➗

Διαιρετότητα — ΜΚΔ & ΕΚΠ

Ευκλείδεια διαίρεση, κριτήρια, πρώτοι

Γιατί με νοιάζει;

Έχεις $24$ σοκολατάκια και $36$ καραμέλες και θέλεις να φτιάξεις σακουλάκια-δώρα, όλα ίδια, χωρίς να περισσέψει τίποτα. Πόσα το πολύ; Ή: δύο φάροι αναβοσβήνουν ο ένας κάθε $12$ και ο άλλος κάθε $18$ δευτερόλεπτα. Πότε θα ανάψουν ξανά μαζί;

Και τα δύο λύνονται με δύο εργαλεία αυτού του κεφαλαίου: τον ΜΚΔ και το ΕΚΠ.

Ευκλείδεια διαίρεση

Για κάθε φυσικούς αριθμούς $\Delta$ (διαιρετέος) και $\delta$ (διαιρέτης, $\delta \neq 0$ ) υπάρχουν μοναδικοί φυσικοί $\pi$ (πηλίκο) και $\upsilon$ (υπόλοιπο) ώστε να ισχύει η ισότητα της διαίρεσης.

Αν $\upsilon = 0$ , η διαίρεση λέγεται τέλεια: τότε ο $\delta$ διαιρεί τον $\Delta$ και ο $\Delta$ είναι πολλαπλάσιο του $\delta$ .

$\Delta = \delta \cdot \pi + \upsilon, \quad 0 \le \upsilon < \delta$

Σύρε τον διαιρέτη και δες πώς σχηματίζονται οι ομάδες και το υπόλοιπο.

Παράδειγμα: Σε ένα αγρόκτημα μάζεψαν $147$ αυγά και τα βάζουν σε θήκες των $12$ . Πόσες θήκες γεμίζουν και πόσα αυγά περισσεύουν;

Λύση: Κάνουμε την Ευκλείδεια διαίρεση $147 : 12$ . Επειδή $12 \cdot 12 = 144$ και $12 \cdot 13 = 156 > 147$ , το πηλίκο είναι $\pi = 12$ και το υπόλοιπο $\upsilon = 147 - 144 = 3$ :

$147 = 12 \cdot 12 + 3$

Πράγματι $3 < 12$ . Γεμίζουν $12$ θήκες και περισσεύουν $3$ αυγά.

Γρήγορος έλεγχος

Ποια ισότητα είναι η Ευκλείδεια διαίρεση του $58$ με το $7$ ;

Κριτήρια διαιρετότητας

Με το 2: αν τελειώνει σε 0, 2, 4, 6, 8
Με το 5: αν τελειώνει σε 0 ή 5
Με το 10: αν τελειώνει σε 0
Με το 3 ή το 9: αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 3 ή το 9 αντίστοιχα
Με το 4: αν τα δύο τελευταία ψηφία του σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 4

Γρήγορος έλεγχος

Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς διαιρείται με το $9$ ;

Πρώτοι αριθμοί — ΜΚΔ & ΕΚΠ

Ένας αριθμός λέγεται πρώτος αν έχει ακριβώς δύο διαιρέτες: το 1 και τον εαυτό του ( $2, 3, 5, 7, 11, 13, \dots$ ). Αλλιώς λέγεται σύνθετος. Κάθε σύνθετος αναλύεται με μοναδικό τρόπο σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.

ΜΚΔ: γινόμενο των κοινών πρώτων παραγόντων, καθένας με τον μικρότερο εκθέτη
ΕΚΠ: γινόμενο κοινών και μη κοινών παραγόντων, καθένας με τον μεγαλύτερο εκθέτη

Ήξερες ότι;

Ο Ευκλείδης απέδειξε πριν από περίπου $2300$ χρόνια ότι οι πρώτοι αριθμοί είναι άπειροι: όσο κι αν ψάξεις, πάντα υπάρχει μεγαλύτερος. Σήμερα οι πρώτοι προστατεύουν τις αγορές σου στο ίντερνετ: η κρυπτογράφηση RSA στηρίζεται στο ότι είναι πάρα πολύ δύσκολο να βρεις ποιοι δύο τεράστιοι πρώτοι πολλαπλασιάστηκαν για να δώσουν έναν αριθμό με εκατοντάδες ψηφία.

