Γωνίες, Μεγέθυνση & Συμμετρία
Σχεδίαση γωνιών, κλίμακα, αξονική συμμετρία
Πώς μεγαλώνει μια φωτογραφία χωρίς να «χαλάσει»;
Όταν τεντώνεις μια φωτογραφία μόνο στο πλάτος, τα πρόσωπα γίνονται φαρδιά και αστεία. Για να μεγαλώσει σωστά, όλες οι διαστάσεις πρέπει να μεγαλώσουν με την ίδια κλίμακα. Σε αυτό το μάθημα σχεδιάζεις γωνίες, μεγεθύνεις σχήματα και ανακαλύπτεις τη συμμετρία — από τα φτερά μιας πεταλούδας ως τις νιφάδες του χιονιού.
Σχεδιάζω γωνίες με το μοιρογνωμόνιο
Να μετράς γωνίες ξέρεις — ώρα να τις φτιάχνεις! Για να σχεδιάσεις γωνία π.χ. :
- Σχεδίασε μια ημιευθεία — θα είναι η μία πλευρά της γωνίας
- Ακούμπησε το κέντρο του μοιρογνωμονίου στην αρχή της ημιευθείας (την κορυφή) και το πάνω στην ημιευθεία
- Μέτρησε και σημάδεψε μια τελίτσα στις
- Ένωσε την κορυφή με το σημάδι — έτοιμη η γωνία!
Το μοιρογνωμόνιο έχει δύο σκάλες αρίθμησης (από αριστερά και από δεξιά). Διάλεξε αυτή που ξεκινά από το 0 πάνω στην πλευρά σου, αλλιώς θα σχεδιάσεις λάθος γωνία — αυτήν που λείπει ως τις !
Σύρε την πλευρά της γωνίας μέχρι να πετύχεις ακριβώς τις μοίρες-στόχο και ανακάλυψε πώς δουλεύει το μοιρογνωμόνιο — πρόσεξε ότι η ίδια θέση δείχνει δύο αριθμούς που αθροίζουν 180!
Θέλεις να σχεδιάσεις γωνία , αλλά διάβασες τη λάθος σκάλα του μοιρογνωμονίου. Τι γωνία σχεδίασες;
Λυμένη άσκηση: Σχεδίασε γωνία και έλεγξε ότι τη σχεδίασες σωστά.
Λύση: Σχεδιάζουμε μια ημιευθεία . Βάζουμε το κέντρο του μοιρογνωμονίου στο και το πάνω στην . Ακολουθούμε τη σκάλα που ξεκινά από το 0 πάνω στην μέχρι το 130 και σημαδεύουμε. Ενώνουμε το με το σημάδι.
Έλεγχος: οι είναι πάνω από , άρα η γωνία πρέπει να φαίνεται αμβλεία — πιο ανοιχτή από τη γωνία του τετραδίου. Αν βγήκε στενή, διάβασες τις της άλλης σκάλας ().
Μεγέθυνση και σμίκρυνση σχημάτων
Όταν μεγεθύνουμε ένα σχήμα, πολλαπλασιάζουμε όλες τις πλευρές του με τον ίδιο αριθμό (την κλίμακα). Όταν το σμικρύνουμε, τις διαιρούμε. Το σχήμα αλλάζει μέγεθος αλλά όχι μορφή — οι γωνίες του μένουν ολόιδιες!
Στο τετραγωνισμένο χαρτί είναι παιχνιδάκι: μετράς τα κουτάκια κάθε γραμμής και τα διπλασιάζεις (κλίμακα 2) ή τα μισεύεις (κλίμακα ). Έτσι δουλεύουν οι χάρτες, οι μακέτες και το ζουμ της φωτογραφίας!
