📐

Πολύγωνα & Μονάδες Επιφάνειας

Περίμετρος πολυγώνων, m² ↔ cm², στρέμμα

Πόσο μεγάλο είναι ένα «στρέμμα»;

Ο παππούς λέει ότι το χωράφι του είναι 3 στρέμματα. Θα χωρούσε μέσα ένα γήπεδο ποδοσφαίρου; (Σπόιλερ: όχι — ένα γήπεδο $105 \, m$ επί $68 \, m$ είναι πάνω από 7 στρέμματα!) Κι όταν στρώνετε το μπάνιο με πλακάκια, πόσα θα χρειαστούν; Εδώ γνωρίζεις τα πολύγωνα, την περίμετρό τους και τις μονάδες επιφάνειας — από το $cm^2$ ως το στρέμμα.

Τα πολύγωνα — μια μεγάλη οικογένεια

Πολύγωνο είναι κάθε κλειστό σχήμα που φτιάχνεται μόνο από ευθύγραμμα τμήματα — τις πλευρές του. Παίρνει το όνομά του από το πλήθος των πλευρών: τρίγωνο, τετράπλευρο, πεντάγωνο, εξάγωνο, οκτάγωνο...

Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό όταν έχει όλες τις πλευρές ίσες και όλες τις γωνίες ίσες — όπως το ισόπλευρο τρίγωνο, το τετράγωνο και το κανονικό εξάγωνο της κερήθρας!

Η περίμετρος κάθε πολυγώνου είναι το συνολικό μήκος του «φράχτη» του: το άθροισμα όλων των πλευρών. Στο ορθογώνιο τη βρήκες ως $2 \cdot (\mu + \pi)$ — αυτό είναι απλώς το άθροισμα των 4 πλευρών γραμμένο έξυπνα! Στα κανονικά πολύγωνα υπάρχει αντίστοιχη συντόμευση: αφού όλες οι πλευρές είναι ίσες, πολλαπλασιάζεις.

Ήξερες ότι;

Μόνο τρία κανονικά πολύγωνα στρώνουν ένα πάτωμα χωρίς κενά: το ισόπλευρο τρίγωνο, το τετράγωνο και το κανονικό εξάγωνο. Από αυτά, το εξάγωνο χωρίζει μια επιφάνεια σε ίσα κελιά με τη μικρότερη περίμετρο — δηλαδή με το λιγότερο κερί. Οι μέλισσες το «ξέρουν» από πάντα· οι μαθηματικοί το απέδειξαν μόλις το 1999!

$\Pi = \text{άθροισμα όλων των πλευρών} \qquad \Pi_{\text{κανονικού}} = \text{πλήθος πλευρών} \cdot \text{πλευρά}$

Λυμένο παράδειγμα: Ένα οικόπεδο έχει σχήμα πενταγώνου με πλευρές 12 m, 9 m, 15 m, 11 m και 13 m. Πόσα μέτρα συρματόπλεγμα χρειάζονται για να περιφραχτεί;

Λύση: $\Pi = 12 + 9 + 15 + 11 + 13 = 60 \, m$ . Κανένας τύπος-μαγεία: η περίμετρος είναι πάντα μια απλή πρόσθεση — αρκεί να μην ξεχάσεις καμία πλευρά!

Γρήγορος έλεγχος

Ένα κανονικό εξάγωνο έχει πλευρά 7 cm. Ποια είναι η περίμετρός του;

Λυμένη άσκηση: Ένα κανονικό οκτάγωνο έχει περίμετρο 96 cm. Πόση είναι η πλευρά του; Αν με το ίδιο σύρμα φτιάξουμε τετράγωνο, τι πλευρά θα έχει;

Λύση: Το οκτάγωνο έχει 8 ίσες πλευρές, άρα η πλευρά του είναι $96 : 8 = 12$ cm. Το τετράγωνο φτιάχνεται με το ίδιο σύρμα, άρα έχει την ίδια περίμετρο, 96 cm, και 4 ίσες πλευρές: $96 : 4 = 24$ cm.

