🍕

Κλάσματα

Ισοδύναμα κλάσματα, σύγκριση, πράξεις

Γιατί με νοιάζει;

Μια πίτσα είναι κομμένη σε $8$ κομμάτια και τρως τα $3$ . Η φίλη σου παίρνει μια ίδια πίτσα κομμένη σε $4$ κομμάτια και τρώει τα $2$ . Ποια έφαγε περισσότερο;

Τέτοιες συγκρίσεις κάνεις κάθε μέρα: σε συνταγές, σε εκπτώσεις, στο μοίρασμα. Τα κλάσματα είναι η γλώσσα για τα «κομμάτια του όλου», και εδώ θα μάθεις να τα συγκρίνεις και να κάνεις πράξεις μαζί τους.

Η έννοια του κλάσματος

Το κλάσμα $\frac{\alpha}{\beta}$ δείχνει $\alpha$ μέρη από τα $\beta$ ίσα μέρη ενός όλου. Το $\alpha$ λέγεται αριθμητής και το $\beta$ παρονομαστής (πάντα $\beta \neq 0$ ).

Αν $\alpha < \beta$ το κλάσμα είναι μικρότερο από 1, αν $\alpha = \beta$ ισούται με 1, και αν $\alpha > \beta$ είναι μεγαλύτερο από 1.

Κλάσμα ως διαίρεση και κλάσμα ενός ποσού

Το κλάσμα είναι και πηλίκο διαίρεσης: $\frac{\alpha}{\beta} = \alpha : \beta$ . Αν μοιράσουμε $3$ πίτσες σε $4$ παιδιά, κάθε παιδί παίρνει $\frac{3}{4}$ της πίτσας.

Ένα κλάσμα μεγαλύτερο από $1$ γράφεται και ως μεικτός αριθμός: $\frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$ , γιατί $7 = 2 \cdot 3 + 1$ — δύο ακέραιες μονάδες και ακόμη $\frac{1}{3}$ .

Για να βρούμε τα $\frac{\alpha}{\beta}$ ενός ποσού, διαιρούμε το ποσό με τον παρονομαστή (βρίσκουμε το ένα μέρος) και πολλαπλασιάζουμε με τον αριθμητή: τα $\frac{3}{5}$ των $40$ μαθητών είναι $40 : 5 \cdot 3 = 24$ μαθητές.

Ήξερες ότι;

Οι αρχαίοι Αιγύπτιοι έγραφαν σχεδόν κάθε κλάσμα ως άθροισμα διαφορετικών κλασμάτων με αριθμητή $1$ . Για παράδειγμα, το $\frac{3}{4}$ το έγραφαν $\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$ . Πίνακες με τέτοιες αναλύσεις υπάρχουν στον πάπυρο Ριντ, ένα μαθηματικό βιβλίο γραμμένο πριν από περίπου $3500$ χρόνια.

Γρήγορος έλεγχος

Πόσο είναι τα $\frac{3}{4}$ των $20$ €;

Ισοδύναμα κλάσματα

Δύο κλάσματα είναι ισοδύναμα όταν εκφράζουν το ίδιο μέρος του όλου. Προκύπτουν πολλαπλασιάζοντας (ή διαιρώντας) αριθμητή και παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό.

Όταν αριθμητής και παρονομαστής δεν έχουν κοινό διαιρέτη εκτός του 1, το κλάσμα λέγεται ανάγωγο — εκεί καταλήγουμε με την απλοποίηση.

Σύρε τον πολλαπλασιαστή — οι δύο μπάρες καλύπτουν πάντα το ίδιο μέρος!

