🔢

Φυσικοί Αριθμοί & Δυνάμεις

Πράξεις, προτεραιότητα, δυνάμεις

Γιατί με νοιάζει;

Πληκτρολόγησε $2 + 3 \cdot 4$ σε ένα επιστημονικό κομπιουτεράκι: δείχνει $14$ . Ένα απλό κομπιουτεράκι τσέπης, που κάνει κάθε πράξη μόλις πατήσεις το επόμενο πλήκτρο, δείχνει $20$ . Ποιο έχει δίκιο;

Για να βγάζουν όλοι το ίδιο αποτέλεσμα, οι μαθηματικοί συμφώνησαν σε μια σειρά των πράξεων. Σε αυτό το κεφάλαιο θα τη μάθεις, μαζί με τις δυνάμεις: τον σύντομο τρόπο να γράφεις τεράστιους αριθμούς.

Οι φυσικοί αριθμοί

Οι αριθμοί $0, 1, 2, 3, \dots$ λέγονται φυσικοί αριθμοί. Με αυτούς μετράμε και απαριθμούμε. Στον άξονα των αριθμών κάθε φυσικός έχει τη θέση του: όσο πιο δεξιά βρίσκεται, τόσο μεγαλύτερος είναι.

Κάθε φυσικός (εκτός του 0) έχει έναν προηγούμενο και έναν επόμενο: του 7 προηγείται το 6 και έπεται το 8.

Διάταξη και ορολογία

Για να συγκρίνουμε δύο φυσικούς αριθμούς:

Αυτός με τα περισσότερα ψηφία είναι μεγαλύτερος: $1.050 > 987$ .
Αν έχουν ίδιο πλήθος ψηφίων, συγκρίνουμε ψηφίο-ψηφίο από τα αριστερά: $4.528 < 4.582$ , γιατί στις δεκάδες είναι $2 < 8$ .

Γράφουμε $<$ (μικρότερο) και $>$ (μεγαλύτερο) — η «μύτη» του συμβόλου δείχνει πάντα τον μικρότερο.

Τα ονόματα που θα συναντάς: άθροισμα (πρόσθεση), διαφορά (αφαίρεση: μειωτέος μείον αφαιρετέος), γινόμενο (πολλαπλασιασμός — οι αριθμοί λέγονται παράγοντες) και πηλίκο (διαίρεση).

Προτεραιότητα πράξεων

Όταν μια παράσταση έχει πολλές πράξεις, ακολουθούμε αυστηρή σειρά:

Δυνάμεις
Πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις (με τη σειρά, από αριστερά προς τα δεξιά)
Προσθέσεις και αφαιρέσεις (επίσης από αριστερά προς τα δεξιά)

Αν υπάρχουν παρενθέσεις, κάνουμε πρώτα τις πράξεις μέσα σε αυτές — και αν είναι φωλιασμένες, ξεκινάμε από την πιο εσωτερική.

$2 + 3 \cdot 4^2 = 2 + 3 \cdot 16 = 2 + 48 = 50$

Κόλπο μνήμης

Η σειρά των πράξεων είναι Π-Δ-Π-Π: Παρενθέσεις, Δυνάμεις, Πολλαπλασιασμοί/διαιρέσεις, Προσθέσεις/αφαιρέσεις. Θυμήσου τη φράση «Παιδιά, Διαβάστε Πρώτα Προσεκτικά».

Γρήγορος έλεγχος

Πόσο κάνει η παράσταση $20 - 4 \cdot 3 + 2$ ;

Μέθοδος: υπολογισμός αριθμητικής παράστασης

Εντόπισε τις παρενθέσεις και ξεκίνα από την πιο εσωτερική.
Μέσα σε κάθε παρένθεση (και μετά έξω) κάνε με τη σειρά: δυνάμεις → πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις → προσθέσεις και αφαιρέσεις.
Όταν δύο πράξεις έχουν την ίδια προτεραιότητα, προχώρα από αριστερά προς τα δεξιά.
Κάνε μία πράξη ανά βήμα και ξαναγράφε όλη την υπόλοιπη παράσταση.

