Πολλαπλάσια, Διαιρέτες & Κριτήρια
Η οικογένεια κάθε αριθμού και τα μυστικά σημάδια της διαιρετότητας
Έχεις καραμέλες και θες να τις βάλεις σε σακουλάκια με τον ίδιο αριθμό, χωρίς να περισσέψει καμία. Με πόσους τρόπους γίνεται; Κι αν το ένα λεωφορείο περνά κάθε λεπτά και το άλλο κάθε , πότε θα φτάσουν ξανά μαζί στη στάση; Διαιρέτες και πολλαπλάσια λύνουν τέτοια μυστήρια — και τα κριτήρια διαιρετότητας σε κάνουν να απαντάς χωρίς καν να διαιρέσεις!
Τα πολλαπλάσια: η προπαίδεια που δεν τελειώνει ποτέ! ♾️
Τα πολλαπλάσια του 4 είναι όλα τα αποτελέσματα της προπαίδειάς του: — και συνεχίζουν για πάντα!
Οι διαιρέτες είναι το αντίθετο ταξίδι: διαιρέτης του 12 είναι κάθε αριθμός που τον διαιρεί τέλεια, χωρίς υπόλοιπο. Οι διαιρέτες του 12: .
Οι δύο έννοιες είναι ζευγάρι: αφού , το 12 είναι πολλαπλάσιο του 3 και του 4, και το 3 και το 4 είναι διαιρέτες του 12!
τα πολλαπλάσια είναι πολλά — συνεχίζουν για πάντα και είναι ίσα ή μεγαλύτερα από τον αριθμό. Οι διαιρέτες είναι λίγοι — είναι ίσοι ή μικρότεροι από τον αριθμό και τον «κόβουν» τέλεια.
Πώς βρίσκω ΟΛΟΥΣ τους διαιρέτες 🔎
Ψάχνω ζευγάρια που πολλαπλασιαζόμενα δίνουν τον αριθμό, ξεκινώντας από το :
Το και το δεν διαιρούν το , και μετά το τα ζευγάρια ξαναρχίζουν ανάποδα — σταματάω. Διαιρέτες του : .
Το και ο ίδιος ο αριθμός είναι πάντα διαιρέτες του!
Ποιοι είναι όλοι οι διαιρέτες του ;
Το ΕΚΠ: το πρώτο κοινό ραντεβού 📅
Τα πολλαπλάσια του 4: Του 6:
Το 12 και το 24 είναι κοινά πολλαπλάσια — και το μικρότερο από αυτά, το 12, λέγεται Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ). Είναι σαν δύο λεωφορεία που περνούν κάθε 4 και κάθε 6 λεπτά: θα ξανασυναντηθούν στη στάση στο λεπτό 12!
Μέθοδος: βρίσκω το ΕΚΠ
- Γράφω τα πολλαπλάσια του μεγαλύτερου αριθμού:
- Για καθένα ελέγχω αν διαιρείται και με τον μικρότερο αριθμό.
- Το πρώτο που περνά τον έλεγχο είναι το ΕΚΠ.
Για ΕΚΠ: ; όχι. ; όχι. ✅ → ΕΚΠ.
Λυμένη άσκηση: Η Άννα πηγαίνει για κολύμπι κάθε μέρες και ο Βασίλης κάθε μέρες. Σήμερα κολύμπησαν μαζί. Σε πόσες μέρες θα ξανασυναντηθούν στην πισίνα;
Λύση: Ζητάμε το πρώτο κοινό πολλαπλάσιο του και του . Πολλαπλάσια του : — και ✅
Απάντηση: Σε μέρες (ΕΚΠ).
Στη Βόρεια Αμερική ζουν τζιτζίκια που βγαίνουν από τη γη μόνο κάθε χρόνια και άλλα μόνο κάθε χρόνια! Οι δύο «οικογένειες» βγαίνουν την ίδια χρονιά μόνο κάθε χρόνια — αυτό είναι το ΕΚΠ τους. Τελευταία φορά συνέβη το .
