🧭

Εφεξής & Διαδοχικές Γωνίες

Εφεξής, διαδοχικές γωνίες και άθροισμα γωνιών γύρω από σημείο

Γιατί με νοιάζει;

Η ρόδα ενός ποδηλάτου έχει $36$ ακτίνες σε ίσες αποστάσεις. Πόσες μοίρες είναι η γωνία ανάμεσα σε δύο γειτονικές ακτίνες; Όλες μαζί γεμίζουν έναν πλήρη γύρο, άρα η καθεμιά είναι $360° : 36 = 10°$ .

Τέτοιες γωνίες, η μία δίπλα στην άλλη, λέγονται εφεξής και διαδοχικές. Με αυτές θα βρίσκεις γρήγορα άγνωστες γωνίες σε κάθε σχήμα.

Εφεξής γωνίες

Δύο γωνίες λέγονται εφεξής όταν:

έχουν την ίδια κορυφή,
έχουν μία κοινή πλευρά, και
δεν έχουν κανένα άλλο κοινό σημείο — δηλαδή βρίσκονται η μία δίπλα στην άλλη, εκατέρωθεν της κοινής πλευράς.

Φαντάσου ένα κομμένο κομμάτι πίτσας που το χωρίζεις με μια ακόμη κοψιά: τα δύο νέα κομμάτια είναι εφεξής γωνίες — μοιράζονται τη μύτη (κορυφή) και την κοψιά (κοινή πλευρά), αλλά δεν «πατάει» το ένα πάνω στο άλλο.

Προσοχή: αν η μία γωνία βρίσκεται μέσα στην άλλη, έχουν μεν κοινή κορυφή και κοινή πλευρά, αλλά δεν είναι εφεξής, γιατί έχουν και άλλα κοινά σημεία.

Κόλπο μνήμης

Εφεξής σημαίνει «στη σειρά, αμέσως μετά», όπως στο «από εδώ και εφεξής». Οι εφεξής γωνίες έρχονται η μία αμέσως μετά την άλλη, κολλητά, με κοινή πλευρά.

Περίστρεψε τη μεσαία πλευρά και δες πώς οι δύο εφεξής γωνίες αλλάζουν μέγεθος, ενώ το άθροισμά τους — η ολική γωνία — μένει σταθερό.

Διαδοχικές γωνίες & αθροίσματα

Περισσότερες από δύο γωνίες λέγονται διαδοχικές όταν βρίσκονται η μία δίπλα στην άλλη, έτσι ώστε καθεμιά να είναι εφεξής με την επόμενή της — σαν φέτες σε μια βεντάλια.

Τα διαδοχικά «ανοίγματα» προστίθενται, και αυτό δίνει δύο πολύ χρήσιμα συμπεράσματα:

Διαδοχικές γωνίες που οι μη κοινές πλευρές των άκρων τους είναι αντικείμενες ημιευθείες (σχηματίζουν ευθεία) έχουν άθροισμα $180°$ — γι' αυτό δύο τέτοιες γωνίες είναι παραπληρωματικές.
Διαδοχικές γωνίες που καλύπτουν όλο το επίπεδο γύρω από ένα σημείο έχουν άθροισμα $360°$ — μια πλήρη στροφή.

$\text{γύρω από σημείο: } \hat{\alpha} + \hat{\beta} + \hat{\gamma} + \dots = 360°$

Ήξερες ότι;

Στις κηρήθρες οι μέλισσες χτίζουν κελιά σε σχήμα κανονικού εξαγώνου, με γωνίες $120°$ . Σε κάθε κορυφή συναντιούνται τρία κελιά, και οι τρεις γωνίες γύρω από το σημείο κάνουν $3 \cdot 120° = 360°$ : γεμίζουν τον χώρο χωρίς κανένα κενό.

Παράδειγμα: Γύρω από το σημείο $O$ σχηματίζονται τρεις διαδοχικές γωνίες $\hat{\alpha} = 150°$ , $\hat{\beta} = 130°$ και $\hat{\gamma}$ , που μαζί καλύπτουν όλο το επίπεδο. Βρες τη $\hat{\gamma}$ .