Παράδειγμα (παρενθέσεις μέσα σε αγκύλη): Υπολόγισε την παράσταση $B = 2 \cdot [15 - (3 + 2) \cdot 2] + 4$ .

Λύση: Ξεκινάμε από την πιο εσωτερική παρένθεση: $3 + 2 = 5$ .

$B = 2 \cdot [15 - 5 \cdot 2] + 4$

Μέσα στην αγκύλη πρώτα ο πολλαπλασιασμός: $5 \cdot 2 = 10$ , και μετά $15 - 10 = 5$ .

$B = 2 \cdot 5 + 4 = 10 + 4 = 14$

Άσκηση από την καθημερινότητα: Η Ελένη αγόρασε $3$ τετράδια των $2$ € και $4$ στυλό του $1$ €. Πλήρωσε με χαρτονόμισμα των $20$ €. Πόσα ρέστα πήρε;

Λύση: Γράφουμε μία παράσταση: ρέστα $= 20 - (3 \cdot 2 + 4 \cdot 1)$ .

Πρώτα η παρένθεση: $3 \cdot 2 + 4 \cdot 1 = 6 + 4 = 10$ . Άρα ρέστα $= 20 - 10 = 10$ €.

Προσοχή: χωρίς την παρένθεση, το $20 - 3 \cdot 2 + 4 \cdot 1 = 20 - 6 + 4 = 18$ θα ήταν λάθος — τα στυλό θα «προστίθονταν» στα ρέστα αντί να αφαιρούνται!

Δυνάμεις

Η δύναμη $a^n$ είναι σύντομη γραφή του γινομένου $a \cdot a \cdots a$ ( $n$ φορές). Το $a$ λέγεται βάση και το $n$ εκθέτης.

Το $a^2$ διαβάζεται «α στο τετράγωνο» και το $a^3$ «α στον κύβο». Ειδικά για τις δυνάμεις του 10: το $10^n$ είναι το 1 ακολουθούμενο από $n$ μηδενικά.

$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdots a}_{n}$

Ήξερες ότι;

Ο αριθμός $10^{100}$ , δηλαδή ένα $1$ με εκατό μηδενικά, λέγεται γκούγκολ (googol). Το όνομα το σκέφτηκε ο εννιάχρονος ανιψιός του Αμερικανού μαθηματικού Έντουαρντ Κάσνερ, και από αυτό πήρε το όνομά της η Google. Με τη δύναμη τον γράφεις με λίγα σύμβολα αντί για $101$ ψηφία!

Παράδειγμα: $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$ και $10^4 = 10000$ (τόσα μηδενικά όσος ο εκθέτης!). Προσοχή: $2^3 = 8$ , ΟΧΙ $2 \cdot 3 = 6$ .

Γρήγορος έλεγχος

Πόσο κάνει η δύναμη $3^4$ ;

Ειδικές δυνάμεις και ανάπτυγμα

$a^1 = a$ : ένας μόνο παράγοντας, ο ίδιος ο αριθμός.
$1^n = 1$ και $0^n = 0$ (για $n \ge 1$ ).
Τετράγωνα και κύβοι που αξίζει να θυμάσαι: $4^2 = 16$ , $5^2 = 25$ , $10^2 = 100$ , $12^2 = 144$ και $2^3 = 8$ , $3^3 = 27$ , $4^3 = 64$ , $5^3 = 125$ .

Με τις δυνάμεις του $10$ γράφουμε κάθε φυσικό σε ανάπτυγμα, δηλαδή ανάλογα με την αξία θέσης κάθε ψηφίου:

$3.405 = 3 \cdot 10^3 + 4 \cdot 10^2 + 0 \cdot 10 + 5$

Γρήγορος έλεγχος

Ποιος αριθμός έχει ανάπτυγμα $5 \cdot 10^3 + 2 \cdot 10 + 7$ ;

Άσκηση: Υπολόγισε την παράσταση $A = 5 + 3 \cdot 2^3 - 36 : (11 - 2)$ .