Κριτήρια διαιρετότητας: τα μυστικά σημάδια 🔍
Δεν χρειάζεται να κάνεις τη διαίρεση για να ξέρεις αν βγαίνει τέλεια!
- Με το 2: τελειώνει σε (ζυγός αριθμός)
- Με το 5: τελειώνει σε ή
- Με το 10: τελειώνει σε
- Με το 3: το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 3
- Με το 9: το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 9
Για το 738: , και το 18 διαιρείται και με το 3 και με το 9 — άρα και το 738!
Διάλεξε έναν διαιρέτη και δες ποιοι αριθμοί ανάβουν στο πλέγμα — θα ανακαλύψεις ότι τα πολλαπλάσια σχηματίζουν μοτίβα και ότι τα κριτήρια όντως δουλεύουν!
Παράδειγμα: Έχουμε 270 καραμέλες. Μπορούμε να τις μοιράσουμε τέλεια σε σακουλάκια των 2, των 5 ή των 9;
Λύση: Τελειώνει σε 0 → διαιρείται με το 2, με το 5 (και με το 10!). Άθροισμα ψηφίων: → διαιρείται και με το 9. Τριπλή επιτυχία: , , ✅
Παράδειγμα: Διαιρείται ο με το , το και το ;
Λύση:
- Τελειώνει σε → διαιρείται με το ✅
- Άθροισμα ψηφίων: . Το δεν διαιρείται ούτε με το ούτε με το → ο δεν διαιρείται με το ούτε με το .
Έλεγχος: ακριβώς.
Ποιος αριθμός διαιρείται τέλεια ΚΑΙ με το 2 ΚΑΙ με το 3;
Ποιο είναι το ΕΚΠ του 4 και του 6;
Ένα φανάρι αναβοσβήνει κάθε λεπτά και ένα άλλο κάθε λεπτά. Αν τώρα άναψαν μαζί, σε πόσα λεπτά θα ανάψουν ξανά μαζί;
Ο αριθμός διαιρείται με το . Ποιο ψηφίο λείπει;
Το κριτήριο του 3 και του 9 δουλεύει όσο μεγάλος κι αν είναι ο αριθμός — δοκίμασέ το στο (άθροισμα 9, άρα διαιρείται και με τα δύο!). Κι αν ένας αριθμός διαιρείται με το 2 ΚΑΙ με το 3, τότε διαιρείται σίγουρα και με το 6.
Ο τριψήφιος αριθμός διαιρείται και με το και με το . Ποιοι αριθμοί μπορεί να είναι;
Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση
- Κριτήριο του 5: το είναι ή .
- Κριτήριο του 9: το άθροισμα πρέπει να διαιρείται με το .
- Αν : πρέπει να είναι (ή , που θέλει — δεν γίνεται). Άρα → .
- Αν : πρέπει να είναι , άρα → .
Απάντηση: ή . Επαλήθευση: και ✅
- Μπερδεύω πολλαπλάσια και διαιρέτες: τα πολλαπλάσια του είναι μεγαλύτερα (), οι διαιρέτες του μικρότεροι ή ίσοι ().
- Ξεχνάω το και τον ίδιο τον αριθμό όταν γράφω διαιρέτες.
- «ΕΚΠ = γινόμενο»: ΕΚΠ, όχι . Το γινόμενο είναι κοινό πολλαπλάσιο, αλλά συχνά όχι το ελάχιστο.
- Κριτήριο του 3 με το τελευταίο ψηφίο: το τελειώνει σε αλλά δεν διαιρείται με το — κοιτάω το άθροισμα των ψηφίων.
- Πολλαπλάσια του : · διαιρέτες: όσοι τον διαιρούν τέλεια (βρίσκω με ζευγάρια)
- ΕΚΠ: το μικρότερο κοινό πολλαπλάσιο — πολλαπλάσια του μεγαλύτερου μέχρι να διαιρείται και με τον άλλον
- Κριτήρια: (ζυγό τελευταίο ψηφίο), ( ή ), ()
- Κριτήρια και : το άθροισμα ψηφίων διαιρείται με ή