💯

Ποσοστά

Ποσοστό ως κλάσμα, αύξηση-μείωση

Γιατί με νοιάζει;

Ένα μαγαζί γράφει: «Έκπτωση $50\%$ και επιπλέον $20\%$ στο ταμείο!». Άρα $70\%$ έκπτωση; Όχι. Ένα παπούτσι των $100$ € γίνεται πρώτα $50$ € και μετά $50 - 10 = 40$ €: η συνολική έκπτωση είναι $60\%$ .

Τα ποσοστά τα συναντάς σε εκπτώσεις, στον ΦΠΑ, στη μπαταρία του κινητού, στους τόκους. Εδώ θα μάθεις να τα υπολογίζεις σωστά και να μην ξεγελιέσαι.

Τι είναι το ποσοστό

Το ποσοστό $\nu\%$ είναι το κλάσμα $\frac{\nu}{100}$ . Λέει «πόσα στα εκατό».

Οι τρεις μορφές είναι ισοδύναμες και πρέπει να μετακινείσαι ελεύθερα ανάμεσά τους: $25\% = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} = 0{,}25$ .

Σύρε και δες το ποσοστό ως κλάσμα και ως δεκαδικό.

Ήξερες ότι;

Το σύμβολο $\%$ προέρχεται από την ιταλική έκφραση per cento, «ανά εκατό». Οι έμποροι το έγραφαν συντομογραφικά στα λογιστικά τους βιβλία, και με τους αιώνες η συντομογραφία άλλαξε σχήμα μέχρι να γίνει το σημερινό $\%$ .

Υπολογισμός ποσοστού ποσού

Για να βρούμε το $\nu\%$ ενός ποσού, πολλαπλασιάζουμε το ποσό με $\frac{\nu}{100}$ .

$\nu\% \text{ του } \alpha = \frac{\nu}{100} \cdot \alpha$

Γρήγορος έλεγχος

Πόσο είναι το $15\%$ των $80$ €;

Κόλπο μνήμης

Το $\alpha\%$ του $\beta$ ισούται με το $\beta\%$ του $\alpha$ , γιατί $\frac{\alpha}{100} \cdot \beta = \frac{\beta}{100} \cdot \alpha$ . Διάλεξε όποιο είναι πιο εύκολο: το $8\%$ του $50$ είναι το $50\%$ του $8$ , δηλαδή $4$ .

Μέθοδος: οι τρεις τύποι προβλημάτων ποσοστών

Σε κάθε πρόβλημα ποσοστών υπάρχουν τρία μεγέθη: το όλον $\alpha$ , το ποσοστό $\nu\%$ και το μέρος $\mu = \frac{\nu}{100} \cdot \alpha$ . Ξέρουμε τα δύο και ψάχνουμε το τρίτο:

Ζητάμε το μέρος («πόσο είναι το $15\%$ των $80$ ;»): πολλαπλασιάζουμε $\frac{\nu}{100} \cdot \alpha$ .
Ζητάμε το ποσοστό («τι ποσοστό του $48$ είναι το $12$ ;»): φτιάχνουμε το κλάσμα $\frac{\mu}{\alpha}$ και το κάνουμε ισοδύναμο με παρονομαστή $100$ .
Ζητάμε το όλον («το $30\%$ ενός αριθμού είναι $45$ »): ονομάζουμε $x$ το όλον και λύνουμε την εξίσωση $\frac{\nu}{100} \cdot x = \mu$ .

Παράδειγμα: (α) Σε μια τάξη $25$ μαθητών τα $15$ είναι κορίτσια. Τι ποσοστό της τάξης είναι κορίτσια; (β) Το $30\%$ των μαθητών ενός σχολείου, δηλαδή $45$ μαθητές, έρχονται με ποδήλατο. Πόσους μαθητές έχει το σχολείο;

(α) $\frac{15}{25} = \frac{15 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{60}{100} = 60\%$ .

(β) Έστω $x$ οι μαθητές: $\frac{30}{100} \cdot x = 45$ . Αφού το $30\%$ είναι $45$ μαθητές, το $10\%$ είναι $45 : 3 = 15$ και το $100\%$ είναι $15 \cdot 10 = 150$ μαθητές.

Έλεγχος: $\frac{30}{100} \cdot 150 = 45$ ✓

Γρήγορος έλεγχος

Σε ένα διαγώνισμα $40$ ερωτήσεων η Νίκη απάντησε σωστά στις $34$ . Τι ποσοστό των ερωτήσεων απάντησε σωστά;

Γρήγορος έλεγχος

Το $20\%$ ενός ποσού είναι $30$ €. Ποιο είναι το ποσό;

Αύξηση και μείωση

Αύξηση κατά $\nu\%$ : νέα τιμή $= \alpha \cdot \left(1 + \frac{\nu}{100}\right)$
Μείωση (έκπτωση) κατά $\nu\%$ : νέα τιμή $= \alpha \cdot \left(1 - \frac{\nu}{100}\right)$

Το ποσοστό υπολογίζεται πάντα πάνω στην αρχική τιμή, όχι στην τελική.

Παράδειγμα: Ένα παντελόνι κοστίζει 40€ και έχει έκπτωση 25%. Η έκπτωση είναι $\frac{25}{100} \cdot 40 = 10$ €, άρα θα το πληρώσουμε $40 - 10 = 30$ €. Πιο γρήγορα: $40 \cdot 0{,}75 = 30$ €.

