⚖️

Επίλυση Προβλημάτων με Εξισώσεις

Η μεθοδολογία άγνωστος → μετάφραση → εξίσωση → έλεγχος

Γιατί με νοιάζει;

Ένα μπουκάλι νερό και ένα σάντουιτς κοστίζουν μαζί $3{,}20$ €. Το σάντουιτς κοστίζει $3$ € περισσότερο από το νερό. Πόσο κοστίζει το νερό; Οι περισσότεροι απαντούν αμέσως « $0{,}20$ €», και κάνουν λάθος!

Με εξίσωση δεν ξεγελιέσαι: αν $x$ είναι η τιμή του νερού, τότε $x + (x + 3) = 3{,}20$ , δηλαδή $2x = 0{,}20$ και $x = 0{,}10$ €. (Έλεγχος: $0{,}10 + 3{,}10 = 3{,}20$ .) Σε αυτό το κεφάλαιο θα μάθεις να μεταφράζεις κάθε πρόβλημα σε εξίσωση.

Από το πρόβλημα στην εξίσωση

Ένα πρόβλημα με λόγια λύνεται συστηματικά σε τέσσερα βήματα:

Ορίζουμε τον άγνωστο: διαλέγουμε τι θα συμβολίσουμε με $x$ — συνήθως αυτό που ζητάει το πρόβλημα. Γράφουμε καθαρά: «Έστω $x$ το ...».
Μεταφράζουμε: κάθε φράση του προβλήματος γίνεται μαθηματική παράσταση. «Το διπλάσιο» $\to 2x$ , «κατά $5$ μεγαλύτερος» $\to x + 5$ , «τα μισά» $\to \frac{x}{2}$ .
Στήνουμε και λύνουμε την εξίσωση: βρίσκουμε την ισότητα που κρύβει το πρόβλημα και τη λύνουμε.
Ελέγχουμε: η λύση πρέπει να επαληθεύει την εξίσωση και να βγάζει νόημα στο πρόβλημα (π.χ. ένα μήκος δεν μπορεί να είναι αρνητικό).

Λεξικό μετάφρασης

Αν $x$ είναι ο άγνωστος αριθμός:

«το διπλάσιο / το τριπλάσιο» → $2x$ / $3x$ · «το μισό / το τρίτο» → $\frac{x}{2}$ / $\frac{x}{3}$
«κατά $5$ μεγαλύτερος» → $x + 5$ · «κατά $5$ μικρότερος» → $x - 5$
«τα $\frac{2}{5}$ του αριθμού» → $\frac{2}{5} \cdot x$ · «το $20\%$ του αριθμού» → $\frac{20}{100} \cdot x$
«δύο διαδοχικοί φυσικοί» → $x$ και $x + 1$
«η ηλικία σε $4$ χρόνια / πριν από $4$ χρόνια» → $x + 4$ / $x - 4$
«το άθροισμα είναι $30$ » → $\dots + \dots = 30$ · «η διαφορά είναι $30$ » → μεγαλύτερος μείον μικρότερος $= 30$

Ήξερες ότι;

Ο Διόφαντος, που έζησε στην Αλεξάνδρεια γύρω στον $3$ ο αιώνα μ.Χ., έγραψε τα «Αριθμητικά», ένα βιβλίο γεμάτο προβλήματα που λύνονται με εξισώσεις. Ήταν από τους πρώτους που χρησιμοποίησαν ειδικό σύμβολο για τον άγνωστο, όπως εμείς σήμερα το $x$ . Γι' αυτό συχνά τον λένε «πατέρα της Άλγεβρας».

Γρήγορος έλεγχος

Αν $x$ είναι η σημερινή ηλικία της Ελένης, πώς γράφεται η ηλικία της σε $4$ χρόνια;

Η εξίσωση είναι μια ζυγαριά σε ισορροπία: ό,τι κάνεις στο ένα μέρος πρέπει να το κάνεις και στο άλλο. Πειραματίσου αφαιρώντας ίδια βάρη κι από τους δύο δίσκους μέχρι να μείνει μόνος του ο άγνωστος.

Πρόβλημα 1: Η Άννα αγόρασε ένα βιβλίο και της έμειναν $7{,}5$ €. Αν είχε $20$ €, πόσο κόστισε το βιβλίο;

Βήμα 1: Έστω $x$ η τιμή του βιβλίου σε €.

