Παράλληλες & Τέμνουσα
Εντός εναλλάξ και εντός-εκτός επί τα αυτά γωνίες
Οι ράγες του τρένου είναι δύο παράλληλες ευθείες, και ένας δρόμος που τις διασχίζει λοξά είναι μια τέμνουσα. Στα δύο σημεία όπου κόβει τις ράγες σχηματίζονται γωνίες.
Το εντυπωσιακό είναι ότι αρκεί να ξέρεις μία από αυτές για να βρεις και τις . Σε αυτό το κεφάλαιο θα δεις πώς.
Όταν μια ευθεία «κόβει» δύο παράλληλες
Έστω δύο παράλληλες ευθείες και που τέμνονται από μια τρίτη ευθεία , την τέμνουσα. Στα δύο σημεία τομής σχηματίζονται συνολικά γωνίες, που τις ονομάζουμε ανάλογα με τη θέση τους:
- Εντός λέγονται οι γωνίες ανάμεσα στις παράλληλες, εκτός οι έξω από αυτές.
- Επί τα αυτά μέρη λέγονται όσες βρίσκονται από την ίδια μεριά της τέμνουσας, εναλλάξ όσες βρίσκονται σε διαφορετικές μεριές.
Συνδυάζοντας τα ονόματα: «εντός εναλλάξ» σημαίνει ανάμεσα στις παράλληλες και σε αντίθετες μεριές της τέμνουσας.
Οι ιδιότητες
Όταν οι ευθείες και είναι παράλληλες:
- Οι εντός εναλλάξ γωνίες είναι ίσες — σχηματίζουν το γράμμα «Ζ» πάνω στο σχήμα.
- Οι εντός-εκτός επί τα αυτά μέρη γωνίες είναι ίσες — σχηματίζουν το γράμμα «Π» (ή «F»).
- Οι εντός επί τα αυτά μέρη γωνίες είναι παραπληρωματικές: έχουν άθροισμα .
Ισχύει και το αντίστροφο: αν δύο ευθείες τέμνονται από τρίτη και σχηματίζουν ίσες εντός εναλλάξ γωνίες, τότε οι ευθείες είναι παράλληλες — έτσι κατασκευάζουμε παράλληλη από σημείο εκτός ευθείας.
Για περισσότερα από χρόνια οι μαθηματικοί προσπαθούσαν να αποδείξουν το «αίτημα των παραλλήλων» του Ευκλείδη: ότι από σημείο εκτός ευθείας περνά μία μόνο παράλληλη. Τον ο αιώνα κατάλαβαν ότι αποδεικνύεται αδύνατο, και γεννήθηκαν νέες γεωμετρίες. Σε μια σφαίρα, όπως η Γη, οι μεσημβρινοί είναι κάθετοι στον Ισημερινό και όμως συναντιούνται στους πόλους!
Άλλαξε την κλίση της τέμνουσας και παρατήρησε: όσο κι αν γέρνει, οι εντός εναλλάξ γωνίες μένουν πάντα ίσες μεταξύ τους — αρκεί οι δύο ευθείες να είναι παράλληλες.
Όλες οι γωνίες με μία ματιά
Με τις ιδιότητες αυτές, αν ξέρουμε μία από τις γωνίες, τις βρίσκουμε όλες. Οι γωνίες παίρνουν μόνο δύο τιμές:
- γωνίες ίσες με ,
- γωνίες ίσες με .
Σε κάθε σημείο τομής, κάθε γωνία είναι ίση με την κατακορυφήν της και παραπληρωματική με τη διπλανή της· οι παράλληλες «μεταφέρουν» τις ίδιες τιμές στο άλλο σημείο τομής. Αν , η τέμνουσα είναι κάθετη και στις δύο παράλληλες και όλες οι γωνίες είναι ορθές.
Παράδειγμα: Οι τέμνονται από την και μια εντός γωνία στο πάνω σημείο τομής είναι . Βρες τις εντός γωνίες στο κάτω σημείο τομής.
- Η εντός εναλλάξ της είναι ίση: .
- Η εντός επί τα αυτά της είναι παραπληρωματική: .
Έλεγχος: στο κάτω σημείο τομής οι δύο εντός γωνίες και είναι εφεξής πάνω στην ευθεία και πράγματι ✓
Παράδειγμα: Οι τέμνονται από την και μία από τις γωνίες είναι . Βρες τες όλες.
- Στο ίδιο σημείο τομής: η κατακορυφήν της είναι και οι δύο διπλανές της .
- Στο άλλο σημείο τομής οι τιμές «αντιγράφονται» (εντός εναλλάξ και εντός-εκτός επί τα αυτά είναι ίσες): πάλι δύο γωνίες και δύο .