Μέθοδος: ανάλυση σε πρώτους, ΜΚΔ και ΕΚΠ

Διαιρούμε τον αριθμό διαδοχικά με τους πρώτους $2, 3, 5, 7, 11, \dots$ — με τον καθένα όσες φορές γίνεται — μέχρι να μείνει $1$ .
Γράφουμε τον αριθμό ως γινόμενο πρώτων με δυνάμεις, π.χ. $2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$ .
ΜΚΔ: κρατάμε μόνο τους κοινούς πρώτους, τον καθένα με τον μικρότερο εκθέτη.
ΕΚΠ: κρατάμε όλους τους πρώτους, τον καθένα με τον μεγαλύτερο εκθέτη.
Έλεγχος για δύο αριθμούς $\alpha, \beta$ : ΜΚΔ $\cdot$ ΕΚΠ $= \alpha \cdot \beta$ .

Κόλπο μνήμης

ΜΚΔ → μικρότερος εκθέτης, και μόνο οι κοινοί πρώτοι. ΕΚΠ → όλοι οι πρώτοι, με τον μεγαλύτερο εκθέτη. Έλεγχος λογικής: ο ΜΚΔ «χωράει» μέσα στους αριθμούς (είναι μικρότερος ή ίσος τους), ενώ το ΕΚΠ τους «χωράει» όλους (είναι μεγαλύτερο ή ίσο τους).

Παράδειγμα: Για το 12 και το 18: $12 = 2^2 \cdot 3$ και $18 = 2 \cdot 3^2$ . Άρα ΜΚΔ $(12, 18) = 2 \cdot 3 = 6$ και ΕΚΠ $(12, 18) = 2^2 \cdot 3^2 = 36$ .

Παράδειγμα: (α) Ανάλυσε το $360$ σε γινόμενο πρώτων. (β) Βρες τον ΜΚΔ και το ΕΚΠ των $24$ και $36$ .

(α) $360 : 2 = 180$ , $180 : 2 = 90$ , $90 : 2 = 45$ , $45 : 3 = 15$ , $15 : 3 = 5$ , $5 : 5 = 1$ . Άρα $360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$ .

(β) $24 = 2^3 \cdot 3$ και $36 = 2^2 \cdot 3^2$ .

ΜΚΔ $(24, 36) = 2^2 \cdot 3 = 12$ (κοινοί, μικρότερος εκθέτης)
ΕΚΠ $(24, 36) = 2^3 \cdot 3^2 = 72$ (όλοι, μεγαλύτερος εκθέτης)

Έλεγχος: $12 \cdot 72 = 864$ και $24 \cdot 36 = 864$ ✓

Γρήγορος έλεγχος

Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς είναι πρώτος;

Γρήγορος έλεγχος

Πόσο είναι το ΕΚΠ $(8, 12)$ ;

Άσκηση: Από έναν σταθμό, το λεωφορείο Α αναχωρεί κάθε 12 λεπτά και το Β κάθε 18 λεπτά. Αν αναχώρησαν μαζί στις 08:00, πότε θα ξανααναχωρήσουν ταυτόχρονα;

Λύση: Ζητάμε το ΕΚΠ $(12, 18) = 36$ . Άρα θα συναντηθούν ξανά μετά από 36 λεπτά, δηλαδή στις 08:36.

Άσκηση: Η Σοφία έχει δύο κορδέλες, $48$ cm και $60$ cm. Θέλει να τις κόψει σε κομμάτια ίσου μήκους, όσο γίνεται μεγαλύτερα, χωρίς να περισσέψει τίποτα. Πόσο θα είναι κάθε κομμάτι και πόσα κομμάτια θα βγουν;

Λύση: Το μήκος του κομματιού πρέπει να διαιρεί και το $48$ και το $60$ και να είναι το μεγαλύτερο δυνατό — ζητάμε τον ΜΚΔ. Είναι $48 = 2^4 \cdot 3$ και $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$ , άρα ΜΚΔ $(48, 60) = 2^2 \cdot 3 = 12$ cm.

Κομμάτια: $48 : 12 = 4$ και $60 : 12 = 5$ , δηλαδή $9$ κομμάτια των $12$ cm.