$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\alpha \cdot \kappa}{\beta \cdot \kappa}$

Σύγκριση κλασμάτων

Ομώνυμα (ίδιος παρονομαστής): μεγαλύτερο αυτό με τον μεγαλύτερο αριθμητή
Ίδιος αριθμητής: μεγαλύτερο αυτό με τον μικρότερο παρονομαστή
Ετερώνυμα: τα μετατρέπουμε πρώτα σε ομώνυμα με παρονομαστή το ΕΚΠ

Πράξεις

Πρόσθεση/αφαίρεση: κάνουμε ομώνυμα και προσθέτουμε ή αφαιρούμε τους αριθμητές
Πολλαπλασιασμός: $\frac{\alpha}{\beta} \cdot \frac{\gamma}{\delta} = \frac{\alpha\gamma}{\beta\delta}$
Διαίρεση: πολλαπλασιάζουμε με το αντίστροφο του διαιρέτη

Παράδειγμα: (α) Απλοποίησε το $\frac{36}{48}$ . (β) Ποιο είναι μεγαλύτερο, το $\frac{5}{6}$ ή το $\frac{7}{9}$ ;

(α) ΜΚΔ $(36, 48) = 12$ , άρα $\frac{36}{48} = \frac{36 : 12}{48 : 12} = \frac{3}{4}$ — ανάγωγο.

(β) ΕΚΠ $(6, 9) = 18$ . Κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα: $\frac{5}{6} = \frac{15}{18}$ και $\frac{7}{9} = \frac{14}{18}$ . Επειδή $15 > 14$ , είναι $\frac{5}{6} > \frac{7}{9}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Ποιο από τα παρακάτω κλάσματα είναι το μεγαλύτερο;

Μέθοδος: πρόσθεση και αφαίρεση ετερώνυμων κλασμάτων

Αν υπάρχουν μεικτοί αριθμοί, τους κάνουμε κλάσματα: $2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$ .
Βρίσκουμε το ΕΚΠ των παρονομαστών — αυτός θα είναι ο κοινός παρονομαστής.
Σε κάθε κλάσμα πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό (ΕΚΠ διά τον παρονομαστή του).
Προσθέτουμε ή αφαιρούμε μόνο τους αριθμητές· ο παρονομαστής μένει ίδιος.
Απλοποιούμε το αποτέλεσμα και, αν θέλουμε, το γράφουμε ως μεικτό.

Παράδειγμα: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$ και $\frac{2}{3} : \frac{4}{9} = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$ .

Κόλπο μνήμης

Για τη διαίρεση κλασμάτων θυμήσου τρία ρήματα: Κρατάω – Αλλάζω – Αντιστρέφω. Κρατάω το πρώτο κλάσμα, αλλάζω το $:$ σε $\cdot$ , αντιστρέφω το δεύτερο: $\frac{2}{3} : \frac{4}{9} = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4}$ .

Παράδειγμα: (α) $2\frac{1}{2} + 1\frac{2}{3}$ (β) $\frac{4}{9} \cdot \frac{15}{8}$

(α) Κάνουμε τους μεικτούς κλάσματα: $\frac{5}{2} + \frac{5}{3}$ . Με ΕΚΠ $(2, 3) = 6$ : $\frac{15}{6} + \frac{10}{6} = \frac{25}{6} = 4\frac{1}{6}$ , αφού $25 = 4 \cdot 6 + 1$ .

(β) Απλοποιούμε χιαστί πριν πολλαπλασιάσουμε: το $4$ με το $8$ (διά $4$ ) και το $15$ με το $9$ (διά $3$ ):

$\frac{4}{9} \cdot \frac{15}{8} = \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{2} = \frac{5}{6}$

Γρήγορος έλεγχος

Πόσο κάνει $\frac{2}{3} + \frac{1}{4}$ ;

Άσκηση: Ένα βιβλίο έχει 200 σελίδες. Η Μαρία διάβασε τα $\frac{2}{5}$ τη Δευτέρα και το $\frac{1}{4}$ την Τρίτη. Πόσες σελίδες της μένουν;

Λύση: Συνολικά διάβασε $\frac{2}{5} + \frac{1}{4} = \frac{8}{20} + \frac{5}{20} = \frac{13}{20}$ του βιβλίου. Μένει το $1 - \frac{13}{20} = \frac{7}{20}$ , δηλαδή $\frac{7}{20} \cdot 200 = 70$ σελίδες.