Οι τρεις γωνίες συμπληρώνουν πλήρη στροφή:

$\hat{\alpha} + \hat{\beta} + \hat{\gamma} = 360°$

$\hat{\gamma} = 360° - 150° - 130° = 80°$

Γρήγορος έλεγχος

Πότε δύο γωνίες λέγονται εφεξής;

Γρήγορος έλεγχος

Τρεις διαδοχικές γωνίες γύρω από σημείο $O$ καλύπτουν όλο το επίπεδο. Οι δύο είναι $150°$ και $130°$ . Η τρίτη είναι:

Μέθοδος: διαδοχικές γωνίες με άγνωστο

Κοίτα τις ακραίες πλευρές: σχηματίζουν ευθεία (άθροισμα $180°$ ) ή οι γωνίες καλύπτουν όλο το επίπεδο γύρω από το σημείο (άθροισμα $360°$ );
Γράψε κάθε γωνία με τη βοήθεια του $x$ (π.χ. $x$ , $2x$ , $3x$ ).
Στήσε την εξίσωση «άθροισμα γωνιών $= 180°$ » ή « $= 360°$ » και λύσε την.
Υπολόγισε κάθε γωνία και έλεγξε το άθροισμα.

Παράδειγμα: Τρεις διαδοχικές γωνίες $\hat{\alpha}$ , $\hat{\beta}$ , $\hat{\gamma}$ έχουν τις ακραίες πλευρές τους αντικείμενες ημιευθείες. Η $\hat{\beta}$ είναι διπλάσια της $\hat{\alpha}$ και η $\hat{\gamma}$ τριπλάσια της $\hat{\alpha}$ . Βρες τις γωνίες.

Λύση: Οι ακραίες πλευρές σχηματίζουν ευθεία, άρα $\hat{\alpha} + \hat{\beta} + \hat{\gamma} = 180°$ . Με $\hat{\alpha} = x$ : $x + 2x + 3x = 180°$ , δηλαδή $6x = 180°$ και $x = 30°$ .

Άρα $\hat{\alpha} = 30°$ , $\hat{\beta} = 60°$ , $\hat{\gamma} = 90°$ . Έλεγχος: $30° + 60° + 90° = 180°$ ✓

Παράδειγμα (διχοτόμοι εφεξής παραπληρωματικών γωνιών): Δύο εφεξής γωνίες $x\hat{O}y = 130°$ και $y\hat{O}z = 50°$ έχουν άθροισμα $180°$ . Φέρνουμε τις διχοτόμους τους $O\delta_1$ και $O\delta_2$ . Πόση γωνία σχηματίζουν;

Λύση: Η $O\delta_1$ απέχει από την κοινή πλευρά $Oy$ το μισό της πρώτης γωνίας: $130° : 2 = 65°$ . Η $O\delta_2$ απέχει από την $Oy$ το μισό της δεύτερης: $50° : 2 = 25°$ . Οι δύο μισές γωνίες είναι εφεξής, άρα

$\delta_1\hat{O}\delta_2 = 65° + 25° = 90°$

Αυτό ισχύει πάντα: τα μισά δύο γωνιών με άθροισμα $180°$ έχουν άθροισμα $90°$ . Οι διχοτόμοι δύο εφεξής παραπληρωματικών γωνιών είναι κάθετες.

Γρήγορος έλεγχος

Τέσσερις γωνίες γύρω από ένα σημείο καλύπτουν όλο το επίπεδο. Οι δύο είναι $90°$ και $100°$ και οι άλλες δύο είναι ίσες μεταξύ τους. Πόση είναι καθεμιά από τις ίσες γωνίες;

Γρήγορος έλεγχος

Δύο εφεξής γωνίες είναι παραπληρωματικές. Πόση γωνία σχηματίζουν οι διχοτόμοι τους;

Σε ασκήσεις με πολλές γωνίες σε ένα σχήμα, ρώτα πρώτα: «οι ακραίες πλευρές σχηματίζουν ευθεία ή πλήρη στροφή;» Ευθεία $\to$ άθροισμα $180°$ , πλήρης στροφή $\to$ $360°$ . Σημείωσε το άθροισμα δίπλα στο σχήμα πριν αρχίσεις πράξεις.

