📐

Γωνίες, Περίμετρος & Εμβαδόν

Είδη γωνιών, τρίγωνα και πόσο χωράει ένα σχήμα

Γιατί με νοιάζει;

Θέλεις να βάλεις λαμπάκια γύρω-γύρω από το παράθυρό σου: πόσα μέτρα καλώδιο θα πάρεις; Θέλεις να βάψεις τον τοίχο: πόση μπογιά; Μοιάζουν ίδιες ερωτήσεις, αλλά θέλουν διαφορετικό υπολογισμό — περίμετρο και εμβαδόν. Και πριν απ' αυτά, οι γωνίες: γιατί ένα τρίγωνο δεν μπορεί ποτέ να έχει δύο ορθές;

Οι γωνίες είναι παντού! 👀

Άνοιξε ένα βιβλίο λίγο ή πολύ — μόλις έφτιαξες γωνίες! Η γωνία μετριέται σε μοίρες (°) με το μοιρογνωμόνιο και έχει τέσσερα βασικά είδη:

Ορθή: ακριβώς $90°$ — η γωνία του τετραδίου σου
Οξεία: μικρότερη από $90°$ — μυτερή σαν πιτσα-κομμάτι
Αμβλεία: μεγαλύτερη από $90°$ και μικρότερη από $180°$ — ανοιχτή αγκαλιά
Ευθεία: ακριβώς $180°$ — μια ίσια γραμμή!

Σύρε την πλευρά της γωνίας και δες τις μοίρες να αλλάζουν — θα ανακαλύψεις πού ακριβώς η οξεία γίνεται ορθή και μετά αμβλεία!

Τα τρίγωνα και το μυστικό των 180° 🔺

Τα τρίγωνα παίρνουν όνομα από τις πλευρές τους: ισόπλευρο (3 ίσες), ισοσκελές (2 ίσες), σκαληνό (καμία ίση). Και από τις γωνίες τους: ορθογώνιο (μία ορθή), οξυγώνιο (όλες οξείες), αμβλυγώνιο (μία αμβλεία).

Και το μεγάλο μυστικό: σε ΚΑΘΕ τρίγωνο, μικρό ή τεράστιο, οι τρεις γωνίες μαζί κάνουν πάντα $180°$ !

Γρήγορος έλεγχος

Ένα τρίγωνο έχει γωνίες $90°$ και $35°$ . Πόση είναι η τρίτη;

Παράδειγμα: Ένα τρίγωνο έχει γωνίες $50°$ και $60°$ . Βρες την τρίτη γωνία και το είδος του τριγώνου.

Λύση: $180° - 50° - 60° = 70°$ . Και οι τρεις γωνίες ( $50°$ , $60°$ , $70°$ ) είναι μικρότερες από $90°$ → οξυγώνιο.

Αν οι δύο γωνίες ήταν $30°$ και $45°$ , η τρίτη θα ήταν $180° - 75° = 105°$ — αμβλεία, άρα το τρίγωνο θα ήταν αμβλυγώνιο.

Γρήγορος έλεγχος

Ένα τρίγωνο έχει δύο γωνίες $40°$ και $30°$ . Τι είδους τρίγωνο είναι ως προς τις γωνίες;

Περίμετρος: η βόλτα γύρω-γύρω 🚶

Η περίμετρος είναι το συνολικό μήκος της «βόλτας» γύρω από ένα σχήμα — προσθέτεις απλώς όλες τις πλευρές!

Για ορθογώνιο με μήκος $8$ μ. και πλάτος $5$ μ.: $\Pi = 8 + 5 + 8 + 5 = 26$ μ. Για τετράγωνο με πλευρά $6$ μ.: $\Pi = 4 \times 6 = 24$ μ. Η περίμετρος μετριέται σε μέτρα (ή εκατοστά, χιλιόμετρα...), γιατί είναι μήκος!

Εμβαδόν: πόσο «χαλί» χρειάζεται; 🟦

Το εμβαδόν μετράει πόση επιφάνεια σκεπάζει το σχήμα — πόσα τετραγωνάκια του 1 μέτρου χωράνε μέσα. Γι' αυτό μετριέται σε τετραγωνικά μέτρα ( $\text{μ}^2$ )!

Τετράγωνο: πλευρά επί πλευρά → $E = \alpha \times \alpha$
Ορθογώνιο: μήκος επί πλάτος → $E = \mu \times \pi$
Ορθογώνιο τρίγωνο: το ΜΙΣΟ ορθογώνιο! Κόψε ένα ορθογώνιο διαγώνια και έχεις δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα → $E = \frac{\kappa_1 \times \kappa_2}{2}$

Ήξερες ότι;

Δύο σχήματα με ίδια περίμετρο μπορεί να έχουν πολύ διαφορετικό εμβαδόν! Με $20$ μ. φράχτη φτιάχνεις ένα στενό ορθογώνιο $9 \times 1$ μ., με εμβαδόν μόλις $9$ $\text{μ}^2$ . Ή ένα τετράγωνο $5 \times 5$ μ., με εμβαδόν $25$ $\text{μ}^2$ . Ίδιος φράχτης, σχεδόν τριπλάσιος κήπος!

$E_{\text{τετρ}} = \alpha \times \alpha \qquad E_{\text{ορθ}} = \mu \times \pi \qquad E_{\text{ορθ. τριγ}} = \frac{\kappa_1 \times \kappa_2}{2}$

Μέθοδος: περίμετρος ή εμβαδόν;

Διαβάζω τι ζητάει: φράχτης, κορνίζα, κορδέλα, γύρο → περίμετρος. Πλακάκια, χαλί, μπογιά, γρασίδι → εμβαδόν.
Φέρνω όλα τα μήκη στην ίδια μονάδα.
Εφαρμόζω τον σωστό τύπο.
Γράφω τη σωστή μονάδα: μ. για περίμετρο, $\text{μ}^2$ για εμβαδόν.

Παράδειγμα: Ο κήπος του σχολείου είναι ορθογώνιος, με μήκος $8$ μ. και πλάτος $5$ μ. Πόσος φράχτης χρειάζεται γύρω-γύρω και πόσο γρασίδι για να στρωθεί όλος;

Λύση:

Φράχτης = περίμετρος: $\Pi = 2 \times (8 + 5) = 2 \times 13 = 26$ μ.
Γρασίδι = εμβαδόν: $E = 8 \times 5 = 40$ $\text{μ}^2$

Δύο διαφορετικές ερωτήσεις, δύο διαφορετικά εργαλεία!

Λυμένη άσκηση: Ένας τετράγωνος κήπος έχει περίμετρο $36$ μ. Πόσο είναι το εμβαδόν του;

Λύση:

Το τετράγωνο έχει $4$ ίσες πλευρές: πλευρά $= 36 : 4 = 9$ μ.
Εμβαδόν: $E = 9 \times 9 = 81$ $\text{μ}^2$

Απάντηση: $81$ $\text{μ}^2$ . Εδώ χρειάστηκαν και τα δύο εργαλεία: από την περίμετρο βρήκαμε την πλευρά, από την πλευρά το εμβαδόν.

Λυμένη άσκηση: Ένα δωμάτιο $5$ μ. επί $4$ μ. θα στρωθεί με πλακάκια. Κάθε κούτα πλακάκια καλύπτει $2$ $\text{μ}^2$ και κοστίζει $15$ €. Πόσο θα κοστίσουν τα πλακάκια;

Λύση:

Εμβαδόν δωματίου: $5 \times 4 = 20$ $\text{μ}^2$
Κούτες: $20 : 2 = 10$
Κόστος: $10 \times 15 = 150$ €

Απάντηση: $150$ €.