Απάντηση: Πλευρά οκταγώνου 12 cm, πλευρά τετραγώνου 24 cm.

Οι μονάδες επιφάνειας — προσοχή, ανά 100!

Για τα εμβαδά χρησιμοποιούμε τετραγωνικές μονάδες: το τετραγωνικό μέτρο ( $m^2$ ) είναι ένα τετράγωνο με πλευρά 1 m.

Εδώ κρύβεται η μεγαλύτερη παγίδα της χρονιάς: ενώ το μήκος αλλάζει ανά 10, η επιφάνεια αλλάζει ανά 100! Γιατί; Ένα τετράγωνο με πλευρά 1 m έχει πλευρά 10 dm, άρα χωράει $10 \cdot 10 = 100$ τετραγωνάκια του 1 dm — η επιφάνεια έχει δύο διαστάσεις, οπότε το 10 μπαίνει δύο φορές.

$1 \, m^2 = 100 \, dm^2 = 10000 \, cm^2$
$1 \, km^2 = 1000000 \, m^2$
Στρέμμα: η ελληνική μονάδα για χωράφια και οικόπεδα — $1$ στρέμμα $= 1000 \, m^2$

$1 \, m^2 = 100 \, dm^2 = 10000 \, cm^2 \qquad 1 \, \text{στρέμμα} = 1000 \, m^2$

Κόλπο μνήμης

Στις μονάδες επιφάνειας το σκαλοπάτι είναι ×100, γιατί ένα τετράγωνο $1 \, m$ επί $1 \, m$ χωράει 10 σειρές των 10 τετραγωνάκια του $dm^2$ . Γενικά: μήκος ανά 10 → επιφάνεια ανά $10 \cdot 10 = 100$ → όγκος ανά $10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$ .

Μέθοδος: Μετατρέπω μονάδες επιφάνειας

Βρίσκω τα σκαλοπάτια: $m^2 \to dm^2 \to cm^2$ — κάθε σκαλοπάτι αξίζει 100.
Προς μικρότερη μονάδα πολλαπλασιάζω (με 100 για ένα σκαλοπάτι, με 10000 για δύο).
Προς μεγαλύτερη μονάδα διαιρώ με τον ίδιο αριθμό.
Η υποδιαστολή μετακινείται 2 θέσεις για κάθε σκαλοπάτι.
Στρέμματα: $m^2$ διά 1000 → στρέμματα, στρέμματα επί 1000 → $m^2$ .

Κάνε ζουμ μέσα στο τετραγωνικό μέτρο και δες το να σπάει σε 100 τετραγωνικά δεκατόμετρα, και το καθένα σε άλλα 100 τετραγωνικά εκατοστά — γι' αυτό η υποδιαστολή πηδάει δύο θέσεις σε κάθε σκαλοπάτι!

Λυμένη άσκηση: Ένα ορθογώνιο χωράφι έχει μήκος 80 m και πλάτος 50 m. Πόσα στρέμματα είναι;

Λύση: Εμβαδόν: $E = 80 \cdot 50 = 4000 \, m^2$ . Αφού 1 στρέμμα $= 1000 \, m^2$ : $4000 : 1000 = 4$ στρέμματα.

Απάντηση: 4 στρέμματα.

Λυμένη άσκηση: Ένα δωμάτιο 4 m επί 3 m στρώνεται με τετράγωνα πλακάκια πλευράς 20 cm. Πόσα πλακάκια χρειάζονται;

Λύση: Εμβαδόν δωματίου: $4 \cdot 3 = 12 \, m^2 = 12 \cdot 10000 = 120000 \, cm^2$ . Εμβαδόν πλακακιού: $20 \cdot 20 = 400 \, cm^2$ . Πλακάκια: $120000 : 400 = 300$ . Έλεγχος με μήκη: στα 4 m (400 cm) χωράνε $400 : 20 = 20$ πλακάκια και στα 3 m (300 cm) χωράνε $300 : 20 = 15$ , άρα $20 \cdot 15 = 300$ ✓.

