💡

Ενέργεια & Ισχύς του Ηλεκτρικού Ρεύματος

W = VIt, φαινόμενο Joule, P = VI = I²R = V²/R, κιλοβατώρα

Γιατί με νοιάζει;

Ένας ηλεκτρικός θερμοσίφωνας έχει ισχύ περίπου $4000 \ \text{W}$ , όσο $400$ λάμπες LED των $10 \ \text{W}$ αναμμένες μαζί. Γι' αυτό είναι ο «πρωταθλητής» του λογαριασμού ρεύματος. Σε αυτό το κεφάλαιο θα μάθεις να υπολογίζεις πόση ενέργεια καταναλώνει κάθε συσκευή, πόση θερμότητα βγάζει ένας αντιστάτης και τι σημαίνουν οι ενδείξεις « $230 \ \text{V} / 60 \ \text{W}$ » σε μια λάμπα.

Ενέργεια και ισχύς του ηλεκτρικού ρεύματος

Όταν φορτίο $q$ περνά από αντιστάτη με τάση $V$ στα άκρα του, το πεδίο παράγει έργο $W = qV = VIt$ . Στον αντιστάτη όλη αυτή η ενέργεια γίνεται θερμότητα — αυτό είναι το φαινόμενο Joule, που ζεσταίνει τον θερμοσίφωνα και την τοστιέρα:

$Q = VIt = I^2Rt$

Η ισχύς μετράει τον ρυθμό μετατροπής της ενέργειας:

$P = \frac{W}{t} = VI = I^2R = \frac{V^2}{R}$

με μονάδα το Watt. Η ΔΕΗ χρεώνει ενέργεια σε κιλοβατώρες: $1 \ \text{kWh} = 3{,}6 \times 10^6 \ \text{J}$ — η ενέργεια που καταναλώνει συσκευή $1 \ \text{kW}$ σε μία ώρα.

Οι συσκευές που μετατρέπουν την ηλεκτρική ενέργεια σε άλλες χρήσιμες μορφές (κινητική στον ανεμιστήρα, χημική στη φόρτιση, φωτεινή στο LED) λέγονται αποδέκτες — σε αυτούς μόνο ένα μέρος της ενέργειας γίνεται θερμότητα Joule, το υπόλοιπο πιάνει «δουλειά».

Από πού προκύπτουν οι τύποι

Όταν φορτίο $q$ περνά από στοιχείο με τάση $V$ στα άκρα του, η ηλεκτρική ενέργεια που του δίνεται είναι $W = qV$ . Με $q = It$ :

$W = VIt \qquad \text{και} \qquad P = \frac{W}{t} = VI$

Σε αντιστάτη ισχύει $V = IR$ , οπότε όλη αυτή η ενέργεια γίνεται θερμότητα (νόμος του Joule):

$Q = VIt = I^2Rt = \frac{V^2}{R}t, \qquad P = I^2R = \frac{V^2}{R}$

Οι ονομαστικές τιμές μιας συσκευής (π.χ. $230 \ \text{V} / 60 \ \text{W}$ ) δίνουν την ισχύ της όταν λειτουργεί με την τάση για την οποία κατασκευάστηκε — την κανονική λειτουργία. Από αυτές βρίσκουμε την αντίστασή της, $R = \frac{V_\kappa^2}{P_\kappa}$ , και το ρεύμα κανονικής λειτουργίας, $I_\kappa = \frac{P_\kappa}{V_\kappa}$ .

$W = VIt, \qquad Q = I^2Rt, \qquad P = VI = I^2R = \frac{V^2}{R}, \qquad 1 \ \text{kWh} = 3{,}6 \times 10^6 \ \text{J}$

Παράδειγμα (λογαριασμός ρεύματος): Θερμοσίφωνας με ενδείξεις $4 \ \text{kW} / 230 \ \text{V}$ λειτουργεί $2$ ώρες την ημέρα για $30$ ημέρες. Η κιλοβατώρα κοστίζει $0{,}15$ €. Να βρεθούν η ενέργεια που καταναλώνει, το κόστος, το ρεύμα λειτουργίας και η αντίστασή του.

Λύση: Ενέργεια: $W = P \cdot t = 4 \ \text{kW} \cdot 60 \ \text{h} = 240 \ \text{kWh}$ , δηλαδή $240 \cdot 3{,}6 \times 10^6 \approx 8{,}6 \times 10^8 \ \text{J}$ .