Πρόκληση

Γύρω από ένα σημείο $O$ σχηματίζονται τέσσερις διαδοχικές γωνίες $x\hat{O}y = \omega$ , $y\hat{O}z = \omega + 10°$ , $z\hat{O}t = \omega + 20°$ και $t\hat{O}x = \omega + 30°$ , που καλύπτουν όλο το επίπεδο. (α) Βρες τις γωνίες. (β) Δείξε ότι οι ημιευθείες $Oy$ και $Ot$ είναι αντικείμενες.

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

(α) Γύρω από σημείο το άθροισμα είναι $360°$ : $4\omega + 60° = 360°$ , άρα $4\omega = 300°$ και $\omega = 75°$ . Οι γωνίες είναι $75°$ , $85°$ , $95°$ και $105°$ .

(β) Οι γωνίες $y\hat{O}z$ και $z\hat{O}t$ είναι εφεξής, με άθροισμα $85° + 95° = 180°$ . Άρα οι μη κοινές πλευρές τους, οι $Oy$ και $Ot$ , σχηματίζουν ευθεία γωνία, δηλαδή είναι αντικείμενες ημιευθείες. (Και από την άλλη μεριά: $t\hat{O}x + x\hat{O}y = 105° + 75° = 180°$ .)

Συνηθισμένα λάθη

$180°$ αντί για $360°$ (και αντίστροφα). Ευθεία → $180°$ . Πλήρης γύρος γύρω από σημείο → $360°$ .
«Εφεξής» χωρίς να είναι δίπλα. Αν η μία γωνία είναι μέσα στην άλλη, δεν είναι εφεξής, ακόμη κι αν έχουν κοινή κορυφή και κοινή πλευρά.
Εφεξής σημαίνει παραπληρωματικές; Όχι απαραίτητα! Το «εφεξής» αφορά τη θέση, το «παραπληρωματικές» το άθροισμα.
Ξεχασμένη γωνία. Μέτρησε στο σχήμα όλες τις γωνίες γύρω από την κορυφή πριν στήσεις την εξίσωση.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Εφεξής γωνίες: κοινή κορυφή, κοινή πλευρά, κανένα άλλο κοινό σημείο.
Διαδοχικές γωνίες: η καθεμιά είναι εφεξής με την επόμενη.
Ακραίες πλευρές αντικείμενες ημιευθείες → άθροισμα $180°$ .
Γωνίες που καλύπτουν όλο το επίπεδο γύρω από σημείο → άθροισμα $360°$ .
Οι διχοτόμοι δύο εφεξής παραπληρωματικών γωνιών είναι κάθετες.

Εφεξής γωνίες

Δύο γωνίες λέγονται εφεξής όταν:

έχουν την ίδια κορυφή,

έχουν μία κοινή πλευρά, και

δεν έχουν κανένα άλλο κοινό σημείο — δηλαδή βρίσκονται η μία δίπλα στην άλλη, εκατέρωθεν της κοινής πλευράς.

Διαδοχικές γωνίες & αθροίσματα

Τα διαδοχικά «ανοίγματα» προστίθενται, και αυτό δίνει δύο πολύ χρήσιμα συμπεράσματα:

Διαδοχικές γωνίες που οι μη κοινές πλευρές των άκρων τους είναι αντικείμενες ημιευθείες (σχηματίζουν ευθεία) έχουν άθροισμα

180°

— γι' αυτό δύο τέτοιες γωνίες είναι παραπληρωματικές.

Διαδοχικές γωνίες που καλύπτουν όλο το επίπεδο γύρω από ένα σημείο έχουν άθροισμα

360°

— μια πλήρη στροφή.