Μεικτές παραστάσεις & Στρογγυλοποίηση
Προτεραιότητα πράξεων, σύνθετα προβλήματα, στρογγυλοποίηση
14 ή 20;
Ρώτα τρεις φίλους πόσο κάνει . Κάποιος θα πει 20, κάποιος 14 — και μόνο ένας έχει δίκιο! Για να έχει μια παράσταση μία μόνο απάντηση, όποιος κι αν τη λύνει, οι μαθηματικοί συμφώνησαν σε κανόνες προτεραιότητας. Εδώ τους μαθαίνεις — και μαθαίνεις πότε αξίζει να στρογγυλέψεις για να υπολογίσεις γρήγορα.
Ποια πράξη πάει πρώτη;
Μια αριθμητική παράσταση είναι μια σειρά αριθμών με πολλές πράξεις μαζί, π.χ. . Δεν τις κάνουμε όπως να 'ναι — υπάρχει αυστηρή σειρά προτεραιότητας:
- Πρώτα οι πράξεις μέσα στις παρενθέσεις
- Μετά πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις (με τη σειρά που εμφανίζονται)
- Τέλος προσθέσεις και αφαιρέσεις
Άρα και ΟΧΙ ! Αν θέλουμε να γίνει πρώτα η πρόσθεση, βάζουμε παρένθεση: .
Βάλε στους δύο δίσκους της ζυγαριάς την παράσταση υπολογισμένη με τη σωστή και με τη λάθος σειρά πράξεων — δες τη ζυγαριά να γέρνει και μάθε ότι η σειρά των πράξεων αλλάζει το αποτέλεσμα!
Αν πληκτρολογήσεις σε ένα απλό κομπιουτεράκι τσέπης, πολλά βγάζουν 20: κάνουν κάθε πράξη αμέσως, με τη σειρά που πατάς τα κουμπιά. Τα επιστημονικά κομπιουτεράκια ακολουθούν την προτεραιότητα και βγάζουν το σωστό 14. Άρα... σκέψου πριν πατήσεις!
Μέθοδος: Υπολογίζω μια αριθμητική παράσταση
- Υπολογίζω πρώτα ό,τι είναι μέσα στις παρενθέσεις.
- Κάνω πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις με τη σειρά που εμφανίζονται, από αριστερά προς τα δεξιά.
- Κάνω προσθέσεις και αφαιρέσεις, πάλι από αριστερά προς τα δεξιά.
- Γράφω κάθε βήμα σε νέα γραμμή και ξαναγράφω ό,τι δεν υπολόγισα ακόμα, για να μη χαθεί κανένας αριθμός.
Λυμένη άσκηση: Υπολόγισε την παράσταση .
Λύση:
- Παρένθεση:
- Πολλαπλασιασμός και διαίρεση:
- Αφαίρεση και πρόσθεση από αριστερά:
Απάντηση: . Πρόσεξε το τελευταίο βήμα: το κάνει 8 και όχι 2 — πάμε από αριστερά, δεν κάνουμε πρώτα την πρόσθεση!
Πόσο κάνει η παράσταση ;
Σύνθετα προβλήματα — βήμα βήμα
Στα προβλήματα με πολλές πράξεις δουλεύουμε με σχέδιο:
- Διαβάζω προσεκτικά: τι ξέρω, τι ζητάω;
- Σχεδιάζω τις πράξεις με τη σωστή σειρά
- Υπολογίζω — μπορώ να γράψω όλη τη λύση ως μία παράσταση
- Ελέγχω: είναι λογικό το αποτέλεσμα;
Ο υπολογιστής τσέπης βοηθά στις μεγάλες πράξεις, αλλά εμείς αποφασίζουμε ποιες πράξεις και με ποια σειρά — γι' αυτό η εκτίμηση με το μυαλό παραμένει το πιο δυνατό μας όπλο!
Λυμένο παράδειγμα: Ο κύριος Πέτρος αγόρασε 3 κιλά πορτοκάλια προς 2€ το κιλό και 2 κιλά μπανάνες προς € το κιλό. Πόσα πλήρωσε συνολικά;
Λύση: Γράφουμε όλο το πρόβλημα ως μία παράσταση: . Πρώτα οι πολλαπλασιασμοί: . Μετά η πρόσθεση: €. Λογικό αποτέλεσμα; Ναι — περίπου 10€ για 5 κιλά φρούτα!
Λυμένη άσκηση: Οι 24 μαθητές μιας τάξης πάνε θέατρο. Το εισιτήριο κοστίζει 6,50 € το άτομο και το λεωφορείο κοστίζει συνολικά 120 €, που μοιράζονται εξίσου. Πόσα πληρώνει κάθε μαθητής;
Λύση: Κάθε μαθητής πληρώνει το εισιτήριό του και το μερίδιό του από το λεωφορείο. Μία παράσταση: . Πρώτα η διαίρεση: . Μετά η πρόσθεση: €. Έλεγχος: όλη η τάξη πληρώνει €, και πράγματι ✓.
