🧷

Νόμος του Coulomb

Ηλεκτρική δύναμη ανάμεσα σε σημειακά φορτία & επαλληλία δυνάμεων

Γιατί με νοιάζει;

Η ηλεκτρική δύναμη ανάμεσα σε ένα πρωτόνιο και ένα ηλεκτρόνιο είναι περίπου $10^{39}$ φορές ισχυρότερη από τη βαρυτική τους έλξη. Γιατί τότε δεν τη νιώθουμε στην καθημερινότητα, ενώ τη βαρύτητα τη νιώθουμε συνέχεια; Επειδή η ύλη είναι σχεδόν τέλεια ουδέτερη — θετικά και αρνητικά φορτία αλληλοαναιρούνται. Μόλις η ισορροπία διαταραχθεί λίγο, όπως όταν τρίβεις ένα μπαλόνι στα μαλλιά σου, η ηλεκτρική δύναμη φανερώνεται αμέσως.

Ο νόμος του Coulomb

Δύο σημειακά ηλεκτρικά φορτία $q_1$ και $q_2$ σε απόσταση $r$ αλληλεπιδρούν με δύναμη που έχει μέτρο:

$F = k\frac{|q_1| \cdot |q_2|}{r^2}$

όπου $k = 9 \times 10^9 \ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2$ η σταθερά του Coulomb. Η δύναμη είναι απωστική για ομώνυμα φορτία και ελκτική για ετερώνυμα, και ασκείται πάνω στην ευθεία που τα ενώνει — ζεύγος δράσης–αντίδρασης με ίσα μέτρα, ακόμα κι αν τα φορτία διαφέρουν!

Η μονάδα φορτίου, το Coulomb ( $\text{C}$ ), είναι τεράστια για την καθημερινότητα — γι' αυτό δουλεύουμε με υποπολλαπλάσια: $1 \ \mu\text{C} = 10^{-6} \ \text{C}$ , $1 \ \text{nC} = 10^{-9} \ \text{C}$ .

Η μορφή του νόμου θυμίζει τη βαρύτητα του Νεύτωνα — αλλά με μια κρίσιμη διαφορά: η ηλεκτρική δύναμη μπορεί να είναι και ελκτική και απωστική.

Η σταθερά $k$ και η αρχή της επαλληλίας

Η σταθερά του νόμου γράφεται και ως $k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$ , όπου $\varepsilon_0 = 8{,}85 \times 10^{-12} \ \text{C}^2/(\text{N} \cdot \text{m}^2)$ η απόλυτη διηλεκτρική σταθερά του κενού. Η τιμή $k = 9 \times 10^9 \ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2$ ισχύει για φορτία στο κενό (πρακτικά και στον αέρα).

Όταν ένα φορτίο δέχεται δυνάμεις από πολλά φορτία, κάθε δύναμη υπολογίζεται σαν να μην υπήρχαν τα άλλα, και η συνολική δύναμη είναι το διανυσματικό άθροισμα:

$\vec{F}_{o\lambda} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \dots$

Αυτή είναι η αρχή της επαλληλίας. Στην ίδια ευθεία οι δυνάμεις προστίθενται με πρόσημα, σε κάθετες διευθύνσεις με Πυθαγόρειο θεώρημα.

$F = k\frac{|q_1||q_2|}{r^2}, \qquad k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \ \frac{\text{N} \cdot \text{m}^2}{\text{C}^2}, \qquad \vec{F}_{o\lambda} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \dots$

Παράδειγμα (νόμος Coulomb): Δύο σημειακά φορτία $q_1 = +2 \ \mu\text{C}$ και $q_2 = -8 \ \mu\text{C}$ απέχουν $r = 0{,}3 \ \text{m}$ . Να βρεθεί η δύναμη που ασκεί το ένα στο άλλο.

Λύση: Μετατροπή: $|q_1| = 2 \times 10^{-6} \ \text{C}$ και $|q_2| = 8 \times 10^{-6} \ \text{C}$ .