Απάντηση: 300 πλακάκια.

Γρήγορος έλεγχος

Πόσα τετραγωνικά εκατοστά ( $cm^2$ ) είναι τα $3 \, m^2$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Ένα χωράφι έχει εμβαδόν 2,5 στρέμματα. Πόσα τετραγωνικά μέτρα είναι;

Γρήγορος έλεγχος

Πόσα $m^2$ είναι τα $5000 \, cm^2$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Ένα ορθογώνιο οικόπεδο έχει διαστάσεις 40 m και 25 m. Πόσα στρέμματα είναι;

Πρόκληση

Έχεις 24 m συρματόπλεγμα για να περιφράξεις έναν ορθογώνιο κήπο με πλευρές ακέραια μέτρα. Ποιες διαστάσεις δίνουν τον κήπο με το μεγαλύτερο εμβαδόν;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Περίμετρος 24 m, άρα μήκος + πλάτος $= 24 : 2 = 12$ m. Δοκιμάζουμε όλες τις περιπτώσεις:

$1 \cdot 11 = 11 \, m^2$
$2 \cdot 10 = 20 \, m^2$
$3 \cdot 9 = 27 \, m^2$
$4 \cdot 8 = 32 \, m^2$
$5 \cdot 7 = 35 \, m^2$
$6 \cdot 6 = 36 \, m^2$

Απάντηση: Το τετράγωνο 6 m επί 6 m, με εμβαδόν $36 \, m^2$ . Ίδιος φράχτης, αλλά από 11 έως 36 $m^2$ γρασίδι — η περίμετρος δεν καθορίζει το εμβαδόν!

Μην μπερδεύεις περίμετρο και εμβαδόν: η περίμετρος μετριέται σε m (ο φράχτης), το εμβαδόν σε m² (το γρασίδι). Αν στην απάντησή σου η μονάδα δεν ταιριάζει με την ερώτηση, κάτι πήγε στραβά!

Συνηθισμένα λάθη

Επιφάνεια ανά 10: $1 \, m^2$ δεν είναι $10 \, dm^2$ αλλά $100 \, dm^2$ , γιατί το 10 μπαίνει δύο φορές.
Στρέμμα $= 100 \, m^2$ : λάθος, είναι $1000 \, m^2$ .
Ξεχνάω μια πλευρά στην περίμετρο — μέτρα τις πλευρές πριν προσθέσεις.
Πλήθος πλευρών επί πλευρά σε μη κανονικό πολύγωνο: η συντόμευση ισχύει μόνο όταν όλες οι πλευρές είναι ίσες.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Πολύγωνο: κλειστό σχήμα από ευθύγραμμα τμήματα· κανονικό αν έχει όλες τις πλευρές και όλες τις γωνίες ίσες
Περίμετρος = άθροισμα πλευρών· στο κανονικό: πλήθος πλευρών $\cdot$ πλευρά
$1 \, m^2 = 100 \, dm^2 = 10000 \, cm^2$ — σκαλοπάτια ανά 100
$1$ στρέμμα $= 1000 \, m^2$ και $1 \, km^2 = 1000000 \, m^2$

Τα πολύγωνα — μια μεγάλη οικογένεια

Η περίμετρος κάθε πολυγώνου είναι το συνολικό μήκος του «φράχτη» του: το άθροισμα όλων των πλευρών. Στο ορθογώνιο τη βρήκες ως

2 \cdot (\mu + \pi)

— αυτό είναι απλώς το άθροισμα των 4 πλευρών γραμμένο έξυπνα! Στα κανονικά πολύγωνα υπάρχει αντίστοιχη συντόμευση: αφού όλες οι πλευρές είναι ίσες, πολλαπλασιάζεις.