Σύνολο: τέσσερις γωνίες και τέσσερις . Έλεγχος: ✓
Μέθοδος: άγνωστη γωνία σε παράλληλες
- Βρες τη θέση των δύο γωνιών: εντός ή εκτός των παραλλήλων; Ίδια ή αντίθετη μεριά της τέμνουσας;
- Αναγνώρισε το μοτίβο: «Ζ» ή «Π» → ίσες· «U» (εντός επί τα αυτά) → άθροισμα .
- Γράψε την εξίσωση: ίσες → · παραπληρωματικές → .
- Λύσε, υπολόγισε τις γωνίες (όχι μόνο το ) και έλεγξε με την ιδιότητα.
Άσκηση: Δύο παράλληλες τέμνονται από ευθεία, και δύο εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες είναι και . Βρες τις γωνίες.
Λύση: Οι εντός επί τα αυτά γωνίες είναι παραπληρωματικές:
Οι γωνίες είναι και . Έλεγχος: ✓
Δύο παράλληλες τέμνονται από ευθεία. Δύο εντός εναλλάξ γωνίες είναι και . Πόσο είναι το ;
Δύο παράλληλες τέμνονται από ευθεία . Μία εντός εναλλάξ γωνία είναι . Η άλλη εντός εναλλάξ είναι:
Σε παράλληλες με τέμνουσα, δύο εντός γωνίες επί τα αυτά μέρη της τέμνουσας έχουν η μία . Η άλλη είναι:
Δύο ευθείες τέμνονται από τρίτη, και δύο εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες είναι και . Οι δύο ευθείες είναι:
Στο σχήμα ψάξε με το μάτι τα κρυμμένα γράμματα: «Ζ» εντός εναλλάξ, ίσες· «Π» εντός-εκτός επί τα αυτά, ίσες· «U» (δύο γωνίες στην ίδια «κοιλιά») εντός επί τα αυτά, άθροισμα . Με αυτά τα τρία μοτίβα λύνεται σχεδόν κάθε άσκηση παραλλήλων.
Οι ευθείες (πάνω) και (κάτω) είναι παράλληλες και οριζόντιες. Ένα σημείο βρίσκεται ανάμεσά τους. Φέρνουμε το τμήμα προς την και το τμήμα προς την , με τα και αριστερά του . Η γωνία που σχηματίζει το με το δεξί κομμάτι της στο είναι , και η γωνία που σχηματίζει το με το δεξί κομμάτι της στο είναι . Πόση είναι η γωνία ;
Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση
Το κόλπο είναι να φέρουμε από το μια τρίτη ευθεία παράλληλη προς τις και . Η χωρίζει τη γωνία σε δύο κομμάτια.
- Για τις παράλληλες και με τέμνουσα την : η γωνία των στο και η γωνία ανάμεσα στο και στο αριστερό κομμάτι της είναι εντός εναλλάξ, άρα κι αυτή είναι .
- Με τον ίδιο τρόπο, για τις και με τέμνουσα την , το κάτω κομμάτι είναι .
Άρα . Γενικά, η γωνία στο ισούται με το άθροισμα των δύο γωνιών στις παράλληλες.
- Ίσες αντί για παραπληρωματικές. Οι εντός επί τα αυτά δεν είναι ίσες· αθροίζουν . Ίσες είναι οι εντός εναλλάξ και οι εντός-εκτός επί τα αυτά.
- Ιδιότητες χωρίς παράλληλες. Αν οι ευθείες δεν είναι παράλληλες, οι εντός εναλλάξ γωνίες δεν είναι ίσες. Έλεγξε πρώτα ότι δίνεται .
- Λάθος μεριά της τέμνουσας. «Εναλλάξ» = αντίθετες μεριές, «επί τα αυτά» = ίδια μεριά. Σημείωσε στο σχήμα τις δύο μεριές.
- Το αντί για τη γωνία. Αν η γωνία είναι και βρεις , η γωνία είναι .
- Δύο ευθείες και μια τέμνουσα σχηματίζουν γωνίες: εντός ή εκτός, εναλλάξ ή επί τα αυτά.
- Με παράλληλες: εντός εναλλάξ ίσες («Ζ»), εντός-εκτός επί τα αυτά ίσες («Π»), εντός επί τα αυτά παραπληρωματικές («U»).
- Οι γωνίες παίρνουν μόνο δύο τιμές: και .
- Αντίστροφο: αν οι εντός εναλλάξ είναι ίσες (ή οι εντός επί τα αυτά παραπληρωματικές), οι ευθείες είναι παράλληλες.