$F = k\frac{|q_1||q_2|}{r^2} = 9 \times 10^9 \cdot \frac{2 \times 10^{-6} \cdot 8 \times 10^{-6}}{0{,}09} = \frac{0{,}144}{0{,}09} = 1{,}6 \ \text{N}$

Τα φορτία είναι ετερώνυμα, άρα η δύναμη είναι ελκτική. Και τα δύο φορτία δέχονται δύναμη $1{,}6 \ \text{N}$ — το $q_2$ δεν «τραβάει» τετραπλάσια επειδή είναι τετραπλάσιο: οι δυνάμεις είναι ζεύγος δράσης–αντίδρασης. ✔

Γρήγορος έλεγχος

Δύο σημειακά φορτία απέχουν $r$ και έλκονται με δύναμη $F$ . Αν η απόσταση διπλασιαστεί, το μέτρο της δύναμης γίνεται:

Γρήγορος έλεγχος

Σημειακό φορτίο $q$ και σημειακό φορτίο $4q$ απωθούνται. Αν το $q$ δέχεται δύναμη μέτρου $F$ , το $4q$ δέχεται δύναμη μέτρου:

Μετακίνησε το σημείο στο γράφημα και σύγκρινε τη δύναμη σε διαφορετικές αποστάσεις: θα ανακαλύψεις ότι στη διπλάσια απόσταση η δύναμη Coulomb δεν πέφτει στο μισό αλλά στο ένα τέταρτο, και στην τριπλάσια στο ένα ένατο — η σχέση 1/r² «σβήνει» πολύ πιο απότομα από μια απλή αντίστροφη αναλογία.

Ήξερες ότι;

Ο Charles-Augustin de Coulomb μέτρησε τη δύναμη ανάμεσα σε φορτία το 1785 με έναν ζυγό στρέψης: ένα λεπτό σύρμα που στριβόταν ελάχιστα από τη δύναμη. Η σταθερά $k = 9 \times 10^9$ είναι τεράστια: δύο φορτία του $1 \ \text{C}$ σε απόσταση $1 \ \text{m}$ θα απωθούνταν με $9 \times 10^9 \ \text{N}$ , όσο το βάρος σώματος $900\,000$ τόνων! Γι' αυτό στην πράξη δουλεύουμε με $\mu\text{C}$ και $\text{nC}$ .

Μέθοδος: συνισταμένη δύναμη από πολλά φορτία

Μετάτρεψε φορτία σε C ( $\mu\text{C} \to 10^{-6}$ , $\text{nC} \to 10^{-9}$ ) και αποστάσεις σε m.
Για κάθε φορτίο-πηγή χωριστά: μέτρο $F_i = k\frac{|q||q_i|}{r_i^2}$ με απόλυτες τιμές.
Κατεύθυνση κάθε δύναμης από το σχήμα: ομώνυμα → άπωση, ετερώνυμα → έλξη.
Πρόσθεσε διανυσματικά: στην ίδια ευθεία με πρόσημα, σε κάθετες με Πυθαγόρειο.
Για θέση ισορροπίας τρίτου φορτίου: εξίσωσε τα μέτρα των δύο δυνάμεων στο σημείο όπου έχουν αντίθετες φορές.

Άσκηση (τρία φορτία σε ευθεία): Στο σημείο $x = 0$ βρίσκεται φορτίο $q_1 = +2 \ \mu\text{C}$ και στο $x = 0{,}3 \ \text{m}$ φορτίο $q_2 = -3 \ \mu\text{C}$ . Στο $x = 0{,}1 \ \text{m}$ τοποθετείται φορτίο $q_3 = +1 \ \mu\text{C}$ . Να βρεθεί η συνισταμένη δύναμη στο $q_3$ .

Λύση: Από το $q_1$ (απόσταση $0{,}1 \ \text{m}$ , άπωση → προς τα $+x$ ):

$F_{13} = 9 \times 10^9 \cdot \frac{2 \times 10^{-6} \cdot 10^{-6}}{0{,}01} = 1{,}8 \ \text{N}$

Από το $q_2$ (απόσταση $0{,}2 \ \text{m}$ , έλξη → προς το $q_2$ , δηλαδή πάλι προς τα $+x$ ):

$F_{23} = 9 \times 10^9 \cdot \frac{3 \times 10^{-6} \cdot 10^{-6}}{0{,}04} = 0{,}675 \ \text{N}$

