Συμμετρία
Αξονική και κεντρική συμμετρία, μεσοκάθετος
Στο μπροστινό μέρος πολλών ασθενοφόρων η λέξη AMBULANCE είναι γραμμένη ανάποδα, σαν σε καθρέφτη. Γιατί; Για να τη διαβάζει σωστά ο οδηγός που βρίσκεται μπροστά, όταν κοιτάζει στον καθρέφτη του!
Ο καθρέφτης κάνει αξονική συμμετρία. Σε αυτό το κεφάλαιο θα γνωρίσεις και την κεντρική συμμετρία και θα βρίσκεις άξονες και κέντρα συμμετρίας σε σχήματα, γράμματα και αριθμούς.
Αξονική συμμετρία
Το συμμετρικό ενός σημείου ως προς ευθεία είναι το σημείο ώστε η να είναι μεσοκάθετος του τμήματος . Η ευθεία λέγεται άξονας συμμετρίας και λειτουργεί σαν καθρέφτης: αν διπλώσουμε το σχήμα κατά μήκος του άξονα, τα δύο μέρη ταυτίζονται.
Δίπλωσε το σχήμα γύρω από τον άξονα ή περίστρεψέ το 180° γύρω από το κέντρο.
Η μεσοκάθετος τμήματος
Η μεσοκάθετος ενός τμήματος είναι η ευθεία που περνά από το μέσο του και είναι κάθετη σε αυτό. Είναι ο άξονας συμμετρίας του τμήματος. Βασική της ιδιότητα: κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ισαπέχει από τα άκρα και .
Το σημείο ανήκει στη μεσοκάθετο του τμήματος , με cm και cm. Πόσο είναι το ;
Μέθοδος: κατασκευή συμμετρικού σημείου
Ως προς ευθεία :
- Από το φέρνουμε με τον γνώμονα την κάθετη προς την · την τέμνει στο .
- Προεκτείνουμε την κάθετη στην άλλη μεριά της και παίρνουμε .
Ως προς σημείο :
- Φέρνουμε την ευθεία .
- Προεκτείνουμε πέρα από το και παίρνουμε .
Για το συμμετρικό ενός τμήματος ή ενός τριγώνου, βρίσκουμε τα συμμετρικά των άκρων ή των κορυφών και τα ενώνουμε.
Παράδειγμα: (α) Ένα σημείο απέχει cm από την ευθεία . Πόσο απέχει από το συμμετρικό του ως προς την ; (β) Αν cm, πόσο είναι το , όπου το συμμετρικό του ως προς το σημείο ;
(α) Η είναι μεσοκάθετος του , άρα και το απέχει cm από την , από την άλλη μεριά: cm.
(β) Το είναι το μέσο του : cm.
Ένα σημείο απέχει cm από την ευθεία και είναι το συμμετρικό του ως προς την . Πόσο είναι το ;
Κεντρική συμμετρία
Το συμμετρικό ενός σημείου ως προς σημείο είναι το σημείο ώστε το να είναι το μέσο του τμήματος . Ισοδύναμα, το σχήμα στρέφεται κατά γύρω από το . Το παραλληλόγραμμο έχει κέντρο συμμετρίας το σημείο τομής των διαγωνίων του.
Ιδιότητες της συμμετρίας — κέντρο συμμετρίας
Και στις δύο συμμετρίες το συμμετρικό ενός σχήματος είναι σχήμα ίσο με το αρχικό:
- Το συμμετρικό ενός τμήματος είναι τμήμα ίσο με αυτό.
- Το συμμετρικό μιας γωνίας είναι γωνία ίση με αυτή.
- Το συμμετρικό ενός κύκλου είναι κύκλος με ίση ακτίνα.
Ένα σχήμα έχει κέντρο συμμετρίας όταν το συμμετρικό του ως προς το είναι ο εαυτός του — αν το στρέψουμε κατά γύρω από το , «πέφτει» ακριβώς πάνω του. Κέντρο συμμετρίας έχουν το παραλληλόγραμμο (άρα και το ορθογώνιο, ο ρόμβος, το τετράγωνο) και ο κύκλος (το κέντρο του). Ένα τρίγωνο δεν έχει ποτέ κέντρο συμμετρίας.
Αξονική συμμετρία = δίπλωμα κατά μήκος του άξονα, σαν καθρέφτης. Κεντρική συμμετρία = μισή στροφή () γύρω από το κέντρο. Γρήγορο τεστ: γύρνα το βιβλίο ανάποδα. Αν το σχήμα φαίνεται ίδιο, έχει κέντρο συμμετρίας.