Άσκηση: Μετά από αύξηση 20% ένα εισιτήριο κοστίζει 60€. Πόσο κόστιζε πριν την αύξηση;

Λύση: Αν $x$ η αρχική τιμή, τότε $x \cdot \left(1 + \frac{20}{100}\right) = 60$ , δηλαδή $1{,}2 \cdot x = 60$ , άρα $x = 60 : 1{,}2 = 50$ €. Προσοχή: ΟΧΙ $60 - \frac{20}{100} \cdot 60 = 48$ € — η αύξηση έγινε πάνω στην αρχική τιμή, όχι στην τελική!

Γρήγορος έλεγχος

Ένα προϊόν κοστίζει $100$ €. Η τιμή του αυξάνεται κατά $10\%$ και μετά η νέα τιμή μειώνεται κατά $10\%$ . Πόσο κοστίζει τελικά;

Άσκηση (ΦΠΑ): Ένα ποδήλατο κοστίζει $250$ € χωρίς ΦΠΑ. Ο ΦΠΑ είναι $24\%$ . Πόσο θα πληρώσουμε;

Λύση: ΦΠΑ $= \frac{24}{100} \cdot 250 = \frac{6000}{100} = 60$ €. Τελική τιμή: $250 + 60 = 310$ €.

Πιο γρήγορα, ως αύξηση $24\%$ : $250 \cdot \left(1 + \frac{24}{100}\right) = 250 \cdot \frac{124}{100} = 310$ €.

Άσκηση (τόκος): Η γιαγιά καταθέτει $800$ € στην τράπεζα με ετήσιο επιτόκιο $2\%$ . Πόσο τόκο θα πάρει σε έναν χρόνο και πόσα χρήματα θα έχει τότε;

Λύση: Ο τόκος είναι ποσοστό του κεφαλαίου: $\frac{2}{100} \cdot 800 = 16$ €. Μετά από έναν χρόνο θα έχει $800 + 16 = 816$ €.

Γρήγορος νοερός υπολογισμός: βρες πρώτα το 10% (διαιρείς με το 10) και χτίσε από εκεί — το 5% είναι το μισό του, το 20% το διπλάσιο, το 25% το ένα τέταρτο του ποσού. Ιδανικό για έλεγχο του τελικού αποτελέσματος.

Πρόκληση

Ένα μπουφάν έχει έκπτωση $20\%$ . Μετά το τέλος των εκπτώσεων, πόσο τοις εκατό πρέπει να αυξηθεί η νέα τιμή για να γυρίσει ακριβώς στην αρχική;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Πάρε αρχική τιμή $100$ €. Μετά την έκπτωση $20\%$ γίνεται $80$ €.

Για να ξαναγίνει $100$ €, χρειάζεται αύξηση $20$ € πάνω στα $80$ €. Ως ποσοστό των $80$ : $\frac{20}{80} = \frac{1}{4} = \frac{25}{100}$ , δηλαδή $25\%$ .

Η αύξηση είναι μεγαλύτερη από την έκπτωση, γιατί υπολογίζεται πάνω σε μικρότερο ποσό.

Συνηθισμένα λάθη

Ποσοστό στο λάθος ποσό. Η αύξηση ή η έκπτωση υπολογίζεται στην αρχική τιμή. Αν ξέρεις την τελική και ψάχνεις την αρχική, στήσε εξίσωση — μην αφαιρέσεις το ποσοστό από την τελική.
« $+10\%$ και $-10\%$ αλληλοαναιρούνται». Όχι: $100 \to 110 \to 99$ €.
Ποσοστό σαν ευρώ. Έκπτωση $15\%$ στα $80$ € δεν σημαίνει $80 - 15$ · η έκπτωση είναι $12$ €.
Ανάποδο κλάσμα. «Τι ποσοστό του $48$ είναι το $12$ » γράφεται $\frac{12}{48}$ — μέρος προς όλον, όχι όλον προς μέρος.

Σύνοψη — τι κρατάμε

$\nu\% = \frac{\nu}{100}$ , π.χ. $25\% = \frac{1}{4} = 0{,}25$ .
Μέρος $= \frac{\nu}{100} \cdot$ όλον· ποσοστό $= \frac{\text{μέρος}}{\text{όλον}}$ γραμμένο σε εκατοστά.
Όλον από γνωστό μέρος: λύνουμε την εξίσωση $\frac{\nu}{100} \cdot x = \mu$ .
Αύξηση: $\alpha \cdot \left(1 + \frac{\nu}{100}\right)$ , μείωση: $\alpha \cdot \left(1 - \frac{\nu}{100}\right)$ — πάντα πάνω στην αρχική τιμή.
ΦΠΑ και τόκος είναι απλώς ποσοστά μιας τιμής ή ενός κεφαλαίου.

Τι είναι το ποσοστό

Το ποσοστό

\nu\%

είναι το κλάσμα

\frac{\nu}{100}

. Λέει «πόσα στα εκατό».

Οι τρεις μορφές είναι ισοδύναμες και πρέπει να μετακινείσαι ελεύθερα ανάμεσά τους:

25\% = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} = 0{,}25