🔟

Δεκαδικοί Αριθμοί

Δεκαδικά κλάσματα, στρογγυλοποίηση, δυνάμεις του 10

Γιατί με νοιάζει;

Στον τελικό των $100$ m στους Ολυμπιακούς Αγώνες, ένα εκατοστό του δευτερολέπτου ( $0{,}01$ s) μπορεί να ξεχωρίσει το χρυσό από το ασημένιο μετάλλιο. Στο σούπερ μάρκετ, το $0{,}45$ € και το $0{,}5$ € μπερδεύουν πολλούς: ποιο είναι μεγαλύτερο;

Οι δεκαδικοί αριθμοί είναι παντού: σε τιμές, χρόνους, αποστάσεις. Εδώ θα μάθεις να τους διαβάζεις, να τους συγκρίνεις και να τους στρογγυλοποιείς σωστά.

Δεκαδικά κλάσματα και δεκαδικοί αριθμοί

Δεκαδικό κλάσμα λέγεται κάθε κλάσμα με παρονομαστή μια δύναμη του 10, π.χ. $\frac{7}{10}$ , $\frac{35}{100}$ , $\frac{4}{1000}$ . Κάθε δεκαδικό κλάσμα γράφεται ως δεκαδικός αριθμός: $\frac{35}{100} = 0{,}35$ .

Στον δεκαδικό αριθμό, τα ψηφία δεξιά της υποδιαστολής δηλώνουν δέκατα, εκατοστά, χιλιοστά κ.ο.κ. Έτσι $2{,}415 = 2 + \frac{4}{10} + \frac{1}{100} + \frac{5}{1000}$ .

Ήξερες ότι;

Στην Ελλάδα και σε μεγάλο μέρος της Ευρώπης γράφουμε την υποδιαστολή με κόμμα ( $3{,}14$ ), ενώ στις ΗΠΑ και στη Βρετανία με τελεία (3.14). Γι' αυτό το κινητό σου δείχνει κόμμα ή τελεία ανάλογα με τη γλώσσα που έχεις διαλέξει.

Από κλάσμα σε δεκαδικό και αντίστροφα

Δεκαδικός → κλάσμα: γράφουμε στον αριθμητή τα ψηφία χωρίς υποδιαστολή και στον παρονομαστή $10$ , $100$ , $1000$ — όσα μηδενικά, τόσα δεκαδικά ψηφία. Μετά απλοποιούμε: $0{,}125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$ .
Κλάσμα → δεκαδικός: αν ο παρονομαστής γίνεται δύναμη του $10$ , φτιάχνουμε ισοδύναμο δεκαδικό κλάσμα: $\frac{3}{4} = \frac{75}{100} = 0{,}75$ και $\frac{2}{5} = \frac{4}{10} = 0{,}4$ . Αλλιώς κάνουμε τη διαίρεση αριθμητή διά παρονομαστή: $\frac{3}{8} = 3 : 8 = 0{,}375$ .

Γρήγορος έλεγχος

Ο δεκαδικός $0{,}35$ ως ανάγωγο κλάσμα είναι:

Σύγκριση και διάταξη

Για να συγκρίνουμε δεκαδικούς, συγκρίνουμε πρώτα τα ακέραια μέρη. Αν είναι ίσα, συγκρίνουμε τα δέκατα, μετά τα εκατοστά κ.ο.κ. Μηδενικά στο τέλος του δεκαδικού μέρους δεν αλλάζουν την αξία: $0{,}5 = 0{,}50 = 0{,}500$ .

Στρογγυλοποίηση

Για στρογγυλοποίηση σε μια δεκαδική τάξη, κοιτάμε το επόμενο ψηφίο:

Αν είναι 0, 1, 2, 3 ή 4, το ψηφίο της τάξης μένει ίδιο
Αν είναι 5, 6, 7, 8 ή 9, το ψηφίο της τάξης αυξάνεται κατά 1

Γρήγορος έλεγχος

Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς είναι ο μεγαλύτερος;

Κάνε ζουμ στην ευθεία των αριθμών — ανάμεσα σε δύο αριθμούς κρύβονται πάντα κι άλλοι δεκαδικοί!

