Διαιρετότητα & Δυνάμεις
Κριτήρια, Μ.Κ.Δ. – Ε.Κ.Π., δυνάμεις του 10
Έχεις 24 καραμέλες και 36 σοκολατάκια για το πάρτι σου και θες να φτιάξεις ίδια σακουλάκια χωρίς να περισσέψει τίποτα. Πόσα σακουλάκια το πολύ; Κι αν ο Άρης πηγαίνει στο κολυμβητήριο κάθε 4 μέρες και η Ιωάννα κάθε 6, πότε θα ξανασυναντηθούν; Διαιρέτες και πολλαπλάσια απαντούν σε τέτοια ερωτήματα στο πι και φι.
Διαιρέτες και πολλαπλάσια
Ο αριθμός 12 μοιράζεται ακριβώς (χωρίς υπόλοιπο) στους 1, 2, 3, 4, 6 και 12 — αυτοί είναι οι διαιρέτες του. Αντίστροφα, τα πολλαπλάσια του 4 είναι οι αριθμοί 4, 8, 12, 16, 20, ... — η προπαίδειά του που δεν τελειώνει ποτέ!
Λέμε ότι ένας αριθμός διαιρείται με έναν άλλον όταν η διαίρεση είναι τέλεια, με υπόλοιπο 0.
Κριτήρια διαιρετότητας — ντετέκτιβ χωρίς διαίρεση!
Μπορείς να καταλάβεις αν ένας αριθμός διαιρείται, μόνο κοιτώντας τον:
- Με το 2: αν τελειώνει σε 0, 2, 4, 6, 8 (ζυγός)
- Με το 5: αν τελειώνει σε 0 ή 5
- Με το 10: αν τελειώνει σε 0
- Με το 3: αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 3
- Με το 9: αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 9
- Με το 4 ή το 25: αν το διψήφιο τέλος του (τα δύο τελευταία ψηφία) διαιρείται με το 4 ή το 25
Διάλεξε έναν διαιρέτη και δες τα πολλαπλάσιά του να ανάβουν στο πλέγμα — ανακάλυψε τα κρυφά μοτίβα: στήλες για το 2 και το 5, διαγώνιες για το 3 και το 9!
Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς διαιρείται ακριβώς με το 9;
Πρώτοι αριθμοί και παραγοντοποίηση
Πρώτος λέγεται ο αριθμός που έχει ακριβώς δύο διαιρέτες: το 1 και τον εαυτό του. Οι πρώτοι κάτω από το 20: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Όσοι έχουν περισσότερους διαιρέτες λέγονται σύνθετοι (το 1 δεν είναι ούτε πρώτος ούτε σύνθετος!).
Κάθε σύνθετος αριθμός παραγοντοποιείται — σπάει σε γινόμενο πρώτων, σαν να σπας ένα Lego στα μικρότερα τουβλάκια του:
Λυμένη άσκηση: Ανάλυσε το 60 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.
Λύση: Διαιρούμε διαδοχικά με τον μικρότερο πρώτο που «χωράει» ακριβώς:
Οι διαιρέτες που χρησιμοποιήσαμε είναι οι πρώτοι παράγοντες: . Έλεγχος: ✓.
Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς είναι πρώτος;
Μ.Κ.Δ. και Ε.Κ.Π.
- Ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) δύο αριθμών είναι ο μεγαλύτερος αριθμός που τους διαιρεί και τους δύο. Διαιρέτες του 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Διαιρέτες του 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Κοινοί: 1, 2, 3, 6 → Μ.Κ.Δ.(12, 18) = 6
- Το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) είναι το μικρότερο μη μηδενικό κοινό πολλαπλάσιό τους. Πολλαπλάσια του 4: 4, 8, 12, 16... Πολλαπλάσια του 6: 6, 12, 18... → Ε.Κ.Π.(4, 6) = 12
Ο Μ.Κ.Δ. βοηθά στην απλοποίηση κλασμάτων, το Ε.Κ.Π. στο να κάνεις ετερώνυμα κλάσματα ομώνυμα!
Μέθοδος: Μ.Κ.Δ. ή Ε.Κ.Π. στο πρόβλημα;
- Διαβάζω τι ζητάει: «μοιράζω σε ίσες ομάδες, όσο γίνεται μεγαλύτερες ή όσο γίνεται περισσότερες, χωρίς να περισσέψει τίποτα» → Μ.Κ.Δ. «Πότε θα ξανασυναντηθούν, πότε θα συμπέσουν ξανά» → Ε.Κ.Π.
- Γράφω τους διαιρέτες (για Μ.Κ.Δ.) ή τα πρώτα πολλαπλάσια (για Ε.Κ.Π.) κάθε αριθμού.
- Κυκλώνω τα κοινά και διαλέγω τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη ή το μικρότερο κοινό πολλαπλάσιο.
- Ελέγχω: ο Μ.Κ.Δ. διαιρεί ακριβώς κάθε αριθμό· το Ε.Κ.Π. διαιρείται ακριβώς με κάθε αριθμό.
Στις ΗΠΑ ζουν τζιτζίκια που περνούν σχεδόν όλη τη ζωή τους κάτω από τη γη και βγαίνουν μαζικά μόνο κάθε 13 ή κάθε 17 χρόνια — δύο πρώτοι αριθμοί! Δύο γειτονικές ομάδες, μία «13χρονη» και μία «17χρονη», βγαίνουν μαζί μόνο κάθε Ε.Κ.Π. χρόνια. Αυτό έγινε το 2024 — για πρώτη φορά από το 1803!
