🧃

Λόγοι & Αναλογίες

Λόγος, ανάλογα ποσά, μέθοδος των τριών

Γιατί με νοιάζει;

Η συνταγή για κουλουράκια είναι για 4 άτομα, αλλά στο πάρτι έρχονται 12. Πόσο αλεύρι, πόση ζάχαρη; Κι αν 3 φίλοι βάφουν έναν φράχτη σε 6 ώρες, οι 6 φίλοι θα θέλουν περισσότερη ή λιγότερη ώρα; Οι λόγοι και οι αναλογίες σού λένε πώς μεγαλώνουν ή μικραίνουν δύο ποσά μαζί.

Ο λόγος δύο μεγεθών

Για να φτιάξεις τέλεια πορτοκαλάδα, βάζεις 1 ποτήρι χυμό για κάθε 3 ποτήρια νερό. Η σύγκριση «1 προς 3» λέγεται λόγος και γράφεται ως κλάσμα: $\frac{1}{3}$ .

Ο λόγος δύο μεγεθών είναι το πηλίκο της διαίρεσής τους — μας λέει πόσες φορές χωράει το ένα στο άλλο. Σε μια τάξη με 12 αγόρια και 8 κορίτσια, ο λόγος αγοριών προς κορίτσια είναι $\frac{12}{8} = \frac{3}{2}$ : για κάθε 3 αγόρια υπάρχουν 2 κορίτσια!

Ήξερες ότι;

Και οι οθόνες έχουν λόγο! Οι περισσότερες τηλεοράσεις και οθόνες υπολογιστή είναι «16:9»: για κάθε 16 εκατοστά πλάτος έχουν 9 εκατοστά ύψος. Γι' αυτό μια παλιά ταινία φτιαγμένη σε λόγο «4:3» εμφανίζεται με μαύρες λωρίδες στα πλάγια.

Από τους λόγους στις αναλογίες

Όταν δύο λόγοι είναι ίσοι, η ισότητά τους λέγεται αναλογία:

$\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$

Σε κάθε αναλογία κρύβεται ένα μαγικό κόλπο, ο πολλαπλασιασμός χιαστί: τα χιαστί γινόμενα είναι ίσα. Εδώ: $2 \cdot 6 = 3 \cdot 4 = 12$ . Έτσι, αν λείπει ένας όρος της αναλογίας, τον βρίσκουμε σαν εξίσωση!

$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\gamma}{\delta} \Rightarrow \alpha \cdot \delta = \beta \cdot \gamma$

Λυμένη άσκηση: Σε μια τάξη με 20 παιδιά, ο λόγος των κοριτσιών προς όλα τα παιδιά είναι $\frac{3}{4}$ . Πόσα είναι τα κορίτσια;

Λύση: Έστω $x$ τα κορίτσια. Ο λόγος κορίτσια προς όλα τα παιδιά είναι $\frac{x}{20}$ , άρα $\frac{x}{20} = \frac{3}{4}$ . Χιαστί: $4 \cdot x = 20 \cdot 3 = 60$ , οπότε $x = 60 : 4 = 15$ . Έλεγχος: $\frac{15}{20} = \frac{3}{4}$ ✓ (απλοποίηση με το 5).

Απάντηση: Τα κορίτσια είναι 15 (και τα αγόρια 5).

Γρήγορος έλεγχος

Ποια τιμή του $x$ κάνει αληθινή την αναλογία $\frac{2}{5} = \frac{x}{35}$ ;

Ανάλογα ποσά

Δύο ποσά λέγονται ανάλογα όταν, αν διπλασιαστεί το ένα, διπλασιάζεται και το άλλο· αν τριπλασιαστεί, τριπλασιάζεται κι εκείνο. Ο λόγος των αντίστοιχων τιμών τους μένει σταθερός.

Παράδειγμα: τα κιλά των μήλων και τα χρήματα που πληρώνεις. 1 κιλό → 2€, 2 κιλά → 4€, 3 κιλά → 6€. Ο λόγος $\frac{\text{χρήματα}}{\text{κιλά}} = 2$ δεν αλλάζει ποτέ!

