🔷

Τετράπλευρα

Παραλληλόγραμμο, ορθογώνιο, ρόμβος, τετράγωνο, τραπέζιο

Γιατί με νοιάζει;

Οθόνη, πόρτα, πλακάκι, χαρταετός: τετράπλευρα υπάρχουν παντού γύρω σου. Μια ερώτηση-παγίδα όμως: το τετράγωνο είναι ορθογώνιο; Είναι ρόμβος; Είναι παραλληλόγραμμο;

Η απάντηση και στα τρία είναι ναι. Σε αυτό το κεφάλαιο θα γνωρίσεις την «οικογένεια» των τετραπλεύρων και θα καταλάβεις γιατί.

Στοιχεία τετραπλεύρου

Ένα τετράπλευρο $AB\Gamma\Delta$ έχει $4$ κορυφές, $4$ πλευρές και $2$ διαγωνίους — τα τμήματα $A\Gamma$ και $B\Delta$ που ενώνουν απέναντι κορυφές.

Αν φέρουμε μια διαγώνιο, το τετράπλευρο χωρίζεται σε δύο τρίγωνα. Επειδή το άθροισμα των γωνιών τριγώνου είναι $180°$ , προκύπτει ότι:

$\hat{A} + \hat{B} + \hat{\Gamma} + \hat{\Delta} = 2 \cdot 180° = 360°$

Τα κυριότερα τετράπλευρα

Παραλληλόγραμμο: τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες. Οι απέναντι πλευρές του είναι και ίσες, και οι απέναντι γωνίες του ίσες.
Ορθογώνιο: παραλληλόγραμμο με όλες τις γωνίες ορθές ( $90°$ ).
Ρόμβος: παραλληλόγραμμο με όλες τις πλευρές ίσες.
Τετράγωνο: τετράπλευρο με όλες τις γωνίες ορθές και όλες τις πλευρές ίσες — είναι ταυτόχρονα ορθογώνιο και ρόμβος!
Τραπέζιο: τετράπλευρο με μόνο δύο πλευρές παράλληλες, που λέγονται βάσεις. Η απόσταση των βάσεων λέγεται ύψος. Αν οι μη παράλληλες πλευρές είναι ίσες, λέγεται ισοσκελές τραπέζιο, ενώ αν μία πλευρά είναι κάθετη στις βάσεις, ορθογώνιο τραπέζιο.

Δοκίμασε να διπλώσεις κάθε τετράπλευρο: το ορθογώνιο διπλώνει σωστά στις μεσοκαθέτους των πλευρών, ο ρόμβος στις διαγωνίους του, ενώ το τετράγωνο — που είναι και τα δύο — διπλώνει και στα τέσσερα!

Η «οικογένεια» των παραλληλογράμμων

Πρόσεξε την ιεραρχία: το ορθογώνιο και ο ρόμβος είναι ειδικά παραλληλόγραμμα, και το τετράγωνο είναι ειδική περίπτωση και των δύο. Άρα:

Κάθε τετράγωνο είναι ορθογώνιο και ρόμβος και παραλληλόγραμμο.
Το αντίστροφο δεν ισχύει: ένα ορθογώνιο με άνισες διπλανές πλευρές δεν είναι τετράγωνο.
Το τραπέζιο δεν είναι παραλληλόγραμμο — έχει μόνο ένα ζευγάρι παράλληλες πλευρές.

Οι άξονες συμμετρίας ξεχωρίζουν τα μέλη της οικογένειας: ορθογώνιο $2$ (οι μεσοκάθετοι των πλευρών), ρόμβος $2$ (οι διαγώνιοι), τετράγωνο $4$ , ισοσκελές τραπέζιο $1$ .

Ήξερες ότι;

Αν κόψεις ένα φύλλο Α4 στη μέση, παίρνεις δύο φύλλα Α5 που έχουν ακριβώς το ίδιο σχήμα με το Α4, απλώς μικρότερο. Τα μεγέθη χαρτιού σχεδιάστηκαν επίτηδες έτσι, και ξεκινούν από το Α0, ένα ορθογώνιο με εμβαδόν ακριβώς $1 \text{ m}^2$ . Το Α4 είναι το Α0 κομμένο στη μέση τέσσερις φορές, άρα έχει εμβαδόν $\frac{1}{16} \text{ m}^2$ .

Παράδειγμα: (α) Ένας ρόμβος έχει περίμετρο $28$ cm. Πόση είναι η πλευρά του; (β) Ένας ορθογώνιος κήπος έχει περίμετρο $30$ m και μήκος $9$ m. Πόσο είναι το πλάτος του;

(α) Ο ρόμβος έχει $4$ ίσες πλευρές: $28 : 4 = 7$ cm.

(β) Στο ορθογώνιο οι απέναντι πλευρές είναι ίσες, άρα η περίμετρος είναι $2 \cdot$ (μήκος $+$ πλάτος). Μήκος $+$ πλάτος $= 30 : 2 = 15$ m, οπότε πλάτος $= 15 - 9 = 6$ m.