Κόστος: $240 \cdot 0{,}15 = 36$ €.

Ρεύμα: $I = \frac{P}{V} = \frac{4000}{230} \approx 17{,}4 \ \text{A}$ . Αντίσταση: $R = \frac{V^2}{P} = \frac{230^2}{4000} = \frac{52900}{4000} \approx 13{,}2 \ \Omega$ .

Η κιλοβατώρα είναι μονάδα ενέργειας (ισχύς επί χρόνο), όχι ισχύος — γι' αυτό την πληρώνουμε. ✔

Γρήγορος έλεγχος

Δύο λαμπτήρες έχουν ενδείξεις $230 \ \text{V} / 60 \ \text{W}$ και $230 \ \text{V} / 100 \ \text{W}$ . Ποιος έχει τη μεγαλύτερη αντίσταση;

Κόλπο μνήμης

Διάλεξε τον τύπο ισχύος από το κοινό μέγεθος: σε σειρά κοινό είναι το ρεύμα, άρα $P = I^2R$ (μεγαλύτερη $R$ → μεγαλύτερη ισχύς)· παράλληλα κοινή είναι η τάση, άρα $P = \frac{V^2}{R}$ (μικρότερη $R$ → μεγαλύτερη ισχύς). «Σειρά → $I^2R$ , παράλληλα → $V^2/R$ .»

Μέθοδος: ασκήσεις ενέργειας και ισχύος

Από τις ονομαστικές τιμές βρες $R = \frac{V_\kappa^2}{P_\kappa}$ και $I_\kappa = \frac{P_\kappa}{V_\kappa}$ .
Βρες το πραγματικό ρεύμα ή την πραγματική τάση της συσκευής στο κύκλωμα (νόμος του Ohm, συνδεσμολογίες).
Πραγματική ισχύς: $P = I^2R$ ή $P = \frac{V^2}{R}$ , ανάλογα με το τι ξέρεις.
Ενέργεια: $W = Pt$ — σε J με $t$ σε s, σε kWh με $P$ σε kW και $t$ σε h.
Κόστος: kWh × τιμή ανά kWh.

Άσκηση (λάμπα σε μικρότερη τάση): Λάμπα έχει ενδείξεις $12 \ \text{V} / 24 \ \text{W}$ . α) Πόση είναι η αντίστασή της και το ρεύμα κανονικής λειτουργίας; β) Πόση ισχύ καταναλώνει αν συνδεθεί σε τάση $6 \ \text{V}$ ; (Η αντίσταση θεωρείται σταθερή.)

Λύση: α) $R = \frac{V_\kappa^2}{P_\kappa} = \frac{144}{24} = 6 \ \Omega$ και $I_\kappa = \frac{24}{12} = 2 \ \text{A}$ .

β) $P = \frac{V^2}{R} = \frac{36}{6} = 6 \ \text{W}$ .

Μισή τάση → τέταρτο της ισχύος, γιατί $P \propto V^2$ για σταθερή αντίσταση. ✔

Γρήγορος έλεγχος

Θερμάστρα $2 \ \text{kW}$ λειτουργεί για $30$ λεπτά. Η ενέργεια που καταναλώνει είναι:

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Δύο λάμπες με ενδείξεις $\Lambda_1$ : $230 \ \text{V} / 60 \ \text{W}$ και $\Lambda_2$ : $230 \ \text{V} / 100 \ \text{W}$ συνδέονται σε σειρά σε τάση $230 \ \text{V}$ . Οι αντιστάσεις θεωρούνται σταθερές.

Δεδομένα: $V = 230 \ \text{V}$ , $P_{1\kappa} = 60 \ \text{W}$ , $P_{2\kappa} = 100 \ \text{W}$ .

Ζητούμενα: α) οι αντιστάσεις των λαμπών, β) το ρεύμα του κυκλώματος, γ) η ισχύς κάθε λάμπας — ποια φωτίζει περισσότερο; δ) τι θα γινόταν αν συνδέονταν παράλληλα;

Λύση:

α) $R_1 = \frac{230^2}{60} = \frac{52\,900}{60} \approx 882 \ \Omega$ και $R_2 = \frac{52\,900}{100} = 529 \ \Omega$ .