Λυμένο παράδειγμα: Από μια στάση περνά το μπλε λεωφορείο κάθε 6 λεπτά και το πράσινο κάθε 8 λεπτά. Αν πέρασαν μαζί στις 9:00, πότε θα ξανασυναντηθούν;
Λύση: Ψάχνουμε το Ε.Κ.Π.(6, 8). Πολλαπλάσια του 6: 6, 12, 18, 24, 30... Πολλαπλάσια του 8: 8, 16, 24, 32... Το μικρότερο κοινό είναι το 24. Άρα θα ξανασυναντηθούν σε 24 λεπτά, στις 9:24!
Λυμένη άσκηση: Η δασκάλα έχει 24 μολύβια και 36 γόμες. Θέλει να φτιάξει όσο γίνεται περισσότερα ίδια πακετάκια, χωρίς να περισσέψει τίποτα. Πόσα πακετάκια θα φτιάξει και τι θα έχει το καθένα;
Λύση: Το πλήθος των πακέτων πρέπει να διαιρεί και το 24 και το 36, άρα ψάχνουμε τον Μ.Κ.Δ.(24, 36). Διαιρέτες του 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Διαιρέτες του 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Ο μεγαλύτερος κοινός είναι το 12. Κάθε πακέτο: μολύβια και γόμες.
Απάντηση: 12 πακετάκια, με 2 μολύβια και 3 γόμες το καθένα.
Ποιος είναι ο Μ.Κ.Δ.(16, 24);
Δυνάμεις — ο πολλαπλασιασμός με τουρμπίνα
Η δύναμη είναι ένας συντομότερος τρόπος να γράψεις . Το 5 λέγεται βάση και το 3 εκθέτης — μετράει πόσες φορές πολλαπλασιάζουμε τη βάση με τον εαυτό της.
Οι δυνάμεις του 10 είναι οι πιο βολικές: , , . Ο εκθέτης σου λέει πόσα μηδενικά να γράψεις μετά το 1! Έτσι αναλύουμε μεγάλους αριθμούς: .
Λυμένη άσκηση: α) Υπολόγισε τα και . β) Γράψε τον αριθμό με δυνάμεις του 10.
Λύση: α) και — αν αλλάξουν θέση βάση και εκθέτης, αλλάζει και το αποτέλεσμα! β) .
Πόσο κάνει ;
Ο αριθμός είναι ίσος με:
Η γιαγιά μετράει τα αυγά του κοτετσιού. Αν τα βάζει ανά 2, ανά 3, ανά 4, ανά 5 ή ανά 6, περισσεύει πάντα 1. Αν όμως τα βάζει ανά 7, δεν περισσεύει κανένα. Πόσα αυγά έχει, το λιγότερο;
Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση
Βήμα 1: Αν βγάλουμε το 1 αυγό που περισσεύει, τα υπόλοιπα μοιράζονται ακριβώς ανά 2, 3, 4, 5 και 6. Άρα είναι κοινό πολλαπλάσιο των 2, 3, 4, 5, 6.
Βήμα 2: Ε.Κ.Π.: επειδή και , το Ε.Κ.Π. είναι . Τα κοινά πολλαπλάσια είναι 60, 120, 180, 240, 300, ... και τα αυγά μπορεί να είναι 61, 121, 181, 241, 301, ...
Βήμα 3: Ψάχνουμε το πρώτο που διαιρείται με το 7:
- , υπόλοιπο 5
- , υπόλοιπο 2
- , υπόλοιπο 6
- , υπόλοιπο 3
- , υπόλοιπο 0 ✓
Απάντηση: Η γιαγιά έχει τουλάχιστον 301 αυγά — πολύ κοτέτσι!
Μπέρδεμα Μ.Κ.Δ. με Ε.Κ.Π.; Θυμήσου: ο Διαιρέτης είναι πάντα μικρότερος ή ίσος από τους αριθμούς (τους «χωράει»), ενώ το Πολλαπλάσιο πάντα μεγαλύτερο ή ίσο (τους «περιέχει»). Αν το αποτέλεσμά σου βγει ανάποδα, κάτι πήγε στραβά!
- : ο εκθέτης δείχνει πόσες φορές πολλαπλασιάζω τη βάση με τον εαυτό της: .
- Κριτήριο του 3 με το τελευταίο ψηφίο: το 23 τελειώνει σε 3 αλλά ΔΕΝ διαιρείται με το 3. Κοιτάμε το άθροισμα των ψηφίων ().
- Το 1 είναι πρώτος: όχι — έχει μόνο έναν διαιρέτη. Και το 2 είναι ο μόνος ζυγός πρώτος!
- Ε.Κ.Π. = πάντα το γινόμενο: το είναι κοινό πολλαπλάσιο, αλλά το ελάχιστο είναι το 12.
- Κριτήρια: 2 (ζυγός), 5 (τελειώνει σε 0 ή 5), 10 (σε 0), 3 και 9 (άθροισμα ψηφίων), 4 και 25 (τα δύο τελευταία ψηφία)
- Πρώτος: ακριβώς δύο διαιρέτες, το 1 και τον εαυτό του· κάθε σύνθετος γράφεται ως γινόμενο πρώτων
- Μ.Κ.Δ. για μοιρασιές σε ίσες ομάδες, Ε.Κ.Π. για το «πότε ξανά μαζί» και για κοινό παρονομαστή
- Δύναμη : το πολλαπλασιασμένο φορές με τον εαυτό του — το είναι 1 με μηδενικά