🍕

Κλάσματα

Ισοδύναμα, σύγκριση, πρόσθεση

Ποιο κομμάτι πίτσας είναι μεγαλύτερο;

Σου προσφέρουν το $\frac{1}{3}$ ή το $\frac{1}{4}$ μιας πίτσας. Το 4 είναι μεγαλύτερο από το 3... άρα διαλέγεις το $\frac{1}{4}$ ; Λάθος κίνηση — θα φας λιγότερο! Τα κλάσματα έχουν τη δική τους λογική. Μόλις την «πιάσεις», θα μοιράζεις πίτσες, σοκολάτες και χρόνο σαν επαγγελματίας.

Τι πλάσμα είναι αυτό το... κλάσμα;

Φαντάσου μια πίτσα κομμένη σε 8 ίσα κομμάτια. Αν φας τα 3, έφαγες τα $\frac{3}{8}$ της πίτσας!

Ο πάνω αριθμός λέγεται αριθμητής και μας λέει πόσα κομμάτια πήραμε. Ο κάτω λέγεται παρονομαστής και μας λέει σε πόσα ίσα κομμάτια κόψαμε το όλο.

Κλάσματα με τον ίδιο παρονομαστή λέγονται ομώνυμα (π.χ. $\frac{2}{5}$ και $\frac{4}{5}$ )
Κλάσματα με διαφορετικό παρονομαστή λέγονται ετερώνυμα (π.χ. $\frac{1}{2}$ και $\frac{1}{3}$ )

Ήξερες ότι;

Οι αρχαίοι Αιγύπτιοι, πριν από 3.500 χρόνια, έγραφαν σχεδόν κάθε κλάσμα ως άθροισμα κλασμάτων με αριθμητή 1. Για τα $\frac{3}{4}$ έγραφαν $\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$ ! Ο πάπυρος του Ριντ (Rhind), ένα «βιβλίο μαθηματικών» του 1550 π.Χ. περίπου, έχει ολόκληρους πίνακες με τέτοια αθροίσματα.

Ισοδύναμα κλάσματα — το ίδιο με άλλα λόγια!

Το μισό μιας σοκολάτας είναι το ίδιο είτε το πεις $\frac{1}{2}$ , είτε $\frac{2}{4}$ , είτε $\frac{4}{8}$ . Αυτά τα κλάσματα λέγονται ισοδύναμα: δείχνουν το ίδιο μέρος του όλου.

Φτιάχνουμε ισοδύναμα κλάσματα πολλαπλασιάζοντας ή διαιρώντας αριθμητή και παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό. Όταν διαιρούμε, λέμε ότι απλοποιούμε το κλάσμα.

Σύρε τον πολλαπλασιαστή και ανακάλυψε ότι οι δύο μπάρες χρωματίζουν πάντα ακριβώς το ίδιο κομμάτι — τα κλάσματα είναι ισοδύναμα!

$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6}$

Γρήγορος έλεγχος

Ποιο κλάσμα είναι ισοδύναμο με το $\frac{2}{3}$ ;

Σύγκριση κλασμάτων

Ομώνυμα: μεγαλύτερο είναι αυτό με τον μεγαλύτερο αριθμητή — $\frac{5}{8} > \frac{3}{8}$ , αφού 5 κομμάτια είναι πιο πολλά από 3!
Ίδιος αριθμητής: μεγαλύτερο είναι αυτό με τον μικρότερο παρονομαστή — $\frac{1}{3} > \frac{1}{5}$ , γιατί όσο πιο λίγα κομμάτια κόβεις την πίτσα, τόσο πιο μεγάλο είναι το καθένα!
Ετερώνυμα: τα κάνουμε πρώτα ομώνυμα με ισοδύναμα κλάσματα και μετά συγκρίνουμε

Πρόσθεση και αφαίρεση

Στα ομώνυμα είναι πανεύκολο: προσθέτουμε (ή αφαιρούμε) τους αριθμητές και κρατάμε τον ίδιο παρονομαστή. Στα ετερώνυμα τα μετατρέπουμε πρώτα σε ομώνυμα!

Μέθοδος: Συγκρίνω ή προσθέτω κλάσματα

Κοιτάζω τους παρονομαστές: είναι ίδιοι; Αν ναι, πάω κατευθείαν στο βήμα 4.
Αν όχι, βρίσκω έναν κοινό παρονομαστή — έναν αριθμό που είναι πολλαπλάσιο και των δύο (ο μικρότερος είναι το Ε.Κ.Π.).
Μετατρέπω κάθε κλάσμα σε ισοδύναμο με αυτόν τον παρονομαστή (ίδιος αριθμός πάνω και κάτω).
Συγκρίνω, προσθέτω ή αφαιρώ μόνο τους αριθμητές — ο παρονομαστής μένει ίδιος.
Αν γίνεται, απλοποιώ το αποτέλεσμα, ώσπου αριθμητής και παρονομαστής να μη διαιρούνται πια με τον ίδιο αριθμό (τότε το κλάσμα λέγεται ανάγωγο).

Λυμένο παράδειγμα: Ο Νίκος ήπιε το $\frac{1}{2}$ ενός χυμού και η Άννα το $\frac{1}{4}$ . Πόσο χυμό ήπιαν μαζί;

Λύση: Τα κλάσματα είναι ετερώνυμα, οπότε τα κάνουμε ομώνυμα: $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$ . Τώρα προσθέτουμε: $\frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ . Ήπιαν μαζί τα $\frac{3}{4}$ του χυμού — έμεινε μόνο το $\frac{1}{4}$ !