β) $I = \frac{230}{882 + 529} = \frac{230}{1411} \approx 0{,}163 \ \text{A}$ .

γ) Σε σειρά κοινό ρεύμα, άρα $P = I^2R$ :

$P_1 = 0{,}163^2 \cdot 882 \approx 23{,}4 \ \text{W}, \qquad P_2 = 0{,}163^2 \cdot 529 \approx 14{,}1 \ \text{W}$

Φωτίζει περισσότερο η λάμπα των 60 W, γιατί έχει μεγαλύτερη αντίσταση!

δ) Παράλληλα, κάθε λάμπα έχει την ονομαστική της τάση και λειτουργεί κανονικά: $60 \ \text{W}$ και $100 \ \text{W}$ .

Απάντηση: α) $\approx 882 \ \Omega$ και $529 \ \Omega$ β) $\approx 0{,}163 \ \text{A}$ γ) $\approx 23{,}4 \ \text{W}$ και $\approx 14{,}1 \ \text{W}$ — πιο φωτεινή η $\Lambda_1$ δ) $60 \ \text{W}$ και $100 \ \text{W}$

Γρήγορος έλεγχος

Διπλασιάζεται το ρεύμα που διαρρέει έναν αντιστάτη σταθερής αντίστασης. Η θερμότητα που εκλύεται στον ίδιο χρόνο:

Ήξερες ότι;

Ο James Prescott Joule δημοσίευσε το 1841 την εργασία του για τη θερμότητα που εκλύεται σε μεταλλικούς αγωγούς, δείχνοντας πειραματικά ότι είναι ανάλογη του τετραγώνου της έντασης του ρεύματος και της αντίστασης. Γι' αυτό το φαινόμενο φέρει το όνομά του.

Πρόκληση

Έχεις τρεις ίδιους αντιστάτες των $6 \ \Omega$ και πρέπει να χρησιμοποιήσεις και τους τρεις.

α) Πόσες διαφορετικές ολικές αντιστάσεις μπορείς να φτιάξεις;

β) Συνδέεις κάθε συνδυασμό σε πηγή με ΗΕΔ $18 \ \text{V}$ και αμελητέα εσωτερική αντίσταση. Ποιος καταναλώνει τη μεγαλύτερη και ποιος τη μικρότερη ισχύ;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

α) Τέσσερις συνδεσμολογίες:

Όλοι σε σειρά: $R = 6 + 6 + 6 = 18 \ \Omega$ .
Όλοι παράλληλα: $R = \frac{6}{3} = 2 \ \Omega$ .
Δύο σε σειρά ( $12 \ \Omega$ ), παράλληλα με τον τρίτο: $R = \frac{12 \cdot 6}{12 + 6} = 4 \ \Omega$ .
Δύο παράλληλα ( $3 \ \Omega$ ), σε σειρά με τον τρίτο: $R = 3 + 6 = 9 \ \Omega$ .

β) Η τάση είναι ίδια ( $18 \ \text{V}$ ), οπότε βολεύει ο $P = \frac{V^2}{R}$ με $V^2 = 324 \ \text{V}^2$ :

$P_{2\Omega} = 162 \ \text{W}, \quad P_{4\Omega} = 81 \ \text{W}, \quad P_{9\Omega} = 36 \ \text{W}, \quad P_{18\Omega} = 18 \ \text{W}$

Μέγιστη ισχύς όλοι παράλληλα, ελάχιστη όλοι σε σειρά: εννιαπλάσια διαφορά με τα ίδια ακριβώς υλικά!

