📏

Μονάδες Μέτρησης & Κλίμακες

Μετατροπές μήκους-εμβαδού-όγκου και κλίμακα χάρτη

Γιατί με νοιάζει;

Στον χάρτη του κινητού, η Αθήνα και η Θεσσαλονίκη χωράνε μαζί στην οθόνη, ενώ στην πραγματικότητα απέχουν εκατοντάδες χιλιόμετρα. Πώς ξέρει ο χάρτης πόσο μακριά είναι; Με την κλίμακα.

Και για να συγκρίνεις ή να προσθέσεις μετρήσεις, πρέπει να είναι στην ίδια μονάδα: $1{,}5$ km και $300$ m δεν προστίθενται όπως είναι. Εδώ θα μάθεις να μετατρέπεις μονάδες χωρίς λάθη.

Μονάδες μήκους

Βασική μονάδα μήκους είναι το μέτρο (m). Οι υποδιαιρέσεις και τα πολλαπλάσιά του αλλάζουν ανά 10 σε κάθε σκαλοπάτι:

Χιλιόμετρο: $1 \text{ km} = 1000 \text{ m}$
Δεκατόμετρο (παλάμη): $1 \text{ m} = 10 \text{ dm}$
Εκατοστόμετρο (πόντος): $1 \text{ m} = 100 \text{ cm}$
Χιλιοστόμετρο: $1 \text{ m} = 1000 \text{ mm}$

Κατεβαίνοντας σκαλοπάτι πολλαπλασιάζουμε επί 10, ανεβαίνοντας διαιρούμε διά 10.

Κάνε ζουμ στη μετροταινία και ανακάλυψε ότι κάθε μονάδα κρύβει μέσα της 10 μικρότερες: μέτρα → δεκατόμετρα → εκατοστά → χιλιοστά!

Μονάδες εμβαδού και όγκου

Το εμβαδόν μετριέται σε τετραγωνικές μονάδες, που αλλάζουν ανά 100 ( $10 \cdot 10$ ) σε κάθε σκαλοπάτι, και ο όγκος σε κυβικές, που αλλάζουν ανά 1000 ( $10 \cdot 10 \cdot 10$ ).

$1 \text{ m}^2 = 100 \text{ dm}^2 = 10000 \text{ cm}^2$
1 στρέμμα $= 1000 \text{ m}^2$ (για οικόπεδα και χωράφια)
$1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ dm}^3$ και $1 \text{ dm}^3 = 1000 \text{ cm}^3$
1 λίτρο (L) $= 1 \text{ dm}^3$ και $1 \text{ mL} = 1 \text{ cm}^3$

$1 \text{ m} = 10^1 \text{ dm} \qquad 1 \text{ m}^2 = 10^2 \text{ dm}^2 \qquad 1 \text{ m}^3 = 10^3 \text{ dm}^3$

Κόλπο μνήμης

Όσες διαστάσεις, τόσα μηδενικά ανά σκαλοπάτι. Το μήκος έχει $1$ διάσταση → $\times 10$ . Το εμβαδόν έχει $2$ (μήκος και πλάτος) → $\times 100$ . Ο όγκος έχει $3$ → $\times 1000$ .

Μονάδες μάζας και χρόνου

Μάζα: βασική μονάδα είναι το κιλό (kg). Οι μονάδες μάζας αλλάζουν ανά 1000:

$1 \text{ t} = 1000 \text{ kg}$ (τόνος)
$1 \text{ kg} = 1000 \text{ g}$ και $1 \text{ g} = 1000 \text{ mg}$

Χρόνος: βασική μονάδα είναι το δευτερόλεπτο (s). Εδώ δεν ισχύει το «ανά 10»:

$1 \text{ min} = 60 \text{ s}$ και $1 \text{ h} = 60 \text{ min} = 3600 \text{ s}$
$1$ ημέρα $= 24$ h

Γι' αυτό το « $1{,}5$ ώρα» είναι $1$ ώρα και $30$ λεπτά — όχι $1$ ώρα και $50$ λεπτά!

Μέθοδος: μετατροπή μονάδων

Γράψε τη «σκάλα» των μονάδων, από τη μεγαλύτερη στη μικρότερη.
Βρες πόσο αλλάζει κάθε σκαλοπάτι: μήκος $\times 10$ , εμβαδόν $\times 100$ , όγκος $\times 1000$ , μάζα $\times 1000$ (t → kg → g), χρόνος $\times 60$ (h → min → s).
Από μεγαλύτερη σε μικρότερη μονάδα πολλαπλασιάζεις, από μικρότερη σε μεγαλύτερη διαιρείς — μία φορά για κάθε σκαλοπάτι.
Έλεγξε με το μάτι: σε μικρότερη μονάδα ο αριθμός πρέπει να μεγαλώσει.