Γρήγορος έλεγχος

Ποιο κλάσμα είναι ισοδύναμο με το $\frac{2}{3}$ ;

Άσκηση: Έχουμε $6$ λίτρα χυμό και γεμίζουμε ποτήρια των $\frac{3}{4}$ του λίτρου. Πόσα ποτήρια γεμίζουμε;

Λύση: Ψάχνουμε πόσες φορές χωράει το $\frac{3}{4}$ στο $6$ , δηλαδή τη διαίρεση:

$6 : \frac{3}{4} = 6 \cdot \frac{4}{3} = \frac{24}{3} = 8$

Γεμίζουμε $8$ ποτήρια. Λογικό: κάθε ποτήρι χωράει λιγότερο από $1$ λίτρο, άρα τα ποτήρια πρέπει να είναι περισσότερα από $6$ .

Πριν πολλαπλασιάσεις, απλοποίησε «χιαστί» ό,τι μπορείς — δουλεύεις με μικρότερους αριθμούς και το αποτέλεσμα βγαίνει κατευθείαν ανάγωγο, όπως το ζητούν οι ασκήσεις.

Πρόκληση

Γράψε ως άθροισμα δύο διαφορετικών κλασμάτων με αριθμητή $1$ (όπως οι αρχαίοι Αιγύπτιοι) (α) το $\frac{5}{6}$ (β) το $\frac{7}{12}$ .

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Ξεκινάμε από το μεγαλύτερο κλάσμα με αριθμητή $1$ που δεν ξεπερνά τον αριθμό και κοιτάμε τι μένει.

(α) Το $\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$ χωράει. Μένει $\frac{5}{6} - \frac{3}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ . Άρα $\frac{5}{6} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ .

(β) Το $\frac{1}{2} = \frac{6}{12}$ χωράει και μένει $\frac{7}{12} - \frac{6}{12} = \frac{1}{12}$ . Άρα $\frac{7}{12} = \frac{1}{2} + \frac{1}{12}$ . Υπάρχει κι άλλη λύση: $\frac{7}{12} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4}$ .

Συνηθισμένα λάθη

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{2}{5}$ . Δεν προσθέτουμε παρονομαστές. Κάνουμε πρώτα ομώνυμα: $\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$ .
Αλλαγή μόνο του παρονομαστή. Στο $\frac{1}{4} = \frac{?}{12}$ πολλαπλασιάζουμε και τον αριθμητή με το $3$ : $\frac{3}{12}$ .
Αντιστροφή του λάθος κλάσματος στη διαίρεση. Αντιστρέφουμε μόνο τον διαιρέτη (το δεύτερο): $\frac{2}{3} : \frac{4}{9} = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4}$ .
Απλοποίηση μέσα σε άθροισμα. Στο $\frac{2 + 5}{2}$ δεν «διώχνουμε» τα $2$ · απλοποιούμε μόνο παράγοντες γινομένου: $\frac{2 + 5}{2} = \frac{7}{2}$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

$\frac{\alpha}{\beta} = \alpha : \beta$ · τα $\frac{\alpha}{\beta}$ ενός ποσού: διαιρώ με $\beta$ και πολλαπλασιάζω με $\alpha$ .
Ισοδύναμα: $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\alpha \cdot \kappa}{\beta \cdot \kappa}$ · ανάγωγο είναι το κλάσμα που δεν απλοποιείται άλλο.
Σύγκριση, πρόσθεση και αφαίρεση ετερώνυμων: πρώτα ομώνυμα με παρονομαστή το ΕΚΠ.
$\frac{\alpha}{\beta} \cdot \frac{\gamma}{\delta} = \frac{\alpha\gamma}{\beta\delta}$ · διαίρεση: επί το αντίστροφο του διαιρέτη.
Μεικτός αριθμός: $2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$ .

Η έννοια του κλάσματος

Το κλάσμα

\frac{\alpha}{\beta}

δείχνει

\alpha

μέρη από τα

\beta

ίσα μέρη ενός όλου. Το

\alpha

λέγεται αριθμητής και το

\beta

παρονομαστής (πάντα

\beta \neq 0

Αν

\alpha < \beta

το κλάσμα είναι μικρότερο από 1, αν

\alpha = \beta

ισούται με 1, και αν

\alpha > \beta

είναι μεγαλύτερο από 1.