Γωνίες παραλληλογράμμου και τραπεζίου

Στο παραλληλόγραμμο $AB\Gamma\Delta$ οι πλευρές $A\Delta$ και $B\Gamma$ είναι παράλληλες και η $AB$ είναι τέμνουσα. Οι γωνίες $\hat{A}$ και $\hat{B}$ είναι εντός και επί τα αυτά, άρα:

Δύο διαδοχικές γωνίες παραλληλογράμμου (με κοινή πλευρά) είναι παραπληρωματικές: $\hat{A} + \hat{B} = 180°$ .
Οι απέναντι γωνίες είναι ίσες: $\hat{A} = \hat{\Gamma}$ και $\hat{B} = \hat{\Delta}$ .

Στο τραπέζιο με βάσεις $AB \parallel \Gamma\Delta$ ισχύει το ίδιο για κάθε μη παράλληλη πλευρά: οι δύο γωνίες πάνω της αθροίζουν $180°$ , δηλαδή $\hat{A} + \hat{\Delta} = 180°$ και $\hat{B} + \hat{\Gamma} = 180°$ .

Μέθοδος: γωνίες τετραπλεύρου

Αναγνώρισε το είδος: τυχαίο τετράπλευρο, παραλληλόγραμμο ή τραπέζιο;
Τυχαίο τετράπλευρο: χρησιμοποίησε μόνο ότι το άθροισμα είναι $360°$ .
Παραλληλόγραμμο: διαδοχικές γωνίες → άθροισμα $180°$ , απέναντι → ίσες. Μία γωνία αρκεί για να βρεις όλες.
Τραπέζιο: οι δύο γωνίες πάνω σε κάθε μη παράλληλη πλευρά αθροίζουν $180°$ .
Έλεγχος: οι τέσσερις γωνίες αθροίζουν $360°$ .

Παράδειγμα: Σε παραλληλόγραμμο $AB\Gamma\Delta$ είναι $\hat{A} = 70°$ . Βρες τις άλλες γωνίες.

Λύση: Διαδοχικές γωνίες παραπληρωματικές: $\hat{B} = 180° - 70° = 110°$ . Απέναντι γωνίες ίσες: $\hat{\Gamma} = \hat{A} = 70°$ και $\hat{\Delta} = \hat{B} = 110°$ .

Έλεγχος: $70° + 110° + 70° + 110° = 360°$ ✓

Γρήγορος έλεγχος

Σε παραλληλόγραμμο $AB\Gamma\Delta$ είναι $\hat{A} = 75°$ . Πόση είναι η $\hat{B}$ ;

Παράδειγμα: Σε τετράπλευρο $AB\Gamma\Delta$ είναι $\hat{A} = 100°$ , $\hat{B} = 80°$ και $\hat{\Gamma} = 95°$ . Βρες τη $\hat{\Delta}$ . Μπορεί το $AB\Gamma\Delta$ να είναι παραλληλόγραμμο;

Από το άθροισμα γωνιών τετραπλεύρου:

$\hat{\Delta} = 360° - (100° + 80° + 95°) = 360° - 275° = 85°$

Στο παραλληλόγραμμο οι απέναντι γωνίες είναι ίσες· εδώ όμως $\hat{A} = 100° \neq 95° = \hat{\Gamma}$ , άρα δεν είναι παραλληλόγραμμο.

Γρήγορος έλεγχος

Ποια πρόταση είναι σωστή;

Γρήγορος έλεγχος

Σε τετράπλευρο οι τρεις γωνίες είναι $100°$ , $80°$ και $95°$ . Η τέταρτη γωνία είναι:

Άσκηση: Σε τραπέζιο $AB\Gamma\Delta$ με βάσεις $AB \parallel \Gamma\Delta$ είναι $\hat{A} = 65°$ και $\hat{B} = 80°$ . Βρες τις $\hat{\Gamma}$ και $\hat{\Delta}$ .

Λύση: Πάνω στη μη παράλληλη πλευρά $A\Delta$ : $\hat{\Delta} = 180° - 65° = 115°$ . Πάνω στη μη παράλληλη πλευρά $B\Gamma$ : $\hat{\Gamma} = 180° - 80° = 100°$ .

Έλεγχος: $65° + 80° + 100° + 115° = 360°$ ✓

Γρήγορος έλεγχος

Σε τραπέζιο $AB\Gamma\Delta$ με βάσεις $AB \parallel \Gamma\Delta$ είναι $\hat{A} = 120°$ . Πόση είναι η $\hat{\Delta}$ ;

Όταν σου ζητούν να αναγνωρίσεις ένα τετράπλευρο, έλεγξε με τη σειρά δύο πράγματα: παραλληλία απέναντι πλευρών (δύο ζευγάρια $\to$ παραλληλόγραμμο, ένα $\to$ τραπέζιο) και μετά γωνίες/πλευρές (ορθές γωνίες $\to$ ορθογώνιο, ίσες πλευρές $\to$ ρόμβος, και τα δύο $\to$ τετράγωνο).