Σύρε την τιμή του ενός ποσού και ανακάλυψε ότι τα σημεία των αναλόγων ποσών σχηματίζουν πάντα μια ευθεία γραμμή που περνά από το μηδέν — αυτή είναι η υπογραφή της αναλογίας!

Γρήγορος έλεγχος

Σε μια συνταγή βάζουμε 2 αυγά για κάθε 6 κουταλιές αλεύρι. Ποιος είναι ο λόγος αυγών προς αλεύρι, απλοποιημένος;

Αντιστρόφως ανάλογα ποσά

Υπάρχουν και ποσά που κάνουν τα ανάποδα: όταν το ένα διπλασιάζεται, το άλλο γίνεται μισό! Λέγονται αντιστρόφως ανάλογα και το γινόμενό τους μένει σταθερό.

Παράδειγμα: εργάτες και χρόνος. Αν 2 εργάτες βάφουν έναν φράχτη σε 6 ώρες, οι 4 εργάτες (διπλάσιοι!) θα τον βάψουν σε 3 ώρες (μισές!). Γινόμενο: $2 \cdot 6 = 4 \cdot 3 = 12$ — πάντα το ίδιο.

Μέθοδος: Η απλή μέθοδος των τριών

Όταν ξέρουμε τρεις τιμές και ψάχνουμε την τέταρτη, στρώνουμε το πρόβλημα σε δύο γραμμές και σκεφτόμαστε:

Γράφουμε τα ποσά σε στήλες, με τις ίδιες μονάδες κάτω-κάτω
Ρωτάμε: είναι ανάλογα ή αντιστρόφως ανάλογα;
Ανάλογα → λύνουμε με αναλογία (χιαστί). Αντιστρόφως ανάλογα → κρατάμε σταθερό το γινόμενο

Είναι το πιο δυνατό εργαλείο της ΣΤ΄ — λύνει προβλήματα με τιμές, συνταγές, ταχύτητες, εργάτες!

Λυμένο παράδειγμα: Τα 3 κιλά πορτοκάλια κοστίζουν 6€. Πόσο κοστίζουν τα 5 κιλά;

Λύση: Τα κιλά και τα χρήματα είναι ανάλογα ποσά (περισσότερα κιλά → περισσότερα χρήματα). Στήνουμε την αναλογία: $\frac{3}{5} = \frac{6}{x}$ . Χιαστί: $3 \cdot x = 5 \cdot 6 = 30$ , άρα $x = 30 : 3 = 10$ . Τα 5 κιλά κοστίζουν 10€. Λογικός έλεγχος: το 1 κιλό κάνει 2€, άρα τα 5 κιλά 10€ ✓.

Λυμένη άσκηση: Για μακαρονάδα 4 ατόμων χρειάζονται 300 g μακαρόνια. Πόσα γραμμάρια χρειάζονται για 10 άτομα;

Λύση: Άτομα και μακαρόνια είναι ανάλογα (διπλάσια άτομα → διπλάσια μακαρόνια). 4 άτομα → 300 g, 10 άτομα → $x$ g. Αναλογία: $\frac{4}{10} = \frac{300}{x}$ , χιαστί $4 \cdot x = 10 \cdot 300 = 3000$ , άρα $x = 3000 : 4 = 750$ . Με αναγωγή στη μονάδα: 1 άτομο θέλει $300 : 4 = 75$ g, άρα 10 άτομα θέλουν $10 \cdot 75 = 750$ g ✓.

Απάντηση: 750 g μακαρόνια.

Λυμένη άσκηση: Ένα αυτοκίνητο με ταχύτητα 60 km/h κάνει μια διαδρομή σε 4 ώρες. Σε πόσες ώρες θα κάνει την ίδια διαδρομή με 80 km/h;

Λύση: Για την ίδια διαδρομή, ταχύτητα και χρόνος είναι αντιστρόφως ανάλογα: πιο γρήγορα → λιγότερος χρόνος. Το γινόμενο μένει σταθερό: $60 \cdot 4 = 240$ (όσα και τα km της διαδρομής!). Άρα $80 \cdot x = 240$ και $x = 240 : 80 = 3$ ώρες.

Απάντηση: Σε 3 ώρες. Αν έστηνες χιαστί σαν να ήταν ανάλογα, θα έβρισκες περίπου $5{,}3$ ώρες — περισσότερο χρόνο με μεγαλύτερη ταχύτητα, παράλογο!