Ομόρροπες, άρα $F_{o\lambda} = 1{,}8 + 0{,}675 = 2{,}475 \ \text{N}$ προς τα $+x$ . Το $q_1$ το σπρώχνει και το $q_2$ το τραβάει προς την ίδια μεριά. ✔

Γρήγορος έλεγχος

Φορτίο $q$ δέχεται από ένα φορτίο δύναμη $3 \ \text{N}$ προς τα ανατολικά και από ένα άλλο δύναμη $4 \ \text{N}$ προς τα βόρεια. Το μέτρο της συνισταμένης δύναμης είναι:

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Δύο θετικά σημειακά φορτία $Q_1 = +9 \ \mu\text{C}$ και $Q_2 = +1 \ \mu\text{C}$ είναι ακλόνητα στα σημεία Α και Β, με $(AB) = 0{,}4 \ \text{m}$ . Δίνεται $k = 9 \times 10^9 \ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2$ .

Δεδομένα: $Q_1 = 9 \times 10^{-6} \ \text{C}$ , $Q_2 = 10^{-6} \ \text{C}$ , $(AB) = 0{,}4 \ \text{m}$ .

Ζητούμενα: α) η δύναμη ανάμεσα στα $Q_1$ και $Q_2$ , β) η δύναμη σε φορτίο $q = -2 \ \mu\text{C}$ που τοποθετείται στο μέσο Μ του ΑΒ, γ) το σημείο του τμήματος ΑΒ όπου ένα τρίτο φορτίο θα δεχόταν μηδενική δύναμη, δ) η δύναμη ανάμεσα στα $Q_1$ , $Q_2$ αν η απόστασή τους υποδιπλασιαστεί.

Λύση:

α) $F_{12} = 9 \times 10^9 \cdot \frac{9 \times 10^{-6} \cdot 10^{-6}}{0{,}16} \approx 0{,}51 \ \text{N}$ , απωστική.

β) Το Μ απέχει $0{,}2 \ \text{m}$ από το καθένα. Το $q$ είναι αρνητικό, άρα έλκεται και από τα δύο:

$F_1 = 9 \times 10^9 \cdot \frac{9 \times 10^{-6} \cdot 2 \times 10^{-6}}{0{,}04} = 4{,}05 \ \text{N} \ (\text{προς το Α}), \qquad F_2 = 0{,}45 \ \text{N} \ (\text{προς το Β})$

$F_M = 4{,}05 - 0{,}45 = 3{,}6 \ \text{N}$ προς το Α.

γ) Ανάμεσα στα ομώνυμα φορτία οι δυνάμεις σε ένα τρίτο φορτίο είναι αντίθετες. Σε απόσταση $x$ από το Α:

$k\frac{Q_1|q|}{x^2} = k\frac{Q_2|q|}{(0{,}4 - x)^2} \Rightarrow \frac{3}{x} = \frac{1}{0{,}4 - x} \Rightarrow 1{,}2 - 3x = x \Rightarrow x = 0{,}3 \ \text{m}$

δ) Υποδιπλασιασμός απόστασης → τετραπλάσια δύναμη: $F' = 4 \cdot 0{,}51 \approx 2 \ \text{N}$ .

Απάντηση: α) $\approx 0{,}51 \ \text{N}$ β) $3{,}6 \ \text{N}$ προς το Α γ) $0{,}3 \ \text{m}$ από το Α δ) $\approx 2 \ \text{N}$

Γρήγορος έλεγχος

Διπλασιάζουμε και τα δύο φορτία και και την απόστασή τους. Η δύναμη Coulomb ανάμεσά τους:

Πρόκληση

Στο άτομο του υδρογόνου το ηλεκτρόνιο απέχει από το πρωτόνιο περίπου $r = 5{,}3 \times 10^{-11} \ \text{m}$ . Πόσες φορές ισχυρότερη είναι η ηλεκτρική έλξη από τη βαρυτική; Δίνονται $e = 1{,}6 \times 10^{-19} \ \text{C}$ , $m_e = 9{,}1 \times 10^{-31} \ \text{kg}$ , $m_p = 1{,}67 \times 10^{-27} \ \text{kg}$ , $G = 6{,}67 \times 10^{-11} \ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2$ .

