🔢

Φυσικοί & Δεκαδικοί: Αξία θέσης

Αξία θέσης ψηφίων, σύγκριση, διάταξη

9,8 ή 9,75 — ποιος κέρδισε;

Στον αγώνα δρόμου του σχολείου ο Νίκος έτρεξε τα 60 m σε $9{,}8$ δευτερόλεπτα και η Άννα σε $9{,}75$ . Ποιος ήταν πιο γρήγορος; Αν σκέφτηκες «η Άννα έχει 75 κι ο Νίκος μόνο 8, άρα...» — στάσου! Η Άννα κέρδισε, γιατί $9{,}75 < 9{,}80$ . Σε αυτό το μάθημα μαθαίνεις να «διαβάζεις» κάθε ψηφίο από τη θέση του, ώστε να μη σε ξεγελά ποτέ κανένας αριθμός.

Κάθε ψηφίο έχει τη θέση του!

Οι φυσικοί αριθμοί είναι οι 0, 1, 2, 3, ... — οι αριθμοί με τους οποίους μετράμε. Η αξία κάθε ψηφίου εξαρτάται από τη θέση του: στον αριθμό 4.582 το 4 αξίζει 4 χιλιάδες, το 5 αξίζει 5 εκατοντάδες, το 8 αξίζει 8 δεκάδες και το 2 αξίζει 2 μονάδες.

Το ίδιο ισχύει και μετά την υποδιαστολή! Στον δεκαδικό $35{,}482$ :

το 4 είναι 4 δέκατα $\left(\frac{4}{10}\right)$
το 8 είναι 8 εκατοστά $\left(\frac{8}{100}\right)$
το 2 είναι 2 χιλιοστά $\left(\frac{2}{1000}\right)$

Άρα $35{,}482 = 35 + \frac{4}{10} + \frac{8}{100} + \frac{2}{1000}$ .

Κόλπο μνήμης

Οι θέσεις είναι σαν καθρέφτης με κέντρο τις μονάδες (όχι την υποδιαστολή!): δεκάδες ↔ δέκατα, εκατοντάδες ↔ εκατοστά, χιλιάδες ↔ χιλιοστά. Αν ξέρεις μια θέση αριστερά, ξέρεις και τη «δίδυμή» της δεξιά!

Μεγάλοι αριθμοί — εκατομμύρια και δισεκατομμύρια

Τους μεγάλους φυσικούς τους χωρίζουμε σε τριάδες ψηφίων από τα δεξιά: μονάδες, χιλιάδες, εκατομμύρια, δισεκατομμύρια. Κάθε τριάδα διαβάζεται σαν ένας μικρός τριψήφιος αριθμός, και μετά λέμε το όνομά της. Ο $3.407.250$ διαβάζεται: «τρία εκατομμύρια τετρακόσιες επτά χιλιάδες διακόσια πενήντα».

$1.000.000$ (ένα εκατομμύριο) $= 1000$ χιλιάδες
$1.000.000.000$ (ένα δισεκατομμύριο) $= 1000$ εκατομμύρια

Με την αξία θέσης αναλύουμε: $3.407.250 = 3 \cdot 1.000.000 + 4 \cdot 100.000 + 7 \cdot 1.000 + 2 \cdot 100 + 5 \cdot 10$ .

Ήξερες ότι;

Ο αριθμός $10^{100}$ — ένα 1 ακολουθούμενο από εκατό μηδενικά — λέγεται googol (γκούγκολ). Το όνομα το σκέφτηκε ένα εννιάχρονο παιδί, ο ανιψιός του Αμερικανού μαθηματικού Έντουαρντ Κάσνερ. Και η εταιρεία Google πήρε το όνομά της από αυτόν τον αριθμό, γραμμένο λίγο διαφορετικά!

Γρήγορος έλεγχος

Στον αριθμό $5.286.043$ , πόσο αξίζει το ψηφίο 2;

Κάνε ζουμ στην αριθμογραμμή και δες πώς κάθε θέση δεξιά από την υποδιαστολή αξίζει 10 φορές λιγότερο — έτσι καταλαβαίνεις γιατί το 4 στο 0,4 αξίζει πολύ περισσότερο από το 4 στο 0,04!