Μέθοδος: στρογγυλοποίηση δεκαδικού

Υπογράμμισε το ψηφίο της τάξης που ζητείται (μονάδες, δέκατα, εκατοστά…).
Κοίτα μόνο το αμέσως επόμενο ψηφίο δεξιά του — όχι τα υπόλοιπα.
Αν είναι $0$ – $4$ , το υπογραμμισμένο ψηφίο μένει ίδιο. Αν είναι $5$ – $9$ , αυξάνεται κατά $1$ — κι αν ήταν $9$ , γίνεται $0$ και «κρατάμε» $1$ στο ψηφίο αριστερά του.
Σβήνουμε όλα τα ψηφία που βρίσκονται δεξιά από την τάξη.

Παράδειγμα: Στρογγυλοποίησε τον $4{,}962$ (α) στο εκατοστό (β) στο δέκατο (γ) στη μονάδα.

(α) Εκατοστά: $6$ · το επόμενο ψηφίο είναι $2 < 5$ → $4{,}96$ .

(β) Δέκατα: $9$ · το επόμενο ψηφίο είναι $6 \ge 5$ → το $9$ γίνεται $10$ : γράφουμε $0$ και κρατάμε $1$ στις μονάδες → $5{,}0$ .

(γ) Μονάδες: $4$ · το επόμενο ψηφίο (δέκατα) είναι $9 \ge 5$ → $5$ .

Στο (β) γράφουμε $5{,}0$ και όχι σκέτο $5$ , για να φαίνεται ότι η στρογγυλοποίηση έγινε στα δέκατα.

Γρήγορος έλεγχος

Ο αριθμός $12{,}347$ στρογγυλοποιημένος στο δέκατο γίνεται:

Παράδειγμα: Γράψε σε αύξουσα σειρά τους αριθμούς $2{,}3$ , $2{,}03$ , $2{,}303$ και $2{,}33$ .

Συμπληρώνουμε μηδενικά ώστε όλοι να έχουν τρία δεκαδικά ψηφία: $2{,}300$ , $2{,}030$ , $2{,}303$ , $2{,}330$ . Τώρα συγκρίνουμε τα δεκαδικά μέρη σαν φυσικούς: $30 < 300 < 303 < 330$ . Άρα:

$2{,}03 < 2{,}3 < 2{,}303 < 2{,}33$

Πολλαπλασιασμός και διαίρεση με δυνάμεις του 10

Όταν πολλαπλασιάζουμε με $10, 100, 1000, \dots$ η υποδιαστολή μετακινείται δεξιά τόσες θέσεις όσα τα μηδενικά. Όταν διαιρούμε, μετακινείται αριστερά.

Με αυτόν τον κανόνα γίνονται όλες οι μετατροπές μονάδων: $1 \text{ m} = 100 \text{ cm} = 1000 \text{ mm}$ , $1 \text{ km} = 1000 \text{ m}$ , $1 \text{ kg} = 1000 \text{ g}$ , $1 \text{ L} = 1000 \text{ mL}$ .

$3{,}45 \cdot 100 = 345 \qquad 3{,}45 : 1000 = 0{,}00345$

Γρήγορος έλεγχος

Πόσο κάνει $4{,}7 : 100$ ;

Παράδειγμα: Στρογγυλοποίησε το $7{,}386$ στο εκατοστό: το επόμενο ψηφίο είναι 6 ( $\ge 5$ ), άρα $7{,}386 \approx 7{,}39$ . Μετατροπή: $2{,}5 \text{ km} = 2{,}5 \cdot 1000 = 2500 \text{ m}$ .

Άσκηση από την καθημερινότητα: (α) Ένα πακέτο με $100$ καραμέλες κοστίζει $4{,}5$ €. Πόσο κοστίζει η μία καραμέλα; (β) Πόσο κοστίζουν $10$ τετράδια των $1{,}85$ €;

(α) $4{,}5 : 100 = 0{,}045$ € — η υποδιαστολή πάει δύο θέσεις αριστερά (συμπληρώνουμε ένα μηδενικό μπροστά).