Λύση: Παρένθεση: $11 - 2 = 9$ . Δύναμη: $2^3 = 8$ . Πολλαπλασιασμός και διαίρεση: $3 \cdot 8 = 24$ και $36 : 9 = 4$ . Τέλος, από αριστερά: $A = 5 + 24 - 4 = 29 - 4 = 25$ .

Γρήγορος έλεγχος

Πόσο κάνει η παράσταση $2 \cdot 5^2$ ;

Στο διαγώνισμα λύνε τις παραστάσεις «μία πράξη ανά γραμμή», ξαναγράφοντας κάθε φορά ολόκληρη την υπόλοιπη παράσταση — εκεί χάνονται οι περισσότερες μονάδες. Και θυμήσου: $a^0 = 1$ για κάθε $a \neq 0$ .

Πρόκληση

Στην παράσταση $2 + 3 \cdot 4 - 1$ βάλε ένα ζευγάρι παρενθέσεων ώστε το αποτέλεσμα να γίνει (α) $19$ (β) $11$ . (γ) Μπορεί να βγει $15$ με ένα μόνο ζευγάρι;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Χωρίς παρενθέσεις: $2 + 12 - 1 = 13$ .

(α) $(2 + 3) \cdot 4 - 1 = 5 \cdot 4 - 1 = 20 - 1 = 19$ .

(β) $2 + 3 \cdot (4 - 1) = 2 + 3 \cdot 3 = 2 + 9 = 11$ .

(γ) Δοκίμασε όλες τις θέσεις: $2 + (3 \cdot 4) - 1$ , $(2 + 3 \cdot 4) - 1$ , $2 + (3 \cdot 4 - 1)$ και $(2 + 3 \cdot 4 - 1)$ δίνουν όλες $13$ , γιατί δεν αλλάζουν τη σειρά των πράξεων. Με ένα ζευγάρι βγαίνουν μόνο $19$ , $13$ ή $11$ , άρα όχι. Με δύο ζευγάρια όμως γίνεται: $(2 + 3) \cdot (4 - 1) = 5 \cdot 3 = 15$ .

Συνηθισμένα λάθη

$2^3 = 6$ . Ο εκθέτης δεν πολλαπλασιάζεται με τη βάση· δείχνει πόσες φορές γράφεται η βάση ως παράγοντας: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ .
Πρόσθεση πριν τον πολλαπλασιασμό. Το $2 + 3 \cdot 4$ δεν κάνει $20$ αλλά $2 + 12 = 14$ .
Λάθος σειρά σε προσθαφαιρέσεις. Στο $20 - 4 + 2$ πάμε από αριστερά: $16 + 2 = 18$ , όχι $20 - 6 = 14$ .
$3 \cdot 10^2 = 30^2$ . Ο εκθέτης αφορά μόνο το $10$ : $3 \cdot 10^2 = 3 \cdot 100 = 300$ , ενώ $30^2 = 900$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

Σειρά πράξεων: παρενθέσεις → δυνάμεις → πολλαπλασιασμοί/διαιρέσεις → προσθέσεις/αφαιρέσεις· με ίδια προτεραιότητα, από αριστερά.
$a^n = a \cdot a \cdots a$ ( $n$ παράγοντες)· $a^1 = a$ και $a^0 = 1$ .
$10^n$ είναι το $1$ ακολουθούμενο από $n$ μηδενικά.
Ανάπτυγμα: $3.405 = 3 \cdot 10^3 + 4 \cdot 10^2 + 0 \cdot 10 + 5$ .
Σύγκριση φυσικών: περισσότερα ψηφία → μεγαλύτερος· αλλιώς ψηφίο-ψηφίο από αριστερά.

Οι φυσικοί αριθμοί

Οι αριθμοί

0, 1, 2, 3, \dots

λέγονται φυσικοί αριθμοί. Με αυτούς μετράμε και απαριθμούμε. Στον άξονα των αριθμών κάθε φυσικός έχει τη θέση του: όσο πιο δεξιά βρίσκεται, τόσο μεγαλύτερος είναι.

Κάθε φυσικός (εκτός του 0) έχει έναν προηγούμενο και έναν επόμενο: του 7 προηγείται το 6 και έπεται το 8.