🍫

Κλάσμα ως πηλίκο & πράξεις κλασμάτων

Διαίρεση ως κλάσμα, πολλαπλασιασμός & διαίρεση κλασμάτων

Πόσα κομματάκια βγάζει μισή σοκολάτα;

Έχεις μισή σοκολάτα και τη σπας σε κομματάκια που το καθένα είναι το $\frac{1}{8}$ ολόκληρης της σοκολάτας. Πόσα κομματάκια θα βγουν; Με το μυαλό το βρίσκεις: 4! Μόλις έκανες μια διαίρεση με κλάσμα, $\frac{1}{2} \div \frac{1}{8} = 4$ . Εδώ μαθαίνεις τον κανόνα που τη λύνει — ακόμη κι όταν οι αριθμοί δυσκολεύουν.

Το κλάσμα είναι μια... διαίρεση μεταμφιεσμένη!

Θέλουμε να μοιράσουμε 3 σοκολάτες σε 4 παιδιά. Η διαίρεση $3 \div 4$ δεν βγαίνει «τέλεια» με φυσικούς αριθμούς — αλλά βγαίνει ακριβώς με κλάσμα: κόβουμε κάθε σοκολάτα στα 4 και κάθε παιδί παίρνει 3 τέταρτα!

Κάθε κλάσμα είναι το ακριβές πηλίκο της διαίρεσης του αριθμητή με τον παρονομαστή:

Ήξερες ότι;

Η λέξη κλάσμα είναι αρχαία ελληνική και σημαίνει «κομμάτι από κάτι σπασμένο» — βγαίνει από το ρήμα κλάω (= σπάω, κόβω), όπως όταν κόβεις ένα ψωμί σε κομμάτια. Και η λέξη πηλίκο βγαίνει από το αρχαίο «πηλίκος», που σημαίνει «πόσο μεγάλος».

$\alpha \div \beta = \frac{\alpha}{\beta} \qquad 3 \div 4 = \frac{3}{4} = 0{,}75$

Όταν ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος

Αν μοιράσουμε 7 πίτσες σε 2 παιδιά, το καθένα παίρνει $7 : 2 = \frac{7}{2}$ πίτσες. Ένα κλάσμα με αριθμητή μεγαλύτερο από τον παρονομαστή είναι μεγαλύτερο από 1 και γράφεται και ως μεικτός αριθμός — ακέραιες μονάδες μαζί με ένα κλάσμα.

Κάνουμε τη διαίρεση: $7 : 2 = 3$ με υπόλοιπο 1. Το πηλίκο (3) δίνει τις ακέραιες μονάδες και το υπόλοιπο (1) τον νέο αριθμητή:

$\frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3{,}5$

Γρήγορος έλεγχος

Η διαίρεση $11 : 4$ γραμμένη ως μεικτός αριθμός είναι:

Πολλαπλασιασμός κλασμάτων — ο πιο εύκολος!

Πολλαπλασιάζουμε αριθμητή με αριθμητή και παρονομαστή με παρονομαστή — δεν χρειάζονται καν ομώνυμα:

$\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 5} = \frac{8}{15}$

Η λέξη-κλειδί στα προβλήματα είναι το «του»: «τα $\frac{2}{3}$ του $\frac{4}{5}$ » σημαίνει πολλαπλασιασμό! Και για το κλάσμα ενός αριθμού: τα $\frac{3}{4}$ του 20 είναι $\frac{3}{4} \cdot 20 = \frac{60}{4} = 15$ .

Σύρε τον πολλαπλασιαστή και δες τη μπάρα να κόβεται σε κομμάτια κομματιών — έτσι καταλαβαίνεις γιατί το «μισό του μισού» είναι τέταρτο και γιατί στον πολλαπλασιασμό κλασμάτων το αποτέλεσμα συχνά μικραίνει!

Διαίρεση κλασμάτων — αναποδογύρισε και πολλαπλασίασε!

Δύο κλάσματα λέγονται αντίστροφα όταν το γινόμενό τους είναι 1: το $\frac{3}{4}$ και το $\frac{4}{3}$ είναι αντίστροφα, γιατί $\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} = \frac{12}{12} = 1$ .

Για να διαιρέσουμε με ένα κλάσμα, πολλαπλασιάζουμε με το αντίστροφό του:

$\frac{\alpha}{\beta} \div \frac{\gamma}{\delta} = \frac{\alpha}{\beta} \cdot \frac{\delta}{\gamma}$

Κόλπο μνήμης

Διαίρεση κλασμάτων = Κ – Α – Α: Κρατάω το πρώτο, Αλλάζω το $\div$ σε $\cdot$ , Αναποδογυρίζω το δεύτερο. Π.χ. $\frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$ .