Βήμα 2-3: Τιμή βιβλίου + ρέστα = αρχικά χρήματα:

$x + 7{,}5 = 20 \Rightarrow x = 20 - 7{,}5 = 12{,}5$

Βήμα 4 — έλεγχος: $12{,}5 + 7{,}5 = 20$ ✓. Το βιβλίο κόστισε $12{,}5$ €.

Πρόβλημα 2: Ένα ορθογώνιο έχει περίμετρο $26$ cm και πλάτος $5$ cm. Πόσο είναι το μήκος του;

Βήμα 1: Έστω $x$ το μήκος σε cm.

Βήμα 2-3: Η περίμετρος είναι $2 \cdot$ μήκος $+ \ 2 \cdot$ πλάτος:

$2x + 10 = 26 \Rightarrow 2x = 26 - 10 = 16 \Rightarrow x = \frac{16}{2} = 8$

Βήμα 4 — έλεγχος: $2 \cdot 8 + 2 \cdot 5 = 16 + 10 = 26$ ✓. Το μήκος είναι $8$ cm — θετικός αριθμός, λογικός για μήκος.

Πρόβλημα 3: Ο Γιώργος σκέφτηκε έναν αριθμό. Τον πολλαπλασίασε με $4$ και βρήκε $52$ . Ποιον αριθμό σκέφτηκε;

Έστω $x$ ο αριθμός: $4x = 52 \Rightarrow x = \frac{52}{4} = 13$ . Έλεγχος: $4 \cdot 13 = 52$ ✓.

Γρήγορος έλεγχος

Το τριπλάσιο ενός αριθμού είναι $51$ . Ποιος είναι ο αριθμός;

Γρήγορος έλεγχος

Συμβολίζουμε με $x$ τα χρήματα της Άννας. Η φράση «η Μαρία έχει $5$ € περισσότερα από την Άννα» γράφεται:

Πρόβλημα 4 (ηλικίες): Ο πατέρας έχει τριπλάσια ηλικία από τον γιο του και μαζί έχουν $48$ χρόνια. Πόσων χρονών είναι ο καθένας;

Βήμα 1: Έστω $x$ η ηλικία του γιου σε χρόνια. Τότε ο πατέρας είναι $3x$ .

Βήμα 2-3: Άθροισμα ηλικιών: $x + 3x = 48$ , δηλαδή $4x = 48$ , άρα $x = \frac{48}{4} = 12$ .

Βήμα 4 — έλεγχος: Γιος $12$ , πατέρας $3 \cdot 12 = 36$ , και $12 + 36 = 48$ ✓. Ο γιος είναι $12$ χρονών και ο πατέρας $36$ .

Πρόβλημα 5 (κλάσματα): Ο Κώστας ξόδεψε τα $\frac{2}{5}$ των χρημάτων του και του έμειναν $18$ €. Πόσα χρήματα είχε;

Βήμα 1: Έστω $x$ τα αρχικά χρήματα σε €.

Βήμα 2-3: Αφού ξόδεψε τα $\frac{2}{5}$ , του έμειναν τα $\frac{3}{5}$ : $\frac{3}{5} \cdot x = 18$ . Το $\frac{1}{5}$ των χρημάτων είναι $18 : 3 = 6$ €, άρα όλα είναι $x = 5 \cdot 6 = 30$ €.

Βήμα 4 — έλεγχος: Ξόδεψε $\frac{2}{5} \cdot 30 = 12$ € και έμειναν $30 - 12 = 18$ € ✓

Πρόβλημα 6 (διαδοχικοί αριθμοί): Τρεις διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί έχουν άθροισμα $72$ . Ποιοι είναι;

Βήμα 1: Έστω $x$ ο μικρότερος· οι άλλοι δύο είναι $x + 1$ και $x + 2$ .

Βήμα 2-3: $x + (x + 1) + (x + 2) = 72$ , δηλαδή $3x + 3 = 72$ , άρα $3x = 69$ και $x = 23$ .

Βήμα 4 — έλεγχος: $23 + 24 + 25 = 72$ ✓. Οι αριθμοί είναι $23$ , $24$ και $25$ .

Γρήγορος έλεγχος

Δύο διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί έχουν άθροισμα $41$ . Ποιος είναι ο μικρότερος;

Στον έλεγχο μην επαληθεύεις μόνο την εξίσωση — γύρνα στο αρχικό κείμενο και δες αν η απάντηση ταιριάζει στην ερώτηση. Συχνό λάθος: το πρόβλημα ζητάει «πόσα έχει η Μαρία» κι εσύ απαντάς με το $x$ που είναι τα χρήματα της Άννας. Διάβασε ξανά τι ακριβώς ρωτήθηκε!

