🥫

Όγκος Κυλίνδρου

Εμβαδό βάσης επί ύψος

Χωράει ο χυμός στο ποτήρι;

Έχεις ένα μπουκάλι με μισό λίτρο χυμό και ένα ψηλό κυλινδρικό ποτήρι. Θα ξεχειλίσει ή όχι; Δεν χρειάζεται να το δοκιμάσεις και να λερώσεις το τραπέζι — αρκεί ένας τύπος. Εδώ μαθαίνεις να υπολογίζεις τον όγκο κάθε κυλίνδρου: κονσέρβας, ποτηριού, δεξαμενής.

Ο κύλινδρος — μια στοίβα από κύκλους

Κονσέρβα, ποτήρι, κορμός δέντρου: ο κύλινδρος είναι παντού! Έχει δύο βάσεις — δύο ίσους παράλληλους κυκλικούς δίσκους — και μια καμπύλη παράπλευρη επιφάνεια.

Για τον όγκο του ισχύει το ίδιο τρικ με τον όγκο του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου: φαντάσου τον σαν στοίβα από πανομοιότυπες φέτες. Κάθε φέτα έχει το σχήμα της βάσης, και όσο ψηλότερη η στοίβα, τόσο μεγαλύτερος ο όγκος. Άρα:

Όγκος = εμβαδό βάσης × ύψος

Η βάση εδώ είναι κύκλος, και το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου το ξέρεις ήδη: $\pi \cdot \rho^2$ . Βάλε τα δύο μαζί και γεννιέται ο τύπος του κυλίνδρου.

$V_{\text{κυλίνδρου}} = E_{\text{βάσης}} \cdot \upsilon = \pi \cdot \rho^2 \cdot \upsilon$

Ήξερες ότι;

Ο Αρχιμήδης ανακάλυψε ότι μια σφαίρα που χωράει ακριβώς μέσα σε έναν κύλινδρο (αγγίζει πάτο, καπάκι και τοιχώματα) έχει όγκο ακριβώς τα $\frac{2}{3}$ του όγκου του κυλίνδρου. Ήταν τόσο περήφανος γι' αυτό, που —σύμφωνα με τον Ρωμαίο Κικέρωνα— στον τάφο του χαράχτηκε μια σφαίρα μέσα σε κύλινδρο.

Μέθοδος: Βρίσκω τον όγκο κυλίνδρου

Βρίσκω την ακτίνα — αν δίνεται η διάμετρος, τη διαιρώ με το 2.
Εμβαδό βάσης: $\pi \cdot \rho \cdot \rho$ (σε $cm^2$ ).
Επί το ύψος: $V = E_{\text{βάσης}} \cdot \upsilon$ (σε $cm^3$ ).
Σε λίτρα, αν ζητείται: $1000 \, cm^3 = 1$ λίτρο και $1 \, m^3 = 1000$ λίτρα.

Κόλπο μνήμης

Μια πίτσα είναι ένας πολύ κοντός κύλινδρος! Αν έχει ακτίνα $z$ και πάχος $a$ , ο όγκος της είναι $\pi \cdot z \cdot z \cdot a$ — διάβασέ το: pizza! Βάση (κύκλος) επί ύψος (πάχος).

Γέμισε το στερεό στρώση-στρώση και δες τον όγκο να μεγαλώνει: κάθε στρώση προσθέτει ένα «εμβαδό βάσης» — γι' αυτό όγκος = βάση επί ύψος, είτε το στερεό είναι κουτί είτε κύλινδρος!

Λυμένο παράδειγμα: Μια κονσέρβα έχει ακτίνα βάσης 3 cm και ύψος 10 cm. Πόσος είναι ο όγκος της; (π ≈ 3,14)

Λύση: Πρώτα η βάση: $E = \pi \cdot \rho^2 = 3{,}14 \cdot 3 \cdot 3 = 28{,}26 \, cm^2$ . Μετά ο όγκος: $V = 28{,}26 \cdot 10 = 282{,}6 \, cm^3$ . Και επειδή $1 \, cm^3 = 1 \, mL$ , η κονσέρβα χωράει περίπου 282,6 mL — κοντά στο κουτάκι αναψυκτικού των 330 mL!

Λυμένη άσκηση: Ένα κυλινδρικό ποτήρι έχει διάμετρο 8 cm και ύψος 10 cm. Χωράει μισό λίτρο χυμό; ( $\pi \approx 3{,}14$ )

Λύση: Ακτίνα: $8 : 2 = 4$ cm. Βάση: $3{,}14 \cdot 4 \cdot 4 = 3{,}14 \cdot 16 = 50{,}24 \, cm^2$ . Όγκος: $50{,}24 \cdot 10 = 502{,}4 \, cm^3 = 502{,}4 \, mL$ . Το μισό λίτρο είναι $500 \, mL$ .

