Εξισώσεις

Η εξίσωση ως ζυγαριά

Εξίσωση λέγεται μια ισότητα που περιέχει έναν άγνωστο αριθμό, συνήθως το $x$. Λύση (ή ρίζα) της εξίσωσης είναι ο αριθμός που, όταν αντικαταστήσει τον άγνωστο, κάνει την ισότητα αληθινή.

Φαντάσου την εξίσωση σαν ζυγαριά σε ισορροπία: τα δύο μέλη είναι οι δύο δίσκοι. Αν προσθέσουμε, αφαιρέσουμε, πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε και τα δύο μέλη με τον ίδιο αριθμό, η ζυγαριά μένει σε ισορροπία — η ισότητα διατηρείται.

Οι βασικές μορφές

• $x + \alpha = \beta \Rightarrow x = \beta - \alpha$
• $x - \alpha = \beta \Rightarrow x = \beta + \alpha$
• $\alpha - x = \beta \Rightarrow x = \alpha - \beta$
• $\alpha \cdot x = \beta \Rightarrow x = \frac{\beta}{\alpha}$ (με $\alpha \neq 0$)
• $\frac{x}{\alpha} = \beta \Rightarrow x = \alpha \cdot \beta$

Η μορφή $\alpha x + \beta = \gamma$ λύνεται σε δύο βήματα: πρώτα απομονώνουμε το $\alpha x$ αφαιρώντας το $\beta$, μετά διαιρούμε με το $\alpha$.

Μέθοδος: επίλυση της $\alpha x + \beta = \gamma$

1. Απομόνωσε τον όρο με το $x$: αφαίρεσε (ή πρόσθεσε) τον ίδιο αριθμό και στα δύο μέλη.
2. Διαίρεσε και τα δύο μέλη με τον αριθμό που πολλαπλασιάζει το $x$ — ή πολλαπλασίασε, αν το $x$ διαιρείται.
3. Γράψε καθαρά τη λύση: $x = \dots$
4. Κάνε επαλήθευση στην αρχική εξίσωση.

Όταν ο άγνωστος είναι διαιρέτης

Υπάρχει και η μορφή $\alpha : x = \beta$, δηλαδή $\frac{\alpha}{x} = \beta$: ο άγνωστος είναι ο διαιρέτης. Τότε $x = \frac{\alpha}{\beta}$ — διαιρούμε τον διαιρετέο με το πηλίκο. Π.χ. $\frac{36}{x} = 9 \Rightarrow x = \frac{36}{9} = 4$.

Για να θυμάσαι ποια πράξη χρειάζεται, σκέψου την αντίστροφη πράξη: η πρόσθεση «ξεκάνει» την αφαίρεση και η διαίρεση «ξεκάνει» τον πολλαπλασιασμό — και αντίστροφα. Αν διστάζεις, δοκίμασε με μικρούς αριθμούς: στο $10 - x = 7$ ξέρεις ότι $x = 3$, δηλαδή $x = 10 - 7$.

Ειδικές περιπτώσεις

Αν καταλήξουμε σε $0 \cdot x = \beta$ με $\beta \neq 0$, η εξίσωση είναι αδύνατη — κανένας αριθμός δεν την επαληθεύει. Αν καταλήξουμε σε $0 \cdot x = 0$, είναι ταυτότητα (αόριστη) — την επαληθεύει κάθε αριθμός.