📐

Εμβαδά & Περίμετροι

Ορθογώνιο, τετράγωνο, παραλληλόγραμμο, τρίγωνο, τραπέζιο

Γιατί με νοιάζει;

Έχεις $20$ m συρματόπλεγμα και θέλεις να περιφράξεις έναν ορθογώνιο κήπο. Αν τον κάνεις $9 \text{ m} \times 1 \text{ m}$ , έχεις $9 \text{ m}^2$ για να φυτέψεις. Αν τον κάνεις $5 \text{ m} \times 5 \text{ m}$ , έχεις $25 \text{ m}^2$ ! Το ίδιο συρματόπλεγμα, σχεδόν τριπλάσιος κήπος.

Η περίμετρος και το εμβαδόν είναι δύο εντελώς διαφορετικά πράγματα. Εδώ θα μάθεις να υπολογίζεις και τα δύο για τα βασικά σχήματα.

Περίμετρος και εμβαδόν

Η περίμετρος ενός σχήματος είναι το άθροισμα των μηκών όλων των πλευρών του και μετριέται σε μονάδες μήκους (m, cm). Το εμβαδόν εκφράζει πόση επιφάνεια καταλαμβάνει το σχήμα και μετριέται σε τετραγωνικές μονάδες (m², cm²).

Ήξερες ότι;

Η λέξη γεωμετρία σημαίνει «μέτρηση της γης». Σύμφωνα με τον Ηρόδοτο, στην αρχαία Αίγυπτο οι πλημμύρες του Νείλου έσβηναν κάθε χρόνο τα όρια των χωραφιών, και έπρεπε να ξαναμετρηθούν, για να πληρώνει ο καθένας φόρο ανάλογο με τη γη που του είχε μείνει.

Βασικοί τύποι εμβαδού

Ορθογώνιο με διαστάσεις $\alpha, \beta$ : $E = \alpha \cdot \beta$ και $\Pi = 2(\alpha + \beta)$
Τετράγωνο με πλευρά $\alpha$ : $E = \alpha^2$ και $\Pi = 4\alpha$
Παραλληλόγραμμο με βάση $\beta$ και ύψος $\upsilon$ : $E = \beta \cdot \upsilon$
Τρίγωνο: το μισό του παραλληλογράμμου με την ίδια βάση και το ίδιο ύψος
Τραπέζιο με βάσεις $\beta_1, \beta_2$ και ύψος $\upsilon$

Γρήγορος έλεγχος

Ένα ορθογώνιο έχει διαστάσεις $6$ cm και $4$ cm. Ποιο ισχύει;

$E_{\tau\rho\iota\gamma.} = \frac{\beta \cdot \upsilon}{2} \qquad E_{\tau\rho\alpha\pi.} = \frac{(\beta_1 + \beta_2) \cdot \upsilon}{2}$

Κόλπο μνήμης

Κάθε τρίγωνο είναι το μισό ενός παραλληλογράμμου με την ίδια βάση και το ίδιο ύψος: βάλε δίπλα του ένα ίσο τρίγωνο ανάποδα και θα το δεις. Γι' αυτό ο τύπος του τριγώνου είναι ο τύπος του παραλληλογράμμου «διά $2$ ».

Μονάδες εμβαδού

Οι μονάδες εμβαδού αλλάζουν ανά 100 σε κάθε σκαλοπάτι:

$1 \text{ m}^2 = 100 \text{ dm}^2 = 10000 \text{ cm}^2$
$1 \text{ cm}^2 = 100 \text{ mm}^2$
1 στρέμμα $= 1000 \text{ m}^2$ (μονάδα για χωράφια και οικόπεδα)

Παράδειγμα: Τραπέζιο έχει βάσεις $\beta_1 = 8$ cm, $\beta_2 = 6$ cm και ύψος $\upsilon = 5$ cm. Τότε $E = \frac{(8 + 6) \cdot 5}{2} = \frac{70}{2} = 35 \text{ cm}^2$ . Τρίγωνο με βάση 10 cm και ύψος 4 cm: $E = \frac{10 \cdot 4}{2} = 20 \text{ cm}^2$ .

Γρήγορος έλεγχος

Τρίγωνο έχει βάση $10$ cm, ύψος προς αυτή $6$ cm και μια πλάγια πλευρά $7$ cm. Το εμβαδόν του είναι:

Μέθοδος: εμβαδόν σύνθετου σχήματος

Χώρισε το σχήμα σε απλά κομμάτια (ορθογώνια, τρίγωνα) — ή δες το ως ένα μεγάλο σχήμα μείον ένα κομμάτι που λείπει.
Σημείωσε στο σχήμα όλα τα μήκη που χρειάζεσαι· τα άγνωστα βρίσκονται με πρόσθεση ή αφαίρεση τμημάτων.
Φέρε όλα τα μήκη στην ίδια μονάδα.
Υπολόγισε το εμβαδόν κάθε κομματιού και πρόσθεσε (ή αφαίρεσε).
Γράψε το αποτέλεσμα σε τετραγωνικές μονάδες.