Ποιο από τα παρακάτω σχήματα έχει κέντρο συμμετρίας;
Άξονες συμμετρίας βασικών σχημάτων
- Ισοσκελές τρίγωνο: 1 (η μεσοκάθετος της βάσης)
- Ισόπλευρο τρίγωνο: 3
- Ορθογώνιο: 2 (οι μεσοκάθετοι των πλευρών)
- Ρόμβος: 2 (οι διαγώνιοι)
- Τετράγωνο: 4 (2 μεσοκάθετοι + 2 διαγώνιοι)
- Κύκλος: άπειροι (κάθε ευθεία που περνά από το κέντρο)
Οι νιφάδες του χιονιού σχηματίζονται σχεδόν πάντα με εξάγωνη συμμετρία, γιατί τα μόρια του νερού στον πάγο διατάσσονται σε εξάγωνα. Μια «τέλεια» νιφάδα έχει άξονες συμμετρίας και ένα κέντρο συμμετρίας.
Πόσους άξονες συμμετρίας έχει ένα ορθογώνιο που δεν είναι τετράγωνο;
Παράδειγμα: Το σημείο έχει συμμετρικό ως προς την αρχή των αξόνων το , αφού το είναι το μέσο του . Ως προς τον άξονα , το συμμετρικό του είναι το : ίδια απόσταση από τον άξονα, από την άλλη πλευρά.
Παράδειγμα με γράμματα: Ποια από τα κεφαλαία γράμματα Α, Β, Η, Ν, Ζ, Χ έχουν άξονα συμμετρίας και ποια κέντρο συμμετρίας;
- Α: έναν κατακόρυφο άξονα, κέντρο όχι.
- Β: έναν οριζόντιο άξονα, κέντρο όχι.
- Η και Χ: δύο άξονες (κατακόρυφο και οριζόντιο) και κέντρο.
- Ν και Ζ: κανέναν άξονα, αλλά έχουν κέντρο — γύρισε τη σελίδα ανάποδα και θα τα δεις ίδια!
Παρατήρησε: όταν ένα σχήμα έχει δύο κάθετους άξονες, έχει πάντα και κέντρο συμμετρίας, το σημείο τομής τους.
Ποιο κεφαλαίο γράμμα έχει κέντρο συμμετρίας αλλά κανέναν άξονα συμμετρίας;
Κλασική παγίδα: οι διαγώνιοι του ορθογωνίου ΔΕΝ είναι άξονες συμμετρίας (είναι μόνο στο τετράγωνο και στον ρόμβο). Αν αμφιβάλλεις, φαντάσου ότι διπλώνεις το σχήμα — ταυτίζονται τα δύο μέρη;
Δύο σπίτια και βρίσκονται από την ίδια μεριά ενός ίσιου ποταμού . Ένας αγρότης θέλει να πάει από το στο ποτάμι, να γεμίσει τον κουβά του σε ένα σημείο της όχθης και να συνεχίσει στο . Σε ποιο σημείο πρέπει να πάει ώστε η διαδρομή να είναι η μικρότερη δυνατή;
Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση
Βρίσκουμε το συμμετρικό του ως προς την ευθεία . Για κάθε σημείο της όχθης, η είναι μεσοκάθετος του , άρα .
Έτσι . Η διαδρομή από το στο είναι η μικρότερη όταν είναι ευθύγραμμο τμήμα.
Άρα ενώνουμε το με το : το σημείο όπου το τμήμα κόβει την όχθη είναι το ζητούμενο . Αυτό το πρόβλημα το είχε μελετήσει ο Ήρων ο Αλεξανδρεύς, και έτσι ακριβώς ανακλάται το φως σε έναν καθρέφτη.
- Συμμετρικό σε λάθος απόσταση. Το απέχει από τον άξονα όσο το · η απόσταση είναι η διπλάσια.
- «Στραβός καθρέφτης». Το πρέπει να είναι κάθετο στον άξονα — όχι απλώς οριζόντιο ή κατακόρυφο στη σελίδα.
- Διαγώνιοι ορθογωνίου ως άξονες. Οι διαγώνιοι είναι άξονες μόνο στον ρόμβο και στο τετράγωνο.
- Άξονας ή κέντρο; Άξονας = δίπλωμα γύρω από ευθεία. Κέντρο = στροφή γύρω από σημείο. Ένα σχήμα μπορεί να έχει το ένα χωρίς το άλλο (Α, Ζ).
- Συμμετρικό ως προς ευθεία : η είναι μεσοκάθετος του .
- Συμμετρικό ως προς σημείο : το είναι μέσο του (στροφή ).
- Μεσοκάθετος: κάθε σημείο της ισαπέχει από τα άκρα, .
- Τα συμμετρικά σχήματα είναι ίσα: ίσα τμήματα, ίσες γωνίες, κύκλοι με ίση ακτίνα.
- Άξονες: ισοσκελές τρίγωνο , ισόπλευρο , ορθογώνιο , ρόμβος , τετράγωνο , κύκλος άπειροι· κέντρο έχουν τα παραλληλόγραμμα και ο κύκλος.