🌡️

Θετικοί & Αρνητικοί Αριθμοί

Ρητοί, απόλυτη τιμή, πράξεις με πρόσημα

Γιατί με νοιάζει;

Στο ασανσέρ πατάς $-2$ για το υπόγειο πάρκινγκ. Το θερμόμετρο τον χειμώνα δείχνει $-5°$ C. Αν έχεις $3$ € και χρωστάς $5$ €, στην ουσία έχεις $-2$ €.

Οι αρνητικοί αριθμοί μετράνε ό,τι είναι «κάτω από το μηδέν». Εδώ θα μάθεις να τους συγκρίνεις και να κάνεις πράξεις με πρόσημα χωρίς να μπερδεύεσαι.

Οι ρητοί αριθμοί

Οι αριθμοί με πρόσημο ( $+$ ή $-$ ) λέγονται ρητοί. Τους τοποθετούμε στον άξονα των αριθμών: οι θετικοί δεξιά του 0, οι αρνητικοί αριστερά.

Η απόλυτη τιμή $|x|$ είναι η απόσταση του $x$ από το 0 — ποτέ αρνητική: $|{-3}| = |{+3}| = 3$ . Δύο αριθμοί με ίδια απόλυτη τιμή και διαφορετικό πρόσημο λέγονται αντίθετοι.

Σύγκριση: κάθε θετικός είναι μεγαλύτερος από κάθε αρνητικό· από δύο αρνητικούς, μεγαλύτερος είναι αυτός με τη μικρότερη απόλυτη τιμή ( $-2 > -5$ ).

Γρήγορος έλεγχος

Ποιοι αριθμοί έχουν απόλυτη τιμή $5$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Ποια από τις παρακάτω ανισότητες είναι σωστή;

Ήξερες ότι;

Στην αρχαία Κίνα, πριν από περίπου $2000$ χρόνια, το βιβλίο «Τα εννέα κεφάλαια της μαθηματικής τέχνης» χρησιμοποιούσε ήδη αρνητικούς αριθμούς. Οι υπολογιστές της εποχής έκαναν πράξεις με κόκκινα ραβδάκια για τους θετικούς και μαύρα για τους αρνητικούς. Στην Ευρώπη πολλοί μαθηματικοί αρνιόντουσαν να δεχτούν τους αρνητικούς αριθμούς ακόμη και πολλούς αιώνες αργότερα.

Πρόσθεση ρητών

Ίδιο πρόσημο: προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές και κρατάμε το κοινό πρόσημο
Διαφορετικό πρόσημο: αφαιρούμε τις απόλυτες τιμές και κρατάμε το πρόσημο του αριθμού με τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή

Σύρε τα α, β και δες την πρόσθεση ως βήματα πάνω στον άξονα.

Αφαίρεση, πολλαπλασιασμός & διαίρεση

Αφαίρεση: προσθέτουμε τον αντίθετο, $x - y = x + (-y)$
Πολλαπλασιασμός/διαίρεση: ίδια πρόσημα → θετικό αποτέλεσμα, $(-) \cdot (-) = (+)$ · διαφορετικά πρόσημα → αρνητικό, $(+) \cdot (-) = (-)$

Σε γινόμενο πολλών παραγόντων το πρόσημο κρίνεται από το πλήθος των αρνητικών: άρτιο πλήθος → θετικό, περιττό → αρνητικό.

Κόλπο μνήμης

Ο κανόνας των προσήμων στον πολλαπλασιασμό θυμίζει φιλίες: ο φίλος του φίλου μου είναι φίλος μου ( $+ \cdot + = +$ ), ο εχθρός του εχθρού μου είναι φίλος μου ( $- \cdot - = +$ ), ενώ ο φίλος του εχθρού μου και ο εχθρός του φίλου μου είναι εχθροί μου ( $+ \cdot - = -$ και $- \cdot + = -$ ).

Παράδειγμα: $(-3) + (+8) = +5$ , ενώ $(-3) \cdot (-4) = +12$ και $(-3) \cdot (+4) = -12$ . Επίσης $5 - 9 = 5 + (-9) = -4$ .

Γρήγορος έλεγχος

Πόσο κάνει $(-6) - (-9)$ ;

Απαλοιφή παρενθέσεων

Σε μια παράσταση μπορούμε να «σβήσουμε» τις παρενθέσεις:

Αν μπροστά από την παρένθεση υπάρχει $+$ , τη βγάζουμε και οι όροι κρατούν τα πρόσημά τους: $+(3 - 7) = 3 - 7$ .
Αν μπροστά υπάρχει $-$ , τη βγάζουμε και αλλάζουμε το πρόσημο κάθε όρου μέσα της: $-(3 - 7) = -3 + 7$ .

Σε άθροισμα πολλών ρητών μπορούμε επίσης να αλλάξουμε τη σειρά των όρων (αντιμεταθετική και προσεταιριστική ιδιότητα), και δύο αντίθετοι «εξουδετερώνονται»: $(-8) + (+8) = 0$ .

Μέθοδος: παράσταση με πολλούς όρους

Κάνε απαλοιφή παρενθέσεων — προσοχή στο $-$ μπροστά από παρένθεση.
Διώξε τα ζευγάρια αντιθέτων, αν υπάρχουν.
Πρόσθεσε χωριστά όλους τους θετικούς και χωριστά όλους τους αρνητικούς.
Κάνε μία τελική πρόσθεση ετερόσημων: αφαιρείς τις απόλυτες τιμές και κρατάς το πρόσημο της μεγαλύτερης.