Συνηθισμένα λάθη

Λάθος τάση στον τύπο ισχύος: στο $P = \frac{V^2}{R}$ μπαίνει η τάση του συγκεκριμένου αντιστάτη, όχι της πηγής.
Ονομαστική ισχύς = πραγματική: η ένδειξη ισχύει μόνο στην ονομαστική τάση· σε άλλη τάση υπολόγισε από την $R$ .
Η kWh ως ισχύς: η κιλοβατώρα είναι μονάδα ενέργειας, $1 \ \text{kWh} = 3{,}6 \times 10^6 \ \text{J}$ .
Λεπτά στο $W = Pt$ : για kWh ο χρόνος σε ώρες, για J σε δευτερόλεπτα.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Ηλεκτρική ενέργεια: $W = qV = VIt$ · ισχύς $P = VI$
Νόμος του Joule: σε αντιστάτη $Q = I^2Rt$ , με $P = I^2R = \frac{V^2}{R}$
Ονομαστικές τιμές: $R = \frac{V_\kappa^2}{P_\kappa}$ , $I_\kappa = \frac{P_\kappa}{V_\kappa}$
Σε σειρά περισσότερη ισχύ παίρνει η μεγαλύτερη αντίσταση, παράλληλα η μικρότερη
$1 \ \text{kWh} = 3{,}6 \times 10^6 \ \text{J}$ — μονάδα ενέργειας για τον λογαριασμό ρεύματος

💡

Ενέργεια & Ισχύς του Ηλεκτρικού Ρεύματος

W = VIt, φαινόμενο Joule, P = VI = I²R = V²/R, κιλοβατώρα

Γιατί με νοιάζει;

Ενέργεια και ισχύς του ηλεκτρικού ρεύματος

$Q = VIt = I^2Rt$

Η ισχύς μετράει τον ρυθμό μετατροπής της ενέργειας:

$P = \frac{W}{t} = VI = I^2R = \frac{V^2}{R}$

Από πού προκύπτουν οι τύποι

$W = VIt \qquad \text{και} \qquad P = \frac{W}{t} = VI$

Σε αντιστάτη ισχύει $V = IR$ , οπότε όλη αυτή η ενέργεια γίνεται θερμότητα (νόμος του Joule):

$Q = VIt = I^2Rt = \frac{V^2}{R}t, \qquad P = I^2R = \frac{V^2}{R}$

$W = VIt, \qquad Q = I^2Rt, \qquad P = VI = I^2R = \frac{V^2}{R}, \qquad 1 \ \text{kWh} = 3{,}6 \times 10^6 \ \text{J}$

Λύση: Ενέργεια: $W = P \cdot t = 4 \ \text{kW} \cdot 60 \ \text{h} = 240 \ \text{kWh}$ , δηλαδή $240 \cdot 3{,}6 \times 10^6 \approx 8{,}6 \times 10^8 \ \text{J}$ .

Κόστος: $240 \cdot 0{,}15 = 36$ €.

Ρεύμα: $I = \frac{P}{V} = \frac{4000}{230} \approx 17{,}4 \ \text{A}$ . Αντίσταση: $R = \frac{V^2}{P} = \frac{230^2}{4000} = \frac{52900}{4000} \approx 13{,}2 \ \Omega$ .

Η κιλοβατώρα είναι μονάδα ενέργειας (ισχύς επί χρόνο), όχι ισχύος — γι' αυτό την πληρώνουμε. ✔

Γρήγορος έλεγχος

Δύο λαμπτήρες έχουν ενδείξεις $230 \ \text{V} / 60 \ \text{W}$ και $230 \ \text{V} / 100 \ \text{W}$ . Ποιος έχει τη μεγαλύτερη αντίσταση;

Κόλπο μνήμης

Μέθοδος: ασκήσεις ενέργειας και ισχύος

Από τις ονομαστικές τιμές βρες $R = \frac{V_\kappa^2}{P_\kappa}$ και $I_\kappa = \frac{P_\kappa}{V_\kappa}$ .
Βρες το πραγματικό ρεύμα ή την πραγματική τάση της συσκευής στο κύκλωμα (νόμος του Ohm, συνδεσμολογίες).
Πραγματική ισχύς: $P = I^2R$ ή $P = \frac{V^2}{R}$ , ανάλογα με το τι ξέρεις.
Ενέργεια: $W = Pt$ — σε J με $t$ σε s, σε kWh με $P$ σε kW και $t$ σε h.
Κόστος: kWh × τιμή ανά kWh.

Λύση: α) $R = \frac{V_\kappa^2}{P_\kappa} = \frac{144}{24} = 6 \ \Omega$ και $I_\kappa = \frac{24}{12} = 2 \ \text{A}$ .

β) $P = \frac{V^2}{R} = \frac{36}{6} = 6 \ \text{W}$ .