Μέθοδος: Πολλαπλασιάζω ή διαιρώ κλάσματα

Φυσικό αριθμό τον γράφω ως κλάσμα με παρονομαστή 1 ( $3 = \frac{3}{1}$ ) και μεικτό τον κάνω κλάσμα ( $2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ ).
Αν είναι διαίρεση, αναποδογυρίζω μόνο το δεύτερο κλάσμα και αλλάζω το $\div$ σε $\cdot$ .
Πολλαπλασιάζω αριθμητή με αριθμητή και παρονομαστή με παρονομαστή.
Απλοποιώ το αποτέλεσμα.
Έλεγχος λογικής: με κλάσμα μικρότερο από 1, ο πολλαπλασιασμός μικραίνει τον αριθμό και η διαίρεση τον μεγαλώνει.

Λυμένο παράδειγμα: Έχουμε 2 λίτρα πορτοκαλάδα και τη μοιράζουμε σε μπουκαλάκια του $\frac{1}{4}$ του λίτρου. Πόσα μπουκαλάκια θα γεμίσουμε;

Λύση: Ζητάμε πόσες φορές χωράει το $\frac{1}{4}$ στο 2, δηλαδή $2 \div \frac{1}{4}$ . Αναποδογυρίζουμε και πολλαπλασιάζουμε: $2 \cdot \frac{4}{1} = 8$ . Θα γεμίσουμε 8 μπουκαλάκια — λογικό, αφού κάθε λίτρο γεμίζει 4!

Λυμένο παράδειγμα: Η Κατερίνα διάβασε τα $\frac{2}{3}$ ενός βιβλίου 120 σελίδων. Πόσες σελίδες διάβασε;

Λύση: «Τα $\frac{2}{3}$ του 120» σημαίνει πολλαπλασιασμό: $\frac{2}{3} \cdot 120 = \frac{240}{3} = 80$ σελίδες. Της μένουν $120 - 80 = 40$ σελίδες — το $\frac{1}{3}$ του βιβλίου.

Λυμένη άσκηση: Ο Γιάννης είχε 60 €. Ξόδεψε τα $\frac{2}{5}$ σε βιβλία και μετά το $\frac{1}{4}$ των χρημάτων που του έμειναν στον κινηματογράφο. Πόσα χρήματα του έμειναν στο τέλος;

Λύση: Βιβλία: $\frac{2}{5} \cdot 60 = \frac{120}{5} = 24$ €. Έμειναν: $60 - 24 = 36$ €. Κινηματογράφος: $\frac{1}{4} \cdot 36 = 9$ € — προσοχή, το $\frac{1}{4}$ είναι του 36, όχι του 60! Έμειναν: $36 - 9 = 27$ €.

Απάντηση: Του έμειναν 27 €.

Λυμένη άσκηση: Έχουμε $\frac{3}{4}$ του λίτρου γάλα και γεμίζουμε ποτηράκια των $\frac{3}{8}$ του λίτρου. Πόσα ποτηράκια γεμίζουμε;

Λύση: Ζητάμε πόσες φορές χωράει το $\frac{3}{8}$ στο $\frac{3}{4}$ : $\frac{3}{4} \div \frac{3}{8} = \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{3} = \frac{24}{12} = 2$ . Έλεγχος: $\frac{3}{8} + \frac{3}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ ✓.

Απάντηση: 2 ποτηράκια.

Γρήγορος έλεγχος

Πόσο κάνει $\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5}$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Πόσο κάνει $\frac{1}{2} \div \frac{1}{4}$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Η διαίρεση $5 \div 8$ γράφεται ως κλάσμα:

Γρήγορος έλεγχος

Πόσο είναι τα $\frac{3}{5}$ του 40;

Γρήγορος έλεγχος

Πόσο κάνει $\frac{2}{3} \div 4$ ;

Πρόκληση

Η Ναταλία ξόδεψε το $\frac{1}{3}$ των χρημάτων της σε ένα βιβλίο. Μετά ξόδεψε τα $\frac{3}{4}$ όσων της έμειναν σε ένα επιτραπέζιο. Στο τέλος της έμειναν 5 €. Πόσα χρήματα είχε στην αρχή;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Μετά το βιβλίο έμειναν $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ των χρημάτων.
Από αυτά ξόδεψε τα $\frac{3}{4}$ , άρα κράτησε το $\frac{1}{4}$ τους: $\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$ των αρχικών χρημάτων.
Το $\frac{1}{6}$ είναι 5 €, άρα όλα τα χρήματα είναι $5 \cdot 6 = 30$ €.

Επαλήθευση: Βιβλίο: $\frac{1}{3} \cdot 30 = 10$ €, μένουν 20 €. Επιτραπέζιο: $\frac{3}{4} \cdot 20 = 15$ €, μένουν 5 € ✓

Απάντηση: Η Ναταλία είχε στην αρχή 30 €.

Μην ξαφνιάζεσαι αν η διαίρεση με κλάσμα δίνει μεγαλύτερο αποτέλεσμα: όταν μοιράζεις σε πολύ μικρά κομμάτια, χωράνε πολλά! Και θυμήσου: αναποδογυρίζουμε πάντα το δεύτερο κλάσμα, ποτέ