Παράδειγμα: Υπολόγισε (α) $A = -7 + 12 - 5 + 3 - 9$ (β) $B = 8 - (3 - 7) + (-2 + 5)$ .

(α) Θετικοί: $12 + 3 = 15$ . Αρνητικοί: $-7 - 5 - 9 = -21$ . Άρα $A = 15 - 21 = -6$ .

(β) Απαλοιφή παρενθέσεων: $B = 8 - 3 + 7 - 2 + 5$ . Θετικοί: $8 + 7 + 5 = 20$ , αρνητικοί: $-3 - 2 = -5$ . Άρα $B = 20 - 5 = 15$ .

Έλεγχος του (β) με πράξεις μέσα στις παρενθέσεις: $8 - (-4) + (+3) = 8 + 4 + 3 = 15$ ✓

Γρήγορος έλεγχος

Πόσο κάνει $-4 - (2 - 9)$ ;

Άσκηση από την καθημερινότητα: Ένα χειμωνιάτικο πρωί στη Φλώρινα το θερμόμετρο έδειχνε $-3°$ C. Ως το μεσημέρι η θερμοκρασία ανέβηκε κατά $8°$ και ως το βράδυ έπεσε κατά $6°$ . (α) Πόση ήταν η θερμοκρασία το βράδυ; (β) Πόσους βαθμούς θερμότερο ήταν το μεσημέρι από το πρωί;

(α) $-3 + 8 - 6 = 5 - 6 = -1°$ C.

(β) Το μεσημέρι είχε $-3 + 8 = 5°$ C. Διαφορά: $5 - (-3) = 5 + 3 = 8°$ — όσο ακριβώς ανέβηκε η θερμοκρασία.

Γρήγορος έλεγχος

Πόσο κάνει $(-2) \cdot (-3) \cdot (-5)$ ;

Άσκηση: Υπολόγισε την παράσταση $A = (-2) \cdot (-3) - |{-4}| + (-10) : 5$ .

Λύση: $(-2) \cdot (-3) = +6$ , $|{-4}| = 4$ και $(-10) : 5 = -2$ . Άρα $A = 6 - 4 + (-2) = 2 - 2 = 0$ .

Στις παραστάσεις με πολλά πρόσημα: μετέτρεψε πρώτα κάθε αφαίρεση σε πρόσθεση με τον αντίθετο και μέτρησε τα «πλην» στα γινόμενα (άρτια → $+$ , περιττά → $-$ ) ΠΡΙΝ κάνεις πράξεις — έτσι δεν χάνεις ποτέ πρόσημο.

Πρόκληση

Υπολόγισε χωρίς κομπιουτεράκι: $1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + \dots + 99 - 100$ .

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Βάζουμε τους όρους σε ζευγάρια: $(1 - 2) + (3 - 4) + (5 - 6) + \dots + (99 - 100)$ .

Κάθε ζευγάρι κάνει $-1$ , και από το $1$ ως το $100$ σχηματίζονται $100 : 2 = 50$ ζευγάρια. Άρα το αποτέλεσμα είναι $50 \cdot (-1) = -50$ .

Συνηθισμένα λάθη

$-(3 - 7) = -3 - 7$ . Το $-$ μπροστά από παρένθεση αλλάζει το πρόσημο κάθε όρου: $-3 + 7$ .
$(-6) - (-9) = -15$ . Η αφαίρεση γίνεται πρόσθεση του αντιθέτου: $(-6) + (+9) = +3$ .
«Πλην επί πλην» στην πρόσθεση. Ο κανόνας των προσήμων ισχύει μόνο σε πολλαπλασιασμό και διαίρεση. Το $(-3) + (-4)$ κάνει $-7$ , όχι $+7$ .
Σύγκριση αρνητικών σαν φυσικών. Είναι $-8 < -3$ , γιατί το $-8$ βρίσκεται πιο αριστερά στον άξονα.

Σύνοψη — τι κρατάμε

$|x|$ = απόσταση από το $0$ , ποτέ αρνητική· αντίθετοι: ίδια απόλυτη τιμή, αντίθετο πρόσημο.
Πρόσθεση: ομόσημοι → προσθέτω απόλυτες τιμές, κρατάω το κοινό πρόσημο· ετερόσημοι → αφαιρώ, κρατάω το πρόσημο της μεγαλύτερης απόλυτης τιμής.
Αφαίρεση: $x - y = x + (-y)$ · $-(\alpha - \beta) = -\alpha + \beta$ .
Πολλαπλασιασμός και διαίρεση: ομόσημοι → $+$ , ετερόσημοι → $-$ · άρτιο πλήθος αρνητικών → $+$ .
Από δύο αρνητικούς μεγαλύτερος είναι αυτός με τη μικρότερη απόλυτη τιμή.

Οι ρητοί αριθμοί

Οι αριθμοί με πρόσημο (

+

-

) λέγονται ρητοί. Τους τοποθετούμε στον άξονα των αριθμών: οι θετικοί δεξιά του 0, οι αρνητικοί αριστερά.

Η απόλυτη τιμή

|x|

είναι η απόσταση του

x

από το 0 — ποτέ αρνητική:

|{-3}| = |{+3}| = 3

. Δύο αριθμοί με ίδια απόλυτη τιμή και διαφορετικό πρόσημο λέγονται αντίθετοι.

Σύγκριση: κάθε θετικός είναι μεγαλύτερος από κάθε αρνητικό· από δύο αρνητικούς, μεγαλύτερος είναι αυτός με τη μικρότερη απόλυτη τιμή (

-2 > -5