Ήξερες ότι;

Το $1999$ η NASA έχασε το διαστημόπλοιο Mars Climate Orbiter, που κόστισε πάνω από $100$ εκατομμύρια δολάρια, λόγω ενός λάθους μονάδων. Μια ομάδα μηχανικών έδινε τα στοιχεία σε αγγλοσαξονικές μονάδες και μια άλλη τα διάβαζε σαν να ήταν στο μετρικό σύστημα. Το σκάφος πλησίασε πολύ τον Άρη και χάθηκε.

Παράδειγμα: (α) Ο Νίκος μπήκε στο σχολείο στις $8{:}15$ και βγήκε στις $13{:}50$ . Πόση ώρα έμεινε; (β) Ένα σακί με $2{,}5$ kg ρύζι μοιράζεται σε σακουλάκια των $250$ g. Πόσα σακουλάκια γεμίζουν;

(α) Από τις $8{:}15$ ως τις $13{:}15$ είναι $5$ ώρες, και από τις $13{:}15$ ως τις $13{:}50$ είναι $35$ λεπτά. Σύνολο: $5$ h $35$ min, δηλαδή $5 \cdot 60 + 35 = 335$ min.

(β) Ίδια μονάδα: $2{,}5 \text{ kg} = 2{,}5 \cdot 1000 = 2500 \text{ g}$ . Σακουλάκια: $2500 : 250 = 10$ .

Γρήγορος έλεγχος

Πόσα λεπτά είναι οι $3$ ώρες και $15$ λεπτά;

Κλίμακα χάρτη και σχεδίου

Η κλίμακα είναι ο λόγος της απόστασης πάνω στον χάρτη προς την αντίστοιχη πραγματική απόσταση, με τις δύο αποστάσεις στην ίδια μονάδα:

$\kappa = \frac{\text{απόσταση στον χάρτη}}{\text{πραγματική απόσταση}}$

Κλίμακα $1:100000$ σημαίνει ότι το $1$ cm του χάρτη παριστάνει $100000$ cm $= 1$ km στην πραγματικότητα. Η απόσταση στον χάρτη και η πραγματική απόσταση είναι ανάλογα ποσά — με σταθερό λόγο την κλίμακα.

Διπλασίασε την απόσταση στον χάρτη και δες την πραγματική να διπλασιάζεται κι αυτή — τα σημεία της σχέσης βρίσκονται όλα σε ημιευθεία που ξεκινά από την αρχή των αξόνων!

Παράδειγμα: Σε χάρτη με κλίμακα $1:200000$ δύο χωριά απέχουν $4{,}5$ cm. Η πραγματική τους απόσταση είναι $4{,}5 \cdot 200000 = 900000$ cm $= 9000$ m $= 9$ km.

Αντίστροφα: Δρόμος μήκους $14$ km θα σχεδιαστεί στον ίδιο χάρτη με μήκος $1400000 : 200000 = 7$ cm.

Άσκηση: Δύο πόλεις απέχουν στην πραγματικότητα $12$ km και στον χάρτη $4$ cm. Ποια είναι η κλίμακα του χάρτη;

Λύση: Φέρνουμε και τα δύο μήκη στην ίδια μονάδα: $12 \text{ km} = 12000 \text{ m} = 1200000 \text{ cm}$ . Η κλίμακα είναι

$\kappa = \frac{4}{1200000} = \frac{1}{300000}$

δηλαδή $1:300000$ — κάθε $1$ cm του χάρτη παριστάνει $300000$ cm $= 3$ km.

Γρήγορος έλεγχος

Σε χάρτη με κλίμακα $1:50000$ δύο σημεία απέχουν $6$ cm. Πόση είναι η πραγματική τους απόσταση;

Γρήγορος έλεγχος

Πόσα $\text{cm}^2$ είναι τα $2{,}5 \text{ m}^2$ ;

Πριν από κάθε πράξη, φέρε όλα τα μεγέθη στην ίδια μονάδα — τα περισσότερα λάθη στις εξετάσεις είναι λάθη μονάδων, όχι πράξεων. Και στις κλίμακες θυμήσου τη φορά: από χάρτη σε πραγματικότητα πολλαπλασιάζεις, από πραγματικότητα σε χάρτη διαιρείς.

Πρόκληση

Σε χάρτη με κλίμακα $1:50000$ ένα τετράγωνο κτήμα έχει πλευρά $2$ cm. Πόσο είναι το πραγματικό εμβαδόν του σε $\text{m}^2$ ;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Η κλίμακα αφορά μήκη, οπότε βρίσκουμε πρώτα την πραγματική πλευρά: $2 \cdot 50000 = 100000$ cm $= 1000$ m.

Εμβαδόν: $1000 \cdot 1000 = 1000000 \text{ m}^2$ (δηλαδή $1 \text{ km}^2$ ).