Πρόκληση

Σε ένα παραλληλόγραμμο $AB\Gamma\Delta$ μία γωνία είναι τετραπλάσια μιας άλλης. Βρες όλες τις γωνίες του.

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Στο παραλληλόγραμμο οι απέναντι γωνίες είναι ίσες, άρα δύο άνισες γωνίες του πρέπει να είναι διαδοχικές. Οι διαδοχικές γωνίες είναι παραπληρωματικές.

Αν $\omega$ η μικρότερη, τότε $\omega + 4\omega = 180°$ , άρα $5\omega = 180°$ και $\omega = 36°$ . Η μεγαλύτερη είναι $4 \cdot 36° = 144°$ .

Οι γωνίες είναι $36°$ , $144°$ , $36°$ , $144°$ . Έλεγχος: $2 \cdot 36° + 2 \cdot 144° = 72° + 288° = 360°$ .

Συνηθισμένα λάθη

$180°$ αντί για $360°$ . Το άθροισμα των γωνιών τετραπλεύρου είναι $360°$ · οι $180°$ είναι του τριγώνου.
Διαδοχικές ή απέναντι; Στο παραλληλόγραμμο οι απέναντι γωνίες είναι ίσες, ενώ οι διαδοχικές αθροίζουν $180°$ .
«Κάθε ρόμβος είναι τετράγωνο». Όχι — χρειάζεται και ορθές γωνίες. Αντίθετα, κάθε τετράγωνο είναι ρόμβος.
Τραπέζιο σαν παραλληλόγραμμο. Το τραπέζιο έχει ένα μόνο ζευγάρι παράλληλες πλευρές, άρα οι απέναντι γωνίες του γενικά δεν είναι ίσες.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Άθροισμα γωνιών κάθε τετραπλεύρου: $360°$ .
Παραλληλόγραμμο: απέναντι πλευρές παράλληλες και ίσες, απέναντι γωνίες ίσες, διαδοχικές γωνίες παραπληρωματικές.
Ορθογώνιο: $4$ ορθές γωνίες· ρόμβος: $4$ ίσες πλευρές· τετράγωνο: και τα δύο.
Κάθε τετράγωνο είναι ορθογώνιο και ρόμβος· κάθε ορθογώνιο και κάθε ρόμβος είναι παραλληλόγραμμο.
Τραπέζιο: μόνο δύο πλευρές παράλληλες (βάσεις)· οι γωνίες πάνω σε κάθε μη παράλληλη πλευρά αθροίζουν $180°$ .

Στοιχεία τετραπλεύρου

Ένα τετράπλευρο

AB\Gamma\Delta

έχει

4

κορυφές,

4

πλευρές και

2

διαγωνίους — τα τμήματα

A\Gamma

και

B\Delta

που ενώνουν απέναντι κορυφές.

Αν φέρουμε μια διαγώνιο, το τετράπλευρο χωρίζεται σε δύο τρίγωνα. Επειδή το άθροισμα των γωνιών τριγώνου είναι

180°

, προκύπτει ότι:

Τα κυριότερα τετράπλευρα

Παραλληλόγραμμο: τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες. Οι απέναντι πλευρές του είναι και ίσες, και οι απέναντι γωνίες του ίσες.

Ορθογώνιο: παραλληλόγραμμο με όλες τις γωνίες ορθές (

90°

Ρόμβος: παραλληλόγραμμο με όλες τις πλευρές ίσες.

Τετράγωνο: τετράπλευρο με όλες τις γωνίες ορθές και όλες τις πλευρές ίσες — είναι ταυτόχρονα ορθογώνιο και ρόμβος!

Τραπέζιο: τετράπλευρο με μόνο δύο πλευρές παράλληλες, που λέγονται βάσεις. Η απόσταση των βάσεων λέγεται ύψος. Αν οι μη παράλληλες πλευρές είναι ίσες, λέγεται ισοσκελές τραπέζιο, ενώ αν μία πλευρά είναι κάθετη στις βάσεις, ορθογώνιο τραπέζιο.

Η «οικογένεια» των παραλληλογράμμων

Κάθε τετράγωνο είναι ορθογώνιο και ρόμβος και παραλληλόγραμμο.

Το αντίστροφο δεν ισχύει: ένα ορθογώνιο με άνισες διπλανές πλευρές δεν είναι τετράγωνο.

Το τραπέζιο δεν είναι παραλληλόγραμμο — έχει μόνο ένα ζευγάρι παράλληλες πλευρές.

Οι άξονες συμμετρίας ξεχωρίζουν τα μέλη της οικογένειας: ορθογώνιο

2

(οι μεσοκάθετοι των πλευρών), ρόμβος

2

(οι διαγώνιοι), τετράγωνο

4

, ισοσκελές τραπέζιο

1