Παράδειγμα: Ένα δωμάτιο σε σχήμα «Γ» προκύπτει από ένα ορθογώνιο $10 \text{ m} \times 6 \text{ m}$ , από το οποίο λείπει μια γωνιακή αποθήκη $4 \text{ m} \times 3 \text{ m}$ . Πόσο είναι το εμβαδόν του δωματίου;

Λύση: Μεγάλο ορθογώνιο μείον το κομμάτι που λείπει:

$E = 10 \cdot 6 - 4 \cdot 3 = 60 - 12 = 48 \text{ m}^2$

Για την περίμετρο δεν αφαιρούμε: οι δύο πλευρές της «εσοχής» ( $4$ m και $3$ m) αντικαθιστούν ακριβώς τα κομμάτια που έφυγαν από τις εξωτερικές πλευρές. Άρα εδώ $\Pi = 2(10 + 6) = 32$ m, όσο και του ορθογωνίου.

Άσκηση: Θέλουμε να στρώσουμε ένα δωμάτιο $4 \text{ m} \times 3 \text{ m}$ με τετράγωνα πλακάκια πλευράς $20$ cm. Πόσα πλακάκια χρειαζόμαστε;

Λύση: Ίδια μονάδα: $4$ m $= 400$ cm και $3$ m $= 300$ cm.

Στο μήκος χωράνε $400 : 20 = 20$ πλακάκια και στο πλάτος $300 : 20 = 15$ .
Συνολικά $20 \cdot 15 = 300$ πλακάκια.

Έλεγχος με εμβαδά: δωμάτιο $400 \cdot 300 = 120000 \text{ cm}^2$ , πλακάκι $20 \cdot 20 = 400 \text{ cm}^2$ , και $120000 : 400 = 300$ ✓

Γρήγορος έλεγχος

Ένα τετράγωνο έχει περίμετρο $20$ cm. Πόσο είναι το εμβαδόν του;

Γρήγορος έλεγχος

Ένα παραλληλόγραμμο έχει βάση $8$ cm, πλάγια πλευρά $6$ cm και ύψος προς τη βάση $5$ cm. Το εμβαδόν του είναι:

Το ύψος είναι πάντα κάθετο στη βάση — μην το μπερδεύεις με την πλάγια πλευρά! Πριν εφαρμόσεις τύπο, βεβαιώσου ότι όλα τα μήκη είναι στην ίδια μονάδα μέτρησης.

Πρόκληση

Ένα ορθογώνιο έχει περίμετρο $24$ cm και οι πλευρές του είναι ακέραιοι αριθμοί εκατοστών. Ποιες διαστάσεις δίνουν το μεγαλύτερο εμβαδόν;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Από $\Pi = 2(\alpha + \beta) = 24$ έχουμε $\alpha + \beta = 12$ . Δοκιμάζουμε όλες τις περιπτώσεις:

$1 \times 11$ : $E = 11 \text{ cm}^2$
$2 \times 10$ : $E = 20 \text{ cm}^2$
$3 \times 9$ : $E = 27 \text{ cm}^2$
$4 \times 8$ : $E = 32 \text{ cm}^2$
$5 \times 7$ : $E = 35 \text{ cm}^2$
$6 \times 6$ : $E = 36 \text{ cm}^2$

Το μεγαλύτερο εμβαδόν το δίνει το τετράγωνο $6 \times 6$ . Όσο πιο «μακρόστενο» είναι το ορθογώνιο, τόσο μικρότερο είναι το εμβαδόν του για την ίδια περίμετρο.

Συνηθισμένα λάθη

Πλάγια πλευρά αντί για ύψος. Σε παραλληλόγραμμο, τρίγωνο και τραπέζιο πολλαπλασιάζουμε με το ύψος, που είναι κάθετο στη βάση.
Ξεχασμένο «διά 2». Τρίγωνο και τραπέζιο έχουν $\frac{\dots}{2}$ στον τύπο τους.
Ανάμεικτες μονάδες. Διαστάσεις $2$ m και $50$ cm δεν πολλαπλασιάζονται όπως είναι: γράψε $200$ cm και $50$ cm, οπότε $E = 200 \cdot 50 = 10000 \text{ cm}^2 = 1 \text{ m}^2$ .
Μονάδες εμβαδού ανά 10. $1 \text{ m}^2 = 10000 \text{ cm}^2$ , όχι $100 \text{ cm}^2$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

Περίμετρος: άθροισμα πλευρών (m, cm)· εμβαδόν: επιφάνεια ( $\text{m}^2$ , $\text{cm}^2$ ).
Ορθογώνιο: $E = \alpha \beta$ , $\Pi = 2(\alpha + \beta)$ · τετράγωνο: $E = \alpha^2$ , $\Pi = 4\alpha$ .
Παραλληλόγραμμο $E = \beta \upsilon$ · τρίγωνο $E = \frac{\beta \upsilon}{2}$ · τραπέζιο $E = \frac{(\beta_1 + \beta_2)\upsilon}{2}$ .
Σύνθετα σχήματα: χωρίζω σε απλά κομμάτια ή αφαιρώ ό,τι λείπει.
Οι μονάδες εμβαδού αλλάζουν ανά $100$ : $1 \text{ m}^2 = 100 \text{ dm}^2 = 10000 \text{ cm}^2$ .

Περίμετρος και εμβαδόν