Λυμένο παράδειγμα: Ένα ορθογώνιο στο τετραγωνισμένο χαρτί έχει μήκος 3 κουτάκια και πλάτος 2. Το μεγεθύνουμε με κλίμακα 2. Τι διαστάσεις και τι περίμετρο έχει το νέο σχήμα;
Λύση: Νέο μήκος: κουτάκια, νέο πλάτος: κουτάκια. Περίμετρος πριν: , μετά: — διπλασιάστηκε κι αυτή, όπως όλα τα μήκη! Οι γωνίες έμειναν ορθές: το σχήμα είναι ίδιο, απλώς πιο μεγάλο.
Λυμένη άσκηση: Μια φωτογραφία 12 cm επί 8 cm σμικρύνεται με κλίμακα για να μπει σε ένα μπρελόκ. Τι διαστάσεις θα έχει; Τι γίνεται με την περίμετρο;
Λύση: Με κλίμακα κάθε μήκος γίνεται το του, δηλαδή διαιρείται με το 4. Μήκος: cm, πλάτος: cm. Περίμετρος πριν: cm, μετά: cm — έγινε κι αυτή το .
Απάντηση: 3 cm επί 2 cm, με περίμετρο 10 cm αντί για 40 cm.
Μεγεθύνουμε ένα τρίγωνο με κλίμακα 3. Μια πλευρά του ήταν 4 cm. Πόση είναι στο νέο τρίγωνο;
Μια φωτογραφία 10 cm επί 15 cm μεγεθύνεται ώστε η πλευρά των 10 cm να γίνει 20 cm. Πόση θα γίνει η πλευρά των 15 cm;
Αξονική συμμετρία — ο καθρέφτης της γεωμετρίας
Ένα σχήμα έχει άξονα συμμετρίας όταν, αν το διπλώσεις κατά μήκος μιας ευθείας, τα δύο μισά ταυτίζονται ακριβώς. Σκέψου μια πεταλούδα: το αριστερό φτερό είναι ο καθρέφτης του δεξιού!
- Το ισοσκελές τρίγωνο έχει 1 άξονα, το ορθογώνιο 2, το τετράγωνο 4, ο κύκλος άπειρους!
Για να σχεδιάσεις το συμμετρικό ενός σημείου ως προς άξονα: τράβα κάθετη γραμμή προς τον άξονα και συνέχισε ίση απόσταση από την άλλη μεριά. Κάθε σημείο και ο «δίδυμός» του απέχουν το ίδιο από τον καθρέφτη.
Μια τέλεια σχηματισμένη νιφάδα χιονιού έχει 6 άξονες συμμετρίας! Ο λόγος είναι ότι τα μόρια του νερού, όταν παγώνουν, «δένονται» σε εξάγωνα σχήματα — έτσι η νιφάδα μεγαλώνει με έξι ίδια «χέρια».
Μέθοδος: Σχεδιάζω το συμμετρικό ενός σχήματος
- Από κάθε κορυφή του σχήματος φέρνω (με τον γνώμονα ή νοερά) μια γραμμή κάθετη στον άξονα.
- Μετράω την απόσταση της κορυφής από τον άξονα (σε τετραγωνισμένο χαρτί μετράω κουτάκια).
- Από την άλλη μεριά του άξονα, πάνω στην ίδια κάθετη γραμμή, σημαδεύω σημείο στην ίδια απόσταση.
- Ενώνω τα νέα σημεία με την ίδια σειρά που ενώνονταν οι αρχικές κορυφές.
- Ελέγχω: αν διπλώσω το χαρτί στον άξονα, τα δύο σχήματα ταυτίζονται.