Παγίδα: αν πολλαπλασιάσεις το εμβαδόν του χάρτη ( $4 \text{ cm}^2$ ) με $50000$ , βγάζεις $200000 \text{ cm}^2 = 20 \text{ m}^2$ , πάρα πολύ μικρό. Όταν μεγεθύνεις κάθε πλευρά $50000$ φορές, το εμβαδόν μεγαλώνει $50000 \cdot 50000$ φορές.

Συνηθισμένα λάθη

$\times 10$ σε εμβαδόν ή όγκο. Στα $\text{m}^2$ κάθε σκαλοπάτι είναι $\times 100$ και στα $\text{m}^3$ $\times 1000$ : $1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ dm}^3 = 1000$ L.
Χρόνος με το δεκαδικό σύστημα. $1{,}5$ h $= 1$ h $30$ min, όχι $1$ h $50$ min.
Κλίμακα με διαφορετικές μονάδες. Στο κλάσμα «χάρτης προς πραγματικότητα» και οι δύο αποστάσεις πρέπει να είναι στην ίδια μονάδα (συνήθως cm).
Λάθος φορά στη μετατροπή. Προς μικρότερη μονάδα ο αριθμός μεγαλώνει: $3 \text{ kg} = 3000 \text{ g}$ , όχι $0{,}003 \text{ g}$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

Μήκος: $\times 10$ ανά σκαλοπάτι· $1 \text{ km} = 1000 \text{ m}$ , $1 \text{ m} = 100 \text{ cm} = 1000 \text{ mm}$ .
Εμβαδόν: $\times 100$ ανά σκαλοπάτι· όγκος: $\times 1000$ · $1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3$ και $1 \text{ mL} = 1 \text{ cm}^3$ .
Μάζα: $1 \text{ t} = 1000 \text{ kg}$ , $1 \text{ kg} = 1000 \text{ g}$ · χρόνος: $1 \text{ h} = 60 \text{ min} = 3600 \text{ s}$ .
Κλίμακα $= \frac{\text{απόσταση στον χάρτη}}{\text{πραγματική απόσταση}}$ , με τις δύο αποστάσεις στην ίδια μονάδα.
Από χάρτη σε πραγματικότητα πολλαπλασιάζω· από πραγματικότητα σε χάρτη διαιρώ.

Μονάδες μήκους

Χιλιόμετρο:

1 \text{ km} = 1000 \text{ m}

Δεκατόμετρο (παλάμη):

1 \text{ m} = 10 \text{ dm}

Εκατοστόμετρο (πόντος):

1 \text{ m} = 100 \text{ cm}

Χιλιοστόμετρο:

1 \text{ m} = 1000 \text{ mm}

Κατεβαίνοντας σκαλοπάτι πολλαπλασιάζουμε επί 10, ανεβαίνοντας διαιρούμε διά 10.

Μονάδες εμβαδού και όγκου

Το εμβαδόν μετριέται σε τετραγωνικές μονάδες, που αλλάζουν ανά 100 (

10 \cdot 10

) σε κάθε σκαλοπάτι, και ο όγκος σε κυβικές, που αλλάζουν ανά 1000 (

10 \cdot 10 \cdot 10

1 \text{ m}^2 = 100 \text{ dm}^2 = 10000 \text{ cm}^2

1 στρέμμα

= 1000 \text{ m}^2

(για οικόπεδα και χωράφια)

1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ dm}^3

και

1 \text{ dm}^3 = 1000 \text{ cm}^3

1 λίτρο (L)

= 1 \text{ dm}^3

και

1 \text{ mL} = 1 \text{ cm}^3

Μονάδες μάζας και χρόνου

Μάζα: βασική μονάδα είναι το κιλό (kg). Οι μονάδες μάζας αλλάζουν ανά 1000:

1 \text{ t} = 1000 \text{ kg}

(τόνος)

1 \text{ kg} = 1000 \text{ g}

και

1 \text{ g} = 1000 \text{ mg}

Χρόνος: βασική μονάδα είναι το δευτερόλεπτο (s). Εδώ δεν ισχύει το «ανά 10»:

1 \text{ min} = 60 \text{ s}

και

1 \text{ h} = 60 \text{ min} = 3600 \text{ s}

1

ημέρα

= 24

Γι' αυτό το «

1{,}5

ώρα» είναι

1

ώρα και

30

λεπτά — όχι

1

ώρα και

50

λεπτά!

Κλίμακα χάρτη και σχεδίου

\kappa = \frac{\text{απόσταση στον χάρτη}}{\text{πραγματική απόσταση}}

Κλίμακα

1:100000

σημαίνει ότι το

1

cm του χάρτη παριστάνει

100000

= 1

km στην πραγματικότητα. Η απόσταση στον χάρτη και η πραγματική απόσταση είναι ανάλογα ποσά — με σταθερό λόγο την κλίμακα.