Πώς συγκρίνουμε αριθμούς

Φυσικοί: Όποιος έχει περισσότερα ψηφία είναι μεγαλύτερος ( $1.205 > 987$ ). Αν έχουν ίδιο πλήθος ψηφίων, συγκρίνουμε ψηφίο-ψηφίο από αριστερά: $3.642 > 3.589$ γιατί $6 > 5$ στις εκατοντάδες.

Δεκαδικοί: Πρώτα συγκρίνουμε το ακέραιο μέρος. Αν είναι ίδιο, συγκρίνουμε τα δέκατα, μετά τα εκατοστά κ.ο.κ.

⚠️ Μεγάλη παγίδα: Ο δεκαδικός με τα περισσότερα ψηφία ΔΕΝ είναι πάντα ο μεγαλύτερος! Τα μηδενικά στο τέλος δεν αλλάζουν τίποτα: $0{,}7 = 0{,}70$ . Συμπλήρωσε μηδενικά για να συγκρίνεις δίκαια.

Μέθοδος: Βάζω αριθμούς σε σειρά

Συμπληρώνω μηδενικά ώστε όλοι οι δεκαδικοί να έχουν το ίδιο πλήθος δεκαδικών ψηφίων.
Συγκρίνω τα ακέραια μέρη — όποιος έχει μεγαλύτερο ακέραιο μέρος είναι μεγαλύτερος.
Αν είναι ίδια, συγκρίνω ψηφίο-ψηφίο από αριστερά: δέκατα, μετά εκατοστά, μετά χιλιοστά.
Γράφω τη σειρά με $<$ (αύξουσα: από τον μικρότερο) ή με $>$ (φθίνουσα: από τον μεγαλύτερο).

$0{,}7 = 0{,}70 > 0{,}65$

Λυμένο παράδειγμα: Στους αγώνες άλματος η Μαρία πήδηξε $1{,}4$ m, ο Γιώργος $1{,}35$ m και η Ελένη $1{,}42$ m. Ποιος κέρδισε;

Λύση: Κάνουμε όλους τους αριθμούς να έχουν ίδια δεκαδικά ψηφία: $1{,}40$ , $1{,}35$ , $1{,}42$ . Ακέραιο μέρος ίδιο (1), άρα κοιτάμε τα δεκαδικά: $42 > 40 > 35$ . Νικήτρια η Ελένη με $1{,}42$ m, δεύτερη η Μαρία, τρίτος ο Γιώργος!

Λυμένη άσκηση: Γράψε σε αύξουσα σειρά τους αριθμούς $2{,}5$ , $2{,}05$ , $2{,}55$ και $2{,}505$ .

Λύση: Ο αριθμός με τα περισσότερα δεκαδικά έχει 3, οπότε τους κάνουμε όλους με 3 δεκαδικά ψηφία: $2{,}500$ , $2{,}050$ , $2{,}550$ , $2{,}505$ . Το ακέραιο μέρος είναι παντού 2, άρα συγκρίνουμε τα χιλιοστά: $50 < 500 < 505 < 550$ .

Απάντηση: $2{,}05 < 2{,}5 < 2{,}505 < 2{,}55$ .

Λυμένη άσκηση: Βρες έναν δεκαδικό αριθμό ανάμεσα στο $0{,}3$ και στο $0{,}4$ .

Λύση: Φαίνεται ότι δεν «χωράει» κανένας, αλλά αν γράψουμε $0{,}30$ και $0{,}40$ , ανάμεσά τους βρίσκονται οι $0{,}31$ , $0{,}32$ , ..., $0{,}39$ . Για παράδειγμα: $0{,}30 < 0{,}35 < 0{,}40$ ✓. Και αν θέλουμε κι άλλους, προσθέτουμε κι άλλο μηδενικό: ανάμεσα στο $0{,}30$ και στο $0{,}31$ βρίσκεται ο $0{,}305$ !

Απάντηση: Για παράδειγμα ο $0{,}35$ — στην πραγματικότητα υπάρχουν άπειροι.