Λυμένη άσκηση: Σε τετραγωνισμένο χαρτί έχουμε έναν κατακόρυφο άξονα. Η κορυφή Α ενός τριγώνου απέχει 3 κουτάκια αριστερά από τον άξονα, η κορυφή Β 1 κουτάκι αριστερά, και η κορυφή Γ βρίσκεται πάνω στον άξονα. Πού θα βρεθούν οι κορυφές Α΄, Β΄, Γ΄ του συμμετρικού τριγώνου;
Λύση: Κάθε κορυφή «περνάει» στην άλλη μεριά, στην ίδια σειρά κουτακιών και στην ίδια απόσταση από τον άξονα: η Α΄ θα είναι 3 κουτάκια δεξιά του άξονα και η Β΄ 1 κουτάκι δεξιά. Η Γ είναι πάνω στον «καθρέφτη», άρα μένει στη θέση της: η Γ΄ συμπίπτει με τη Γ.
Απάντηση: Α΄ 3 κουτάκια δεξιά, Β΄ 1 κουτάκι δεξιά, Γ΄ ίδια με τη Γ — τα σημεία του άξονα είναι συμμετρικά του εαυτού τους!
Σύρε τα σημεία του σχήματος και δες το είδωλό τους να χορεύει ταυτόχρονα από την άλλη μεριά του άξονα — παρατήρησε ότι κάθε σημείο και ο δίδυμός του απέχουν πάντα ίσα από τον καθρέφτη!
Πόσους άξονες συμμετρίας έχει ένα τετράγωνο;
Πόσους άξονες συμμετρίας έχει ένα ισόπλευρο τρίγωνο;
Σε έναν χάρτη πεζοπορίας η κλίμακα είναι (γράφεται και 1 : 50.000). Η διαδρομή από το καταφύγιο ως την κορυφή μετράει στον χάρτη 6 cm.
α) Πόσα km είναι στην πραγματικότητα;
β) Αν περπατάς 3 km την ώρα, πόση ώρα θα κάνεις;
Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση
Κλίμακα σημαίνει ότι 1 cm στον χάρτη είναι cm στην πραγματικότητα.
α) cm. Μετατρέπουμε: .
β) 3 km με 3 km την ώρα: ακριβώς 1 ώρα.
Απάντηση: α) 3 km β) 1 ώρα — ένας χάρτης στο μέγεθος τετραδίου χωράει ολόκληρο βουνό!
Το τεστ του καθρέφτη! Αν δεν είσαι σίγουρος για έναν άξονα συμμετρίας, φαντάσου ότι διπλώνεις το χαρτί πάνω στη γραμμή. Ταιριάζουν τέλεια τα δύο μισά; Άξονας! Ξεχειλίζει κάτι; Δεν είναι.
- Λάθος σκάλα στο μοιρογνωμόνιο: σχεδιάζεις αντί για . Έλεγξε με το μάτι: οξεία ή αμβλεία φαίνεται;
- Μεγέθυνση με πρόσθεση: με κλίμακα 2 διπλασιάζω κάθε πλευρά· αν προσθέσω τον ίδιο αριθμό, το σχήμα παραμορφώνεται.
- Συμμετρικό «λοξά»: το συμμετρικό σημείο είναι ακριβώς απέναντι, πάνω στην κάθετη γραμμή προς τον άξονα.
- Διαγώνιοι ορθογωνίου ως άξονες: στο ορθογώνιο (που δεν είναι τετράγωνο) οι διαγώνιοι ΔΕΝ είναι άξονες συμμετρίας.
- Σχεδίαση γωνίας: κέντρο μοιρογνωμονίου στην κορυφή, πάνω στην πλευρά, σωστή σκάλα
- Οι δύο σκάλες του μοιρογνωμονίου δίνουν αριθμούς που αθροίζουν
- Μεγέθυνση/σμίκρυνση: όλα τα μήκη επί την κλίμακα — οι γωνίες και η μορφή μένουν ίδιες
- Αξονική συμμετρία: κάθε σημείο και το συμμετρικό του απέχουν ίσα από τον άξονα, πάνω σε κάθετη γραμμή
- Άξονες συμμετρίας: ισοσκελές τρίγωνο 1, ισόπλευρο 3, ορθογώνιο 2, τετράγωνο 4, κύκλος άπειροι