Γραμμές & Ίσα Σχήματα
Τεθλασμένη και καμπύλη γραμμή, ευθύγραμμα σχήματα, ισότητα με ταύτιση
Δύο κομμάτια ενός παζλ μοιάζουν ίδια. Πώς βεβαιώνεσαι; Βάζεις το ένα πάνω στο άλλο και κοιτάς αν ταιριάζουν ακριβώς. Αυτή η απλή ιδέα, η ταύτιση, είναι ο ορισμός των ίσων σχημάτων στη Γεωμετρία.
Κι ο δρόμος από το σπίτι σου ως το σχολείο, με τις στροφές του, είναι μια τεθλασμένη γραμμή: το μήκος του είναι το άθροισμα των ευθύγραμμων κομματιών του.
Τα είδη των γραμμών
Μια γραμμή στο επίπεδο μπορεί να είναι:
- Ευθεία γραμμή: χαράσσεται ολόκληρη με τον χάρακα.
- Καμπύλη γραμμή: κανένα τμήμα της δεν είναι ευθύγραμμο — όπως ο κύκλος ή το ίχνος ενός στροβιλίσματος.
- Τεθλασμένη γραμμή: αποτελείται από διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Τα τμήματα λέγονται πλευρές της και τα κοινά τους άκρα κορυφές.
- Μικτή γραμμή: συνδυάζει ευθύγραμμα και καμπύλα κομμάτια.
Μια γραμμή λέγεται κλειστή όταν η αρχή και το τέλος της συμπίπτουν, αλλιώς λέγεται ανοιχτή.
Τεθλασμένη βγαίνει από το αρχαίο ρήμα θλάω, που σημαίνει «σπάω». Τεθλασμένη γραμμή είναι λοιπόν μια «σπασμένη» γραμμή: ευθύγραμμα κομμάτια που αλλάζουν κατεύθυνση σε κάθε κορυφή.
Πόσες πλευρές έχει η ανοιχτή τεθλασμένη γραμμή ;
Ευθύγραμμα σχήματα
Ευθύγραμμο σχήμα λέγεται κάθε επίπεδο σχήμα που η «περίφραξή» του είναι κλειστή τεθλασμένη γραμμή — δηλαδή αποτελείται μόνο από ευθύγραμμα τμήματα. Ανάλογα με το πλήθος των πλευρών λέγεται τρίγωνο (), τετράπλευρο (), πεντάγωνο () κ.ο.κ.
Ο κύκλος δεν είναι ευθύγραμμο σχήμα — η γραμμή του είναι καμπύλη.
Ίσα σχήματα
Δύο σχήματα λέγονται ίσα όταν, αν τοποθετηθεί το ένα πάνω στο άλλο (με μετακίνηση, στροφή ή αναποδογύρισμα), ταυτίζονται — συμπίπτουν σε όλα τους τα σημεία. Σκέψου δύο όμοια αυτοκόλλητα: όπου κι αν τα κολλήσεις, το ένα καλύπτει ακριβώς το άλλο.
Σε ίσα σχήματα, τα στοιχεία που συμπίπτουν κατά την ταύτιση (πλευρές, γωνίες, κορυφές) λέγονται αντίστοιχα και είναι ίσα μεταξύ τους.
Περίμετρος ευθύγραμμου σχήματος
Το μήκος της κλειστής τεθλασμένης γραμμής που «περιφράσσει» ένα ευθύγραμμο σχήμα λέγεται περίμετρος του σχήματος: είναι το άθροισμα όλων των πλευρών του.
Ίσα σχήματα έχουν πάντα ίση περίμετρο, αφού οι πλευρές τους ταυτίζονται μία προς μία. Το αντίστροφο όμως δεν ισχύει: ένα τετράγωνο με πλευρά cm και ένα ορθογώνιο cm επί cm έχουν και τα δύο περίμετρο cm, αλλά δεν ταυτίζονται.
Ο Αρχιμήδης, πριν από περίπου χρόνια, «στρίμωξε» τον κύκλο ανάμεσα σε δύο κανονικά πολύγωνα με πλευρές το καθένα, δηλαδή ανάμεσα σε δύο κλειστές τεθλασμένες γραμμές. Μετρώντας τις περιμέτρους τους βρήκε ότι ο αριθμός είναι ανάμεσα στο και στο .