Γρήγορος έλεγχος

Δύο βρύσες γεμίζουν μια δεξαμενή σε 6 ώρες. Σε πόσες ώρες θα τη γεμίσουν 4 ίδιες βρύσες;

Γρήγορος έλεγχος

Ποιο ζευγάρι ποσών είναι αντιστρόφως ανάλογα;

Πρόκληση

3 κότες γεννούν 3 αυγά σε 3 μέρες. Πόσα αυγά γεννούν 6 κότες σε 6 μέρες; (Η βιαστική απάντηση «6» είναι λάθος!)

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Αλλάζουμε ένα ποσό κάθε φορά, με το τεστ του διπλασιασμού:

Ίδιες μέρες (3), διπλάσιες κότες (6): διπλάσια αυγά → 6 αυγά σε 3 μέρες (ανάλογα ποσά).
Ίδιες κότες (6), διπλάσιες μέρες (6): πάλι διπλάσια αυγά → 12 αυγά σε 6 μέρες.

Έλεγχος με άλλον δρόμο: Κάθε κότα γεννά 1 αυγό κάθε 3 μέρες, άρα σε 6 μέρες γεννά 2 αυγά. Οι 6 κότες: $6 \cdot 2 = 12$ ✓

Απάντηση: 12 αυγά.

Κόλπο μνήμης

Το τεστ του διπλασιασμού! Πριν στήσεις αναλογία, ρώτα: «Αν διπλασιάσω το ένα ποσό, το άλλο θα διπλασιαστεί ή θα μισέψει;». Διπλασιάζεται → ανάλογα (χιαστί). Μισεύει → αντιστρόφως ανάλογα (σταθερό γινόμενο).

Συνηθισμένα λάθη

Χιαστί σε αντιστρόφως ανάλογα: εκεί δεν στήνουμε αναλογία, κρατάμε σταθερό το γινόμενο.
Λάθος σειρά στον λόγο: «αγόρια προς κορίτσια» είναι $\frac{\text{αγόρια}}{\text{κορίτσια}}$ — αν τα αντιστρέψεις, αλλάζει η απάντηση.
«Μεγαλώνουν μαζί, άρα είναι ανάλογα»: η ηλικία και το ύψος ενός παιδιού μεγαλώνουν μαζί, αλλά ΔΕΝ είναι ανάλογα — στα 20 δεν θα έχεις διπλάσιο ύψος από τα 10! Ανάλογα είναι μόνο αν ο λόγος μένει σταθερός.
Αναλογία με πρόσθεση: στο $\frac{2}{5} = \frac{x}{35}$ δεν προσθέτουμε 30 πάνω και κάτω — πολλαπλασιάζουμε με το 7.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Λόγος δύο μεγεθών = το πηλίκο τους, γραμμένο ως κλάσμα (η σειρά μετράει!)
Αναλογία = ισότητα δύο λόγων, με ίσα χιαστί γινόμενα: $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\gamma}{\delta} \Rightarrow \alpha \cdot \delta = \beta \cdot \gamma$
Ανάλογα ποσά: σταθερός λόγος — διπλάσιο το ένα, διπλάσιο και το άλλο
Αντιστρόφως ανάλογα: σταθερό γινόμενο — διπλάσιο το ένα, μισό το άλλο
Μέθοδος των τριών: ποσά σε στήλες, κρίνω το είδος, λύνω με χιαστί ή με σταθερό γινόμενο

Ο λόγος δύο μεγεθών

Για να φτιάξεις τέλεια πορτοκαλάδα, βάζεις 1 ποτήρι χυμό για κάθε 3 ποτήρια νερό. Η σύγκριση «1 προς 3» λέγεται λόγος και γράφεται ως κλάσμα:

\frac{1}{3}

Ο λόγος δύο μεγεθών είναι το πηλίκο της διαίρεσής τους — μας λέει πόσες φορές χωράει το ένα στο άλλο. Σε μια τάξη με 12 αγόρια και 8 κορίτσια, ο λόγος αγοριών προς κορίτσια είναι

\frac{12}{8} = \frac{3}{2}

: για κάθε 3 αγόρια υπάρχουν 2 κορίτσια!