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Και οι δύο δυνάμεις πέφτουν με $\frac{1}{r^2}$ , οπότε ο λόγος τους δεν εξαρτάται από την απόσταση:

$\frac{F_{\eta\lambda}}{F_{\beta}} = \frac{k e^2}{G m_e m_p} = \frac{9 \times 10^9 \cdot 2{,}56 \times 10^{-38}}{6{,}67 \times 10^{-11} \cdot 9{,}1 \times 10^{-31} \cdot 1{,}67 \times 10^{-27}} \approx \frac{2{,}3 \times 10^{-28}}{1{,}01 \times 10^{-67}} \approx 2{,}3 \times 10^{39}$

Για σύγκριση, η ίδια η ηλεκτρική δύναμη είναι $F_{\eta\lambda} = \frac{9 \times 10^9 \cdot 2{,}56 \times 10^{-38}}{(5{,}3 \times 10^{-11})^2} \approx 8{,}2 \times 10^{-8} \ \text{N}$ . Στον μικρόκοσμο η βαρύτητα είναι εντελώς αμελητέα.

Συνηθισμένα λάθη

Ξεχασμένη μετατροπή: $2 \ \mu\text{C} = 2 \times 10^{-6} \ \text{C}$ — χωρίς αυτήν η δύναμη βγαίνει τρισεκατομμύρια φορές λάθος.
Πρόσημα φορτίων μέσα στον τύπο: στον νόμο του Coulomb βάζεις απόλυτες τιμές και βρίσκεις αν είναι έλξη ή άπωση από τα είδη των φορτίων.
$r$ αντί για $r^2$ : διπλάσια απόσταση → τέταρτο της δύναμης, όχι μισή.
«Το μεγαλύτερο φορτίο δέχεται μεγαλύτερη δύναμη»: οι δύο δυνάμεις είναι ζεύγος δράσης–αντίδρασης, με ίσα μέτρα.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Νόμος Coulomb: $F = k\frac{|q_1||q_2|}{r^2}$ , με $k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2$
Ομώνυμα απωθούνται, ετερώνυμα έλκονται· οι δύο δυνάμεις έχουν ίσα μέτρα και αντίθετες φορές
$F \propto \frac{1}{r^2}$ : διπλάσια απόσταση → τέταρτο της δύναμης
Επαλληλία: η συνολική δύναμη είναι το διανυσματικό άθροισμα των επιμέρους
Μονάδα φορτίου το Coulomb, με υποπολλαπλάσια $\mu\text{C}$ και $\text{nC}$

Ο νόμος του Coulomb

Δύο σημειακά ηλεκτρικά φορτία

q_1

και

q_2

σε απόσταση

r

αλληλεπιδρούν με δύναμη που έχει μέτρο:

F = k\frac{|q_1| \cdot |q_2|}{r^2}

όπου

k = 9 \times 10^9 \ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2

η σταθερά του Coulomb. Η δύναμη είναι απωστική για ομώνυμα φορτία και ελκτική για ετερώνυμα, και ασκείται πάνω στην ευθεία που τα ενώνει — ζεύγος δράσης–αντίδρασης με ίσα μέτρα, ακόμα κι αν τα φορτία διαφέρουν!

Η μονάδα φορτίου, το Coulomb (

\text{C}

), είναι τεράστια για την καθημερινότητα — γι' αυτό δουλεύουμε με υποπολλαπλάσια:

1 \ \mu\text{C} = 10^{-6} \ \text{C}

1 \ \text{nC} = 10^{-9} \ \text{C}

Νόμος του Coulomb

Ο νόμος του Coulomb

Η σταθερά kkk και η αρχή της επαλληλίας

Μέθοδος: συνισταμένη δύναμη από πολλά φορτία

Νόμος του Coulomb

Ο νόμος του Coulomb

Η σταθερά kkk και η αρχή της επαλληλίας

Μέθοδος: συνισταμένη δύναμη από πολλά φορτία

Η σταθερά $k$ και η αρχή της επαλληλίας

Η σταθερά $k$ και η αρχή της επαλληλίας