Δίπλωσε το σχήμα πάνω στον καθρέφτη: αν τα δύο μισά πέφτουν ακριβώς το ένα πάνω στο άλλο, τότε ταυτίζονται — αυτή η «δοκιμή της ταύτισης» είναι ο ορισμός των ίσων σχημάτων.
Παράδειγμα: Μια τεθλασμένη γραμμή έχει πλευρές cm, cm και cm. Πόσο είναι το συνολικό της μήκος; Είναι ανοιχτή ή κλειστή;
Το μήκος της τεθλασμένης είναι το άθροισμα των πλευρών της:
Είναι ανοιχτή, γιατί η αρχή και το τέλος είναι διαφορετικά σημεία. Αν προσθέταμε και το τμήμα , θα γινόταν κλειστή — και τότε θα σχηματιζόταν ευθύγραμμο σχήμα: ένα τετράπλευρο.
Παράδειγμα: Τα τρίγωνα και είναι ίσα, και κατά την ταύτιση το πέφτει στο , το στο και το στο . Αν cm, cm, cm και , βρες τις πλευρές , , , τη γωνία και την περίμετρο κάθε τριγώνου.
Λύση: Αντίστοιχες πλευρές είναι αυτές με αντίστοιχα άκρα:
- cm, cm και cm.
- Η γωνία αντιστοιχεί στην : .
- Περίμετρος και των δύο τριγώνων: cm.
Τα τετράπλευρα και είναι ίσα, με το να πέφτει στο , το στο , το στο και το στο . Αν cm, ποια πλευρά του είναι σίγουρα cm;
Πότε δύο σχήματα λέγονται ίσα;
Ποιο από τα παρακάτω είναι ευθύγραμμο σχήμα;
Για να ελέγξεις στην πράξη αν δύο σχήματα είναι ίσα, σχεδίασε το ένα σε διαφανές χαρτί και ακούμπησέ το πάνω στο άλλο — επιτρέπεται να το γυρίσεις ή να το αναποδογυρίσεις. Την ίδια ιδέα της ταύτισης θα ξανασυναντήσεις στη συμμετρία, όπου το «δίπλωμα» κατά μήκος του άξονα είναι ακριβώς μια δοκιμή ταύτισης.
Από ένα τετράγωνο χαρτόνι με πλευρά cm κόβουμε ένα μικρό τετράγωνο με πλευρά cm από μία γωνία του. Η περίμετρος του σχήματος που μένει είναι μεγαλύτερη, μικρότερη ή ίση με την περίμετρο του αρχικού τετραγώνου;
Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση
Αρχική περίμετρος: cm.
Το νέο σχήμα είναι ευθύγραμμο με πλευρές. Οι δύο πλευρές που «κόπηκαν» έγιναν cm η καθεμιά, αλλά εμφανίστηκαν δύο καινούργιες πλευρές των cm στη θέση της γωνίας: cm.
Η περίμετρος μένει ίδια, cm, αν και το σχήμα έχει λιγότερο χαρτόνι. Οι δύο καινούργιες πλευρές αντικαθιστούν ακριβώς τα κομμάτια που χάθηκαν.
- Μέτρημα γραμμάτων αντί για πλευρές. Η ανοιχτή τεθλασμένη έχει πλευρές, όχι .
- «Ίδια περίμετρος ή ίδιο εμβαδόν, άρα ίσα». Ίσα είναι μόνο τα σχήματα που ταυτίζονται.
- Λάθος αντιστοίχιση. Αντίστοιχες είναι οι πλευρές με αντίστοιχα άκρα, όχι αυτές που «φαίνονται» στην ίδια θέση.
- Ο κύκλος ως ευθύγραμμο σχήμα. Ευθύγραμμο σχήμα έχει μόνο ευθύγραμμες πλευρές· ο κύκλος είναι καμπύλη γραμμή.
- Γραμμές: ευθεία, καμπύλη, τεθλασμένη, μικτή· κάθε γραμμή είναι ανοιχτή ή κλειστή.
- Τεθλασμένη : πλευρές τα , , · μήκος = άθροισμα των πλευρών.
- Ευθύγραμμο σχήμα: κλειστή τεθλασμένη (τρίγωνο, τετράπλευρο, πεντάγωνο…)· περίμετρος = άθροισμα πλευρών.
- Ίσα σχήματα ταυτίζονται· τα αντίστοιχα στοιχεία τους είναι ίσα.
- Ίσα σχήματα έχουν ίση περίμετρο, αλλά ίση περίμετρος δεν σημαίνει ίσα σχήματα.