(r_1 + r_2) \Rightarrow I = \frac{12{,}6 - 11{,}8}{0{,}4} = 2 \ \text{A}$

Το ρεύμα βγαίνει από τον θετικό πόλο της καλής και μπαίνει από τον θετικό πόλο της εξασθενημένης: η καλή τη φορτίζει.

β) $V = \mathcal{E}_1 - Ir_1 = 12{,}6 - 0{,}2 = 12{,}4 \ \text{V}$ . Έλεγχος από τη δεύτερη: $V = \mathcal{E}_2 + Ir_2 = 11{,}8 + 0{,}6 = 12{,}4 \ \text{V}$ ✔

γ) $P = I^2(r_1 + r_2) = 4 \cdot 0{,}4 = 1{,}6 \ \text{W}$ .

Συνηθισμένα λάθη

Πρόσημα στους βρόχους: διάλεξε μία φορά διαγραφής και τήρησέ την· πτώση $IR$ όταν περνάς αντιστάτη κατά τη φορά του ρεύματος, άνοδος όταν τον περνάς αντίθετα.
Φόβος για αρνητικό ρεύμα: αν βγει $I < 0$ , μην ξαναλύσεις — απλώς η πραγματική φορά είναι αντίθετη.
Πολλές εξισώσεις κόμβων: σε κύκλωμα με $k$ κόμβους ανεξάρτητες είναι μόνο οι $k - 1$ · η τελευταία δεν δίνει νέα πληροφορία.
Διαφορετικό ρεύμα στον ίδιο κλάδο: στοιχεία σε σειρά στον ίδιο κλάδο διαρρέονται από το ίδιο ρεύμα.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Κανόνας κόμβων (διατήρηση φορτίου): $\sum I_{\varepsilon\iota\sigma} = \sum I_{\varepsilon\xi}$
Κανόνας βρόχων (διατήρηση ενέργειας): $\sum V = 0$ σε κάθε κλειστή διαδρομή, ισοδύναμα $\sum \mathcal{E} = \sum IR$
Οι φορές των ρευμάτων επιλέγονται αυθαίρετα· αρνητική τιμή → η πραγματική φορά είναι αντίθετη
Με $k$ κόμβους γράφεις $k - 1$ εξισώσεις κόμβων και τις υπόλοιπες από βρόχους

Οι δύο κανόνες του Kirchhoff

1ος κανόνας (κανόνας των κόμβων)

\sum I_{\varepsilon\iota\sigma} = \sum I_{\varepsilon\xi}

Όσο ρεύμα μπαίνει σε έναν κόμβο, τόσο βγαίνει — όπως σε μια διασταύρωση σωλήνων το νερό που φτάνει ισούται με το νερό που φεύγει. Τη σχέση

I = I_1 + I_2

της παράλληλης σύνδεσης την έχεις ήδη χρησιμοποιήσει: ήταν ο κανόνας των κόμβων εν δράσει.

2ος κανόνας (κανόνας των βρόχων)

\sum V = 0

Ισοδύναμα: το άθροισμα των ΗΕΔ των πηγών του βρόχου ισούται με το άθροισμα των πτώσεων τάσης

IR

. Ο νόμος του Ohm για κλειστό κύκλωμα,

\mathcal{E} = IR + Ir

, είναι ακριβώς ο κανόνας των βρόχων στο απλούστερο κύκλωμα — και η σχέση

V = V_1 + V_2

της σύνδεσης σε σειρά είναι το ίδιο πράγμα από άλλη σκοπιά.