Απάντηση: Ναι, χωράει — ίσα-ίσα, αφού $502{,}4 > 500$ .

Λυμένη άσκηση: Μια κυλινδρική δεξαμενή νερού έχει ακτίνα βάσης 1 m και ύψος 2 m. Πόσα λίτρα νερό χωράει; ( $\pi \approx 3{,}14$ )

Λύση: $V = \pi \cdot \rho^2 \cdot \upsilon = 3{,}14 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 2 = 6{,}28 \, m^3$ . Κάθε $m^3$ είναι 1000 λίτρα, άρα $6{,}28 \cdot 1000 = 6280$ λίτρα.

Απάντηση: 6280 λίτρα.

Γρήγορος έλεγχος

Ένας κύλινδρος έχει ακτίνα βάσης 2 cm και ύψος 10 cm. Ποιος είναι ο όγκος του; (π ≈ 3,14)

Γρήγορος έλεγχος

Η βάση ενός κυλίνδρου έχει εμβαδόν $50 \, cm^2$ και το ύψος του είναι 6 cm. Ποιος είναι ο όγκος του;

Γρήγορος έλεγχος

Ένας κύλινδρος έχει διάμετρο 6 cm και ύψος 5 cm. Ποιος είναι ο όγκος του; ( $\pi \approx 3{,}14$ )

Γρήγορος έλεγχος

Ένας κύλινδρος έχει ακτίνα 10 cm και ύψος 20 cm. Πόσα λίτρα χωράει; ( $\pi \approx 3{,}14$ )

Πρόκληση

Το ποτήρι Α έχει διάμετρο 6 cm και ύψος 12 cm (ψηλό και στενό). Το ποτήρι Β έχει διάμετρο 12 cm και ύψος 6 cm (κοντό και φαρδύ). Ποιο χωράει περισσότερο; Μάντεψε πρώτα! ( $\pi \approx 3{,}14$ )

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Α: $\rho = 6 : 2 = 3$ cm. $V = 3{,}14 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 12 = 3{,}14 \cdot 108 = 339{,}12 \, cm^3$ .
Β: $\rho = 12 : 2 = 6$ cm. $V = 3{,}14 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 3{,}14 \cdot 216 = 678{,}24 \, cm^3$ .

Γιατί; Διπλάσια ακτίνα σημαίνει τετραπλάσιο εμβαδόν βάσης (η ακτίνα μπαίνει δύο φορές: $\rho \cdot \rho$ ). Το μισό ύψος το μισεύει, άρα συνολικά $4 : 2 = 2$ φορές περισσότερο.

Απάντηση: Το κοντό Β χωράει διπλάσιο χυμό ( $678{,}24$ έναντι $339{,}12 \, cm^3$ ). Το ύψος ξεγελά το μάτι!

Η πιο ύπουλη παγίδα: η άσκηση δίνει τη διάμετρο αντί για την ακτίνα! Αν το ποτήρι έχει διάμετρο 8 cm, η ακτίνα είναι $8 : 2 = 4$ cm — πάντα κόψε τη διάμετρο στη μέση πριν τη βάλεις στον τύπο.

Συνηθισμένα λάθη

Διάμετρος αντί για ακτίνα: πάντα κόβω τη διάμετρο στη μέση πριν τη βάλω στον τύπο.
$\rho^2 = \rho \cdot 2$ : λάθος — $\rho^2 = \rho \cdot \rho$ .
Σταματάω στο εμβαδό της βάσης: αυτό είναι σε $cm^2$ · ο όγκος θέλει και επί το ύψος.
Λάθος μετατροπή σε λίτρα: $1000 \, cm^3 = 1$ λίτρο, όχι 100.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Κύλινδρος: δύο ίσες κυκλικές βάσεις και μια καμπύλη παράπλευρη επιφάνεια
Όγκος = εμβαδό βάσης $\cdot$ ύψος: $V = \pi \cdot \rho^2 \cdot \upsilon$
Αν δίνεται η διάμετρος: $\rho = \delta : 2$
$1 \, cm^3 = 1 \, mL$ , $1000 \, cm^3 = 1$ λίτρο, $1 \, m^3 = 1000$ λίτρα

Ο κύλινδρος — μια στοίβα από κύκλους

Όγκος = εμβαδό βάσης × ύψος

Η βάση εδώ είναι κύκλος, και το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου το ξέρεις ήδη:

\pi \cdot \rho^2

. Βάλε τα δύο μαζί και γεννιέται ο τύπος του κυλίνδρου.