Γρήγορος έλεγχος

Έχουμε $18$ κόκκινα και $24$ μπλε μπαλόνια. Θέλουμε να φτιάξουμε όσο γίνεται περισσότερα ίδια μπουκέτα, χωρίς να περισσέψει μπαλόνι. Πόσα μπουκέτα θα φτιάξουμε;

Ξεκλείδωμα προβλημάτων: «ξανασυμβαίνουν ταυτόχρονα / επαναλαμβάνεται κάθε...» → ΕΚΠ. «Μοιράζω σε όσο γίνεται μεγαλύτερες ίσες ομάδες» → ΜΚΔ. Και πρόσεχε: το 1 ΔΕΝ είναι πρώτος — έχει μόνο έναν διαιρέτη.

Πρόκληση

(α) Ποιος είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός, μεγαλύτερος από $1$ , που όταν διαιρεθεί με $2$ , $3$ , $4$ , $5$ ή $6$ αφήνει πάντα υπόλοιπο $1$ ; (β) Ποιος είναι ο μικρότερος τέτοιος αριθμός που διαιρείται επιπλέον ακριβώς με το $7$ ;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

(α) Αν αφαιρέσουμε το $1$ , ο αριθμός διαιρείται ακριβώς με όλους τους $2, 3, 4, 5, 6$ , άρα είναι κοινό πολλαπλάσιό τους. Είναι $4 = 2^2$ και $6 = 2 \cdot 3$ , άρα ΕΚΠ $(2, 3, 4, 5, 6) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 60$ . Ο αριθμός είναι $60 + 1 = 61$ .

(β) Οι αριθμοί με αυτή την ιδιότητα είναι $61, 121, 181, 241, 301, \dots$ (κάθε φορά $+60$ ). Ελέγχουμε με το $7$ : $61 = 7 \cdot 8 + 5$ , $121 = 7 \cdot 17 + 2$ , $181 = 7 \cdot 25 + 6$ , $241 = 7 \cdot 34 + 3$ , $301 = 7 \cdot 43$ . Η απάντηση είναι $301$ .

Συνηθισμένα λάθη

Υπόλοιπο μεγαλύτερο από τον διαιρέτη. Αν βγάλεις $\upsilon \ge \delta$ , το πηλίκο είναι πολύ μικρό — χωράει ο διαιρέτης κι άλλη φορά.
Μπέρδεμα ΜΚΔ με ΕΚΠ. Ο ΜΚΔ είναι μικρότερος ή ίσος από τους αριθμούς, το ΕΚΠ μεγαλύτερο ή ίσο. Αν για τα $8$ και $12$ βρεις «ΕΚΠ $= 4$ », κάτι πήγε στραβά.
Κριτήριο του 3 ή του 9 από το τελευταίο ψηφίο. Για το $3$ και το $9$ μετράει μόνο το άθροισμα των ψηφίων: το $39$ δεν διαιρείται με το $9$ .
«Το 1 είναι πρώτος». Όχι — έχει έναν μόνο διαιρέτη. Ο μικρότερος πρώτος είναι το $2$ , ο μόνος άρτιος πρώτος.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Ευκλείδεια διαίρεση: $\Delta = \delta \cdot \pi + \upsilon$ με $0 \le \upsilon < \delta$ · τέλεια όταν $\upsilon = 0$ .
Κριτήρια: $2$ , $5$ , $10$ → τελευταίο ψηφίο· $4$ → δύο τελευταία ψηφία· $3$ , $9$ → άθροισμα ψηφίων.
Πρώτος: ακριβώς δύο διαιρέτες ( $2, 3, 5, 7, 11, \dots$ )· το $1$ δεν είναι πρώτος.
ΜΚΔ: κοινοί πρώτοι με τον μικρότερο εκθέτη → «μοιράζω σε ίσες ομάδες».
ΕΚΠ: όλοι οι πρώτοι με τον μεγαλύτερο εκθέτη → «ξανασυμβαίνουν ταυτόχρονα».

Ευκλείδεια διαίρεση

Για κάθε φυσικούς αριθμούς

\Delta

(διαιρετέος) και

\delta

(διαιρέτης,

\delta \neq 0

) υπάρχουν μοναδικοί φυσικοί

\pi

(πηλίκο) και

\upsilon

(υπόλοιπο) ώστε να ισχύει η ισότητα της διαίρεσης.

Αν

\upsilon = 0

, η διαίρεση λέγεται τέλεια: τότε ο

\delta

διαιρεί τον

\Delta

και ο

\Delta

είναι πολλαπλάσιο του

\delta