Απάντηση: 11,50 € κάθε μαθητής.
Η Ρένα αγόρασε 4 τετράδια των 2 € και ένα μολύβι του 1 €. Ποια παράσταση δίνει σωστά το συνολικό κόστος;
Στρογγυλοποίηση — οι αριθμοί «κουρεύονται»
Όταν δεν χρειαζόμαστε ακρίβεια, στρογγυλοποιούμε. Ο κανόνας:
- Βρίσκω το ψηφίο της θέσης στρογγυλοποίησης
- Κοιτάζω το επόμενο ψηφίο (δεξιά του)
- Αν είναι 0, 1, 2, 3, 4 → το ψηφίο μένει ίδιο. Αν είναι 5, 6, 7, 8, 9 → το ψηφίο αυξάνεται κατά 1
- Τα ψηφία δεξιά γίνονται μηδενικά (ή κόβονται στους δεκαδικούς)
Π.χ. το στην εκατοντάδα: κοιτάμε το 8 (δεκάδες) → . Το στο εκατοστό: κοιτάμε το 8 (χιλιοστά) → .
Λυμένο παράδειγμα: Ένα δημοτικό σχολείο έχει 297 μαθητές και πάνε εκδρομή με λεωφορεία των 50 θέσεων. Περίπου πόσοι είναι οι μαθητές, στρογγυλοποιημένοι στην εκατοντάδα; Πόσα λεωφορεία χρειάζονται;
Λύση: Το 297 στην εκατοντάδα: κοιτάμε τις δεκάδες (9 ≥ 5), άρα . Λεωφορεία: με υπόλοιπο 47, άρα χρειάζονται 6 λεωφορεία — στην πράξη στρογγυλοποιούμε προς τα πάνω, αλλιώς 47 παιδιά μένουν στο προαύλιο!
Λυμένη άσκηση: Στρογγυλοποίησε: α) το στη χιλιάδα, β) το στο δέκατο.
Λύση: α) Ψηφίο των χιλιάδων: 7. Επόμενο ψηφίο (εκατοντάδες): 5, άρα το 7 γίνεται 8 και τα ψηφία δεξιά γίνονται μηδενικά: . β) Ψηφίο των δεκάτων: 9. Επόμενο ψηφίο (εκατοστά): 6, άρα τα 9 δέκατα γίνονται 10 δέκατα, δηλαδή 1 ακόμα μονάδα: .
Απάντηση: α) , β) (κρατάμε το μηδενικό για να φαίνεται ότι στρογγυλοποιήσαμε στο δέκατο).
Πόσο κάνει η παράσταση ;
Το στρογγυλοποιημένο στο εκατοστό είναι:
Το στρογγυλοποιημένο στη χιλιάδα είναι:
Χωρίς παρενθέσεις, η παράσταση κάνει 19. Βάλε παρενθέσεις ώστε το αποτέλεσμα να γίνει α) 35, β) 16, γ) 24.
Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση
Πρώτα ελέγχουμε το 19: ✓
α)
β)
γ)
Απάντηση: Ίδιοι αριθμοί, ίδιες πράξεις — τέσσερα διαφορετικά αποτελέσματα (19, 35, 16, 24)! Γι' αυτό οι παρενθέσεις και η προτεραιότητα μετράνε τόσο.
Η σειρά των πράξεων είναι «Π – Π – Π»: Παρενθέσεις → Πολλαπλασιασμοί & διαιρέσεις → Προσθέσεις & αφαιρέσεις. Και για τη στρογγυλοποίηση: «5 και πάνω, ανεβαίνω»! Στην καθημερινή ζωή σκέψου ποια στρογγυλοποίηση βολεύει: για τα λεωφορεία της εκδρομής πάντα προς τα πάνω, για τα χρήματα που σου φτάνουν πάντα προς τα κάτω.
- Πράξεις από αριστερά χωρίς προτεραιότητα: το δεν κάνει 20 — πρώτα ο πολλαπλασιασμός.
- «Πρώτα ο πολλαπλασιασμός, μετά η διαίρεση»: λάθος! Είναι ισότιμοι και γίνονται με τη σειρά από αριστερά: .
- Στρογγυλοποίηση-αλυσίδα: για το στο δέκατο κοιτάμε μόνο το 4 των εκατοστών → , όχι .
- Χάνω τα μηδενικά: το στην εκατοντάδα είναι , όχι .
- Σειρά πράξεων: παρενθέσεις → πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις (από αριστερά) → προσθέσεις και αφαιρέσεις (από αριστερά)
- Σύνθετο πρόβλημα: διαβάζω, σχεδιάζω, γράφω μία παράσταση, υπολογίζω, ελέγχω
- Στρογγυλοποίηση: κοιτάζω μόνο το αμέσως επόμενο ψηφίο — 0 έως 4 μένει, 5 έως 9 ανεβαίνει
- Στην καθημερινή ζωή διαλέγω έξυπνα: λεωφορεία προς τα πάνω, χρήματα που μου φτάνουν προς τα κάτω