Μισή τάση → τέταρτο της ισχύος, γιατί $P \propto V^2$ για σταθερή αντίσταση. ✔

Γρήγορος έλεγχος

Θερμάστρα $2 \ \text{kW}$ λειτουργεί για $30$ λεπτά. Η ενέργεια που καταναλώνει είναι:

Δεδομένα: $V = 230 \ \text{V}$ , $P_{1\kappa} = 60 \ \text{W}$ , $P_{2\kappa} = 100 \ \text{W}$ .

Λύση:

α) $R_1 = \frac{230^2}{60} = \frac{52\,900}{60} \approx 882 \ \Omega$ και $R_2 = \frac{52\,900}{100} = 529 \ \Omega$ .

β) $I = \frac{230}{882 + 529} = \frac{230}{1411} \approx 0{,}163 \ \text{A}$ .

γ) Σε σειρά κοινό ρεύμα, άρα $P = I^2R$ :

$P_1 = 0{,}163^2 \cdot 882 \approx 23{,}4 \ \text{W}, \qquad P_2 = 0{,}163^2 \cdot 529 \approx 14{,}1 \ \text{W}$

Φωτίζει περισσότερο η λάμπα των 60 W, γιατί έχει μεγαλύτερη αντίσταση!

δ) Παράλληλα, κάθε λάμπα έχει την ονομαστική της τάση και λειτουργεί κανονικά: $60 \ \text{W}$ και $100 \ \text{W}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Ήξερες ότι;

Πρόκληση

Έχεις τρεις ίδιους αντιστάτες των $6 \ \Omega$ και πρέπει να χρησιμοποιήσεις και τους τρεις.

α) Πόσες διαφορετικές ολικές αντιστάσεις μπορείς να φτιάξεις;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

α) Τέσσερις συνδεσμολογίες:

Όλοι σε σειρά: $R = 6 + 6 + 6 = 18 \ \Omega$ .
Όλοι παράλληλα: $R = \frac{6}{3} = 2 \ \Omega$ .
Δύο σε σειρά ( $12 \ \Omega$ ), παράλληλα με τον τρίτο: $R = \frac{12 \cdot 6}{12 + 6} = 4 \ \Omega$ .
Δύο παράλληλα ( $3 \ \Omega$ ), σε σειρά με τον τρίτο: $R = 3 + 6 = 9 \ \Omega$ .

β) Η τάση είναι ίδια ( $18 \ \text{V}$ ), οπότε βολεύει ο $P = \frac{V^2}{R}$ με $V^2 = 324 \ \text{V}^2$ :

$P_{2\Omega} = 162 \ \text{W}, \quad P_{4\Omega} = 81 \ \text{W}, \quad P_{9\Omega} = 36 \ \text{W}, \quad P_{18\Omega} = 18 \ \text{W}$

Μέγιστη ισχύς όλοι παράλληλα, ελάχιστη όλοι σε σειρά: εννιαπλάσια διαφορά με τα ίδια ακριβώς υλικά!

Συνηθισμένα λάθη

Λάθος τάση στον τύπο ισχύος: στο $P = \frac{V^2}{R}$ μπαίνει η τάση του συγκεκριμένου αντιστάτη, όχι της πηγής.
Ονομαστική ισχύς = πραγματική: η ένδειξη ισχύει μόνο στην ονομαστική τάση· σε άλλη τάση υπολόγισε από την $R$ .
Η kWh ως ισχύς: η κιλοβατώρα είναι μονάδα ενέργειας, $1 \ \text{kWh} = 3{,}6 \times 10^6 \ \text{J}$ .
Λεπτά στο $W = Pt$ : για kWh ο χρόνος σε ώρες, για J σε δευτερόλεπτα.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Ηλεκτρική ενέργεια: $W = qV = VIt$ · ισχύς $P = VI$
Νόμος του Joule: σε αντιστάτη $Q = I^2Rt$ , με $P = I^2R = \frac{V^2}{R}$
Ονομαστικές τιμές: $R = \frac{V_\kappa^2}{P_\kappa}$ , $I_\kappa = \frac{P_\kappa}{V_\kappa}$
Σε σειρά περισσότερη ισχύ παίρνει η μεγαλύτερη αντίσταση, παράλληλα η μικρότερη
$1 \ \text{kWh} = 3{,}6 \times 10^6 \ \text{J}$ — μονάδα ενέργειας για τον λογαριασμό ρεύματος