(β) $1{,}85 \cdot 10 = 18{,}5$ € — η υποδιαστολή πάει μία θέση δεξιά.

Στα χρήματα στρογγυλοποιούμε στο εκατοστό του ευρώ (στο λεπτό): $0{,}045 \approx 0{,}05$ €.

Στη σύγκριση δεκαδικών συμπλήρωσε μηδενικά ώστε να έχουν ίδιο πλήθος δεκαδικών ψηφίων: για το $0{,}7$ και το $0{,}65$ γράψε $0{,}70 > 0{,}65$ — έτσι δεν μπερδεύεσαι ποτέ.

Πρόκληση

Ένας αριθμός έχει ακριβώς δύο δεκαδικά ψηφία και, στρογγυλοποιημένος στο δέκατο, γίνεται $3{,}7$ . (α) Ποιος είναι ο μικρότερος και ποιος ο μεγαλύτερος τέτοιος αριθμός; (β) Πόσοι τέτοιοι αριθμοί υπάρχουν;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

(α) Για να γίνει $3{,}7$ , ο αριθμός είτε έχει δέκατα $6$ και εκατοστά $5$ ή περισσότερα (στρογγυλεύει προς τα πάνω), είτε έχει δέκατα $7$ και εκατοστά έως $4$ (μένει). Ο μικρότερος είναι $3{,}65$ και ο μεγαλύτερος $3{,}74$ . Το $3{,}75$ θα γινόταν ήδη $3{,}8$ .

(β) Είναι οι $3{,}65, 3{,}66, 3{,}67, 3{,}68, 3{,}69$ και οι $3{,}70, 3{,}71, 3{,}72, 3{,}73, 3{,}74$ : συνολικά $10$ αριθμοί.

Συνηθισμένα λάθη

«Περισσότερα ψηφία = μεγαλύτερος». Το $0{,}45$ δεν είναι μεγαλύτερο από το $0{,}5$ · συμπλήρωσε μηδενικά: $0{,}45 < 0{,}50$ .
Αλυσιδωτή στρογγυλοποίηση. Για το $3{,}748$ στο δέκατο κοιτάμε μόνο το $4$ : $3{,}7$ — όχι $3{,}748 \to 3{,}75 \to 3{,}8$ .
Λάθος φορά της υποδιαστολής. Επί $10, 100, \dots$ → δεξιά (ο αριθμός μεγαλώνει)· διά → αριστερά (μικραίνει).
Λάθος παρονομαστής. $0{,}07 = \frac{7}{100}$ , όχι $\frac{7}{10}$ : μετράμε τα δεκαδικά ψηφία, και εδώ είναι δύο.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Δεκαδικό κλάσμα: παρονομαστής $10, 100, 1000, \dots$ , π.χ. $\frac{35}{100} = 0{,}35$ .
Μετά την υποδιαστολή: δέκατα, εκατοστά, χιλιοστά· μηδενικά στο τέλος δεν αλλάζουν την αξία.
Σύγκριση: ίδιο πλήθος δεκαδικών (συμπληρώνω μηδενικά) και σύγκριση από αριστερά.
Στρογγυλοποίηση: κοιτάω μόνο το επόμενο ψηφίο ( $0$ – $4$ μένει, $5$ – $9$ ανεβαίνει κατά $1$ ).
Επί $10^n$ → υποδιαστολή $n$ θέσεις δεξιά· διά $10^n$ → $n$ θέσεις αριστερά.

Δεκαδικά κλάσματα και δεκαδικοί αριθμοί

Δεκαδικό κλάσμα λέγεται κάθε κλάσμα με παρονομαστή μια δύναμη του 10, π.χ.

\frac{7}{10}

\frac{35}{100}

\frac{4}{1000}

. Κάθε δεκαδικό κλάσμα γράφεται ως δεκαδικός αριθμός:

\frac{35}{100} = 0{,}35

Στον δεκαδικό αριθμό, τα ψηφία δεξιά της υποδιαστολής δηλώνουν δέκατα, εκατοστά, χιλιοστά κ.ο.κ. Έτσι

2{,}415 = 2 + \frac{4}{10} + \frac{1}{100} + \frac{5}{1000}