Πρόκληση

Ένας αρχαίος ελληνικός γρίφος, από την Παλατινή Ανθολογία, περιγράφει τη ζωή του Διόφαντου: ήταν παιδί για το $\frac{1}{6}$ της ζωής του, του φύτρωσε γένι μετά από ακόμη $\frac{1}{12}$ , παντρεύτηκε μετά από ακόμη $\frac{1}{7}$ , και $5$ χρόνια αργότερα απέκτησε γιο. Ο γιος έζησε τη μισή ζωή του πατέρα του, και ο Διόφαντος πέθανε $4$ χρόνια μετά τον γιο του. Πόσα χρόνια έζησε;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Προσθέτουμε τα κομμάτια της ζωής που δίνονται ως κλάσματα, με κοινό παρονομαστή το $84$ :

$\frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{7} + \frac{1}{2} = \frac{14}{84} + \frac{7}{84} + \frac{12}{84} + \frac{42}{84} = \frac{75}{84}$

Το υπόλοιπο $\frac{84}{84} - \frac{75}{84} = \frac{9}{84}$ της ζωής του είναι τα $5 + 4 = 9$ χρόνια. Αφού τα $\frac{9}{84}$ είναι $9$ χρόνια, το $\frac{1}{84}$ είναι $1$ χρόνος και όλη η ζωή $84$ χρόνια.

Με εξίσωση: αν $x$ τα χρόνια της ζωής του, $\frac{75}{84}x + 9 = x$ , άρα $\frac{9}{84}x = 9$ και $x = 84$ . Έλεγχος: $14 + 7 + 12 + 5 + 42 + 4 = 84$ .

Συνηθισμένα λάθη

Ασαφής άγνωστος. Γράφε πάντα «Έστω $x$ …» με τη μονάδα του (€, cm, χρόνια). Αλλιώς στο τέλος δεν ξέρεις τι βρήκες.
Λάθος μετάφραση. «Κατά $5$ μικρότερος» είναι $x - 5$ , όχι $5 - x$ · «τριπλάσιος» είναι $3x$ , όχι $x + 3$ .
Απάντηση σε άλλη ερώτηση. Αν το $x$ είναι ο γιος και ζητείται ο πατέρας, υπολόγισε και το $3x$ .
Παράλογη λύση. Αρνητικό μήκος ή «μισός άνθρωπος» σημαίνει λάθος στην εξίσωση — ξαναδιάβασε το πρόβλημα.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Τέσσερα βήματα: άγνωστος → μετάφραση → εξίσωση και λύση → έλεγχος.
Διπλάσιο $2x$ , μισό $\frac{x}{2}$ , κατά $5$ μεγαλύτερος $x + 5$ , κατά $5$ μικρότερος $x - 5$ .
Διαδοχικοί φυσικοί: $x$ , $x + 1$ , $x + 2$ · ηλικία σε $\nu$ χρόνια: $x + \nu$ .
Αν ξοδεύω τα $\frac{2}{5}$ ενός ποσού, μένουν τα $\frac{3}{5}$ .
Ο έλεγχος γίνεται στο κείμενο του προβλήματος και η απάντηση δίνεται με μονάδα.

Από το πρόβλημα στην εξίσωση

Ένα πρόβλημα με λόγια λύνεται συστηματικά σε τέσσερα βήματα:

Ορίζουμε τον άγνωστο: διαλέγουμε τι θα συμβολίσουμε με

x

— συνήθως αυτό που ζητάει το πρόβλημα. Γράφουμε καθαρά: «Έστω

x

το ...».

Μεταφράζουμε: κάθε φράση του προβλήματος γίνεται μαθηματική παράσταση. «Το διπλάσιο»

\to 2x

, «κατά

5

μεγαλύτερος»

\to x + 5

, «τα μισά»

\to \frac{x}{2}

Στήνουμε και λύνουμε την εξίσωση: βρίσκουμε την ισότητα που κρύβει το πρόβλημα και τη λύνουμε.

Ελέγχουμε: η λύση πρέπει να επαληθεύει την εξίσωση και να βγάζει νόημα στο πρόβλημα (π.χ. ένα μήκος δεν μπορεί να είναι αρνητικό).