Γρήγορος έλεγχος

Ποια σειρά είναι γραμμένη σωστά, από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο;

Γρήγορος έλεγχος

Στον αριθμό $35{,}482$ το ψηφίο 8 δείχνει:

Γρήγορος έλεγχος

Ποιος αριθμός είναι μεγαλύτερος: $0{,}7$ ή $0{,}65$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Πόσοι δεκαδικοί αριθμοί υπάρχουν ανάμεσα στο $1{,}2$ και στο $1{,}3$ ;

Πρόκληση

Έχεις τέσσερις κάρτες με τα ψηφία 3, 0, 7, 5 και μία κάρτα-υποδιαστολή. Χρησιμοποιείς και τις 4 κάρτες-ψηφία από μία φορά.

α) Φτιάξε τον μεγαλύτερο αριθμό που είναι μικρότερος από 1.

β) Φτιάξε τον μικρότερο αριθμό που είναι μεγαλύτερος από 1.

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

α) Για να είναι μικρότερος από 1, ο αριθμός πρέπει να έχει ακέραιο μέρος 0. Τα άλλα τρία ψηφία μπαίνουν μετά την υποδιαστολή από το μεγαλύτερο στο μικρότερο, ώστε τα δέκατα να είναι όσο γίνεται μεγαλύτερα: $0{,}753$ .

β) Τώρα το ακέραιο μέρος δεν μπορεί να είναι 0 (ο αριθμός θα ήταν μικρότερος από 1). Διαλέγουμε το μικρότερο δυνατό: ένα μόνο ψηφίο, το 3 (με δύο ψηφία, π.χ. $30{,}57$ , θα ήταν πολύ μεγαλύτερος). Τα 0, 5, 7 μπαίνουν μετά την υποδιαστολή από το μικρότερο στο μεγαλύτερο: $3{,}057$ .

Απάντηση: α) $0{,}753$ β) $3{,}057$ — το μηδέν «κρύφτηκε» στα δέκατα για να μικρύνει τον αριθμό όσο γίνεται!

Όταν συγκρίνεις δεκαδικούς, συμπλήρωσε μηδενικά στο τέλος ώστε όλοι να έχουν ίδιο πλήθος δεκαδικών ψηφίων. Έτσι η σύγκριση γίνεται παιχνιδάκι: συγκρίνεις απλούς αριθμούς!

Συνηθισμένα λάθη

«Περισσότερα ψηφία = μεγαλύτερος»: $0{,}65 < 0{,}7$ ! Συμπλήρωσε μηδενικά ( $0{,}70$ ) πριν συγκρίνεις.
Μπέρδεμα θέσεων: στο $0{,}08$ το 8 είναι 8 εκατοστά, όχι 8 δέκατα — μέτρα τις θέσεις από την υποδιαστολή.
Ξεχασμένο μηδενικό: «τρεις χιλιάδες σαράντα επτά» γράφεται $3.047$ , όχι $347$ — οι εκατοντάδες είναι 0, αλλά η θέση τους υπάρχει!
Σύγκριση από δεξιά: συγκρίνουμε πάντα από το αριστερό ψηφίο, εκεί όπου η αξία είναι μεγαλύτερη.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Η αξία ενός ψηφίου εξαρτάται από τη θέση του — κάθε θέση αξίζει 10 φορές περισσότερο από τη θέση στα δεξιά της
Μετά την υποδιαστολή: δέκατα $\left(\frac{1}{10}\right)$ , εκατοστά $\left(\frac{1}{100}\right)$ , χιλιοστά $\left(\frac{1}{1000}\right)$
Μεγάλοι αριθμοί: τριάδες μονάδων, χιλιάδων, εκατομμυρίων, δισεκατομμυρίων
Σύγκριση δεκαδικών: μηδενικά στο τέλος για ίσο πλήθος ψηφίων, μετά από αριστερά προς τα δεξιά
Ανάμεσα σε δύο δεκαδικούς υπάρχουν πάντα άλλοι — άπειροι!

Κάθε ψηφίο έχει τη θέση του!

Το ίδιο ισχύει και μετά την υποδιαστολή! Στον δεκαδικό

35{,}482

το 4 είναι 4 δέκατα

\left(\frac{4}{10}\right)

το 8 είναι 8 εκατοστά

\left(\frac{8}{100}\right)

το 2 είναι 2 χιλιοστά

\left(\frac{2}{1000}\right)

Άρα

35{,}482 = 35 + \frac{4}{10} + \frac{8}{100} + \frac{2}{1000}