Γρήγορος έλεγχος

Ορθογώνιο τρίγωνο έχει κάθετες πλευρές $6$ εκ. και $4$ εκ. Ποιο είναι το εμβαδόν του;

Γρήγορος έλεγχος

Ένα ορθογώνιο έχει μήκος $7$ εκ. και πλάτος $3$ εκ. Πόση είναι η περίμετρός του;

Γρήγορος έλεγχος

Ένα τετράγωνο έχει πλευρά $6$ μ. Ποιο είναι το εμβαδόν του;

Κόλπο μνήμης

Μπερδεύεις περίμετρο και εμβαδόν; Σκέψου τον κήπο: η περίμετρος είναι ο φράχτης (βόλτα γύρω-γύρω, σε μέτρα), το εμβαδόν είναι το γρασίδι (γέμισμα, σε τετραγωνικά μέτρα). Αν η απάντηση θέλει «τετραγωνικά», σίγουρα μιλάμε για εμβαδόν!

Πρόκληση

Έχεις ένα ορθογώνιο χαρτόνι $12$ εκ. επί $8$ εκ. Από μία γωνία του κόβεις ένα τετράγωνο με πλευρά $3$ εκ. Πόσο είναι το εμβαδόν του σχήματος που μένει; Και η περίμετρος — μίκρυνε;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Εμβαδόν: αρχικά $12 \times 8 = 96$ $\text{εκ.}^2$ . Έκοψα $3 \times 3 = 9$ $\text{εκ.}^2$ . Μένουν $96 - 9 = 87$ $\text{εκ.}^2$ .
Περίμετρος πριν: $12 + 8 + 12 + 8 = 40$ εκ.
Περίμετρος μετά: στη γωνία χάθηκαν δύο κομμάτια πλευρών των $3$ εκ. Εμφανίστηκαν όμως δύο νέες πλευρές των $3$ εκ., μέσα στην «εγκοπή». Χάθηκαν $6$ εκ., προστέθηκαν $6$ εκ.

Απάντηση: Εμβαδόν $87$ $\text{εκ.}^2$ , αλλά η περίμετρος μένει ίδια, $40$ εκ. Το εμβαδόν μίκρυνε, η περίμετρος όχι!

Συνηθισμένα λάθη

Μπερδεύω περίμετρο και εμβαδόν: φράχτης $=$ περίμετρος (μ.), γρασίδι $=$ εμβαδόν ( $\text{μ}^2$ ).
Περίμετρος ορθογωνίου με δύο πλευρές: $8 + 5 = 13$ είναι μόνο η μισή βόλτα· σωστά $2 \times (8 + 5) = 26$ μ.
Ξεχνάω το «διά 2» στο ορθογώνιο τρίγωνο: είναι το μισό ορθογώνιο.
Άθροισμα γωνιών: η τρίτη γωνία τριγώνου βγαίνει από το $180°$ , όχι από το $90°$ ή το $360°$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

Γωνίες: οξεία $< 90°$ , ορθή $= 90°$ , αμβλεία $> 90°$ , ευθεία $= 180°$
Σε κάθε τρίγωνο οι τρεις γωνίες κάνουν μαζί $180°$
Περίμετρος $=$ άθροισμα πλευρών (μ.)· ορθογώνιο: $2 \times (\mu + \pi)$ , τετράγωνο: $4 \times \alpha$
Εμβαδόν ( $\text{μ}^2$ ): τετράγωνο $\alpha \times \alpha$ , ορθογώνιο $\mu \times \pi$ , ορθογώνιο τρίγωνο $\frac{\kappa_1 \times \kappa_2}{2}$

Οι γωνίες είναι παντού! 👀

Ορθή: ακριβώς

90°

— η γωνία του τετραδίου σου

Οξεία: μικρότερη από

90°

— μυτερή σαν πιτσα-κομμάτι

Αμβλεία: μεγαλύτερη από

90°

και μικρότερη από

180°

— ανοιχτή αγκαλιά

Ευθεία: ακριβώς

180°

— μια ίσια γραμμή!