Λυμένη άσκηση: Η Ελένη έφαγε τα $\frac{3}{4}$ μιας πίτσας και ο Κώστας τα $\frac{5}{8}$ μιας ίδιας πίτσας. Ποιος έφαγε περισσότερο και πόσο;

Λύση: Τα κλάσματα είναι ετερώνυμα. Το 8 είναι πολλαπλάσιο του 4, άρα κοινός παρονομαστής είναι το 8: $\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{6}{8}$ . Τώρα συγκρίνουμε ομώνυμα: $\frac{6}{8} > \frac{5}{8}$ . Η διαφορά: $\frac{6}{8} - \frac{5}{8} = \frac{1}{8}$ .

Απάντηση: Η Ελένη έφαγε περισσότερο, κατά $\frac{1}{8}$ της πίτσας — ένα κομμάτι παραπάνω.

Λυμένη άσκηση: Η Δήμητρα είχε τα $\frac{5}{6}$ μιας σοκολάτας και έδωσε το $\frac{1}{3}$ της σοκολάτας στον αδερφό της. Πόση σοκολάτα της έμεινε;

Λύση: Κοινός παρονομαστής το 6 (το 6 είναι πολλαπλάσιο του 3): $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$ . Αφαιρούμε: $\frac{5}{6} - \frac{2}{6} = \frac{3}{6}$ . Απλοποιούμε διαιρώντας πάνω και κάτω με το 3: $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ .

Απάντηση: Της έμεινε η μισή σοκολάτα.

Γρήγορος έλεγχος

Ποιο κλάσμα είναι μεγαλύτερο: το $\frac{2}{3}$ ή το $\frac{3}{5}$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Αν απλοποιήσεις το $\frac{12}{18}$ όσο γίνεται, ποιο ανάγωγο κλάσμα βρίσκεις;

Γρήγορος έλεγχος

Πόσο κάνει $\frac{2}{5} + \frac{1}{5}$ ;

Πρόκληση

Βρες τρία κλάσματα που βρίσκονται ανάμεσα στο $\frac{1}{3}$ και στο $\frac{1}{2}$ .

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Κάνουμε τα δύο κλάσματα ομώνυμα: $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$ και $\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$ . Ανάμεσα στο 2 και στο 3 δεν «χωράει» φυσικός αριθμητής... Κανένα πρόβλημα: παίρνουμε ισοδύναμα κλάσματα με μεγαλύτερο παρονομαστή, πολλαπλασιάζοντας τους όρους με 4:

$\frac{1}{3} = \frac{8}{24} \qquad \frac{1}{2} = \frac{12}{24}$

Τώρα ανάμεσα στο 8 και στο 12 χωράνε τρεις αριθμητές: 9, 10 και 11.

Απάντηση: $\frac{9}{24}$ , $\frac{10}{24}$ και $\frac{11}{24}$ (απλοποιημένα: $\frac{3}{8}$ , $\frac{5}{12}$ , $\frac{11}{24}$ ). Με ακόμη μεγαλύτερο παρονομαστή βρίσκεις όσα θέλεις — ανάμεσα σε δύο κλάσματα υπάρχουν άπειρα κλάσματα!

Κόλπο μνήμης

Θυμήσου την πίτσα! 2 κομμάτια από τα 5 συν 1 κομμάτι από τα 5 κάνουν 3 κομμάτια από τα 5 — η πίτσα δεν κόπηκε ξανά, άρα ο παρονομαστής μένει ίδιος. Γι' αυτό δεν προσθέτουμε ποτέ τους παρονομαστές: $\frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$ .

Συνηθισμένα λάθη

«Το $\frac{1}{5}$ είναι μεγαλύτερο από το $\frac{1}{3}$ , γιατί $5 > 3$ ». Λάθος! Όσο περισσότερα τα κομμάτια, τόσο μικρότερο το καθένα. Με ίδιο αριθμητή κερδίζει ο μικρότερος παρονομαστής.
Προσθέτω τον ίδιο αριθμό πάνω και κάτω ( $\frac{2}{3} \to \frac{4}{5}$ ). Ισοδύναμα φτιάχνονται μόνο με πολλαπλασιασμό ή διαίρεση.
Αλλάζω μόνο τον παρονομαστή ( $\frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ ✗). Ό,τι κάνεις κάτω, το κάνεις και πάνω: $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$ .
Αφήνω το αποτέλεσμα χωρίς απλοποίηση ( $\frac{3}{6}$ αντί για $\frac{1}{2}$ ). Στο τέλος ρώτα: διαιρούνται και οι δύο με κάτι;

Σύνοψη — τι κρατάμε

Αριθμητής = πόσα κομμάτια πήραμε, παρονομαστής = σε πόσα ίσα κομμάτια κόψαμε το όλο
Ισοδύναμα: πολλαπλασιάζω ή διαιρώ πάνω και κάτω με τον ίδιο αριθμό — $\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$
Σύγκριση: στα ομώνυμα κερδίζει ο μεγαλύτερος αριθμητής· τα ετερώνυμα τα κάνω πρώτα ομώνυμα
Πρόσθεση/αφαίρεση: μόνο οι αριθμητές, με κοινό παρονομαστή
Στο τέλος απλοποιώ μέχρι το κλάσμα να γίνει ανάγωγο

Τι πλάσμα είναι αυτό το... κλάσμα;

Φαντάσου μια πίτσα κομμένη σε 8 ίσα κομμάτια. Αν φας τα 3, έφαγες τα

\frac{3}{8}

της πίτσας!

Κλάσματα με τον ίδιο παρονομαστή λέγονται ομώνυμα (π.χ.

\frac{2}{5}

και

\frac{4}{5}

)

Κλάσματα με διαφορετικό παρονομαστή λέγονται ετερώνυμα (π.χ.

\frac{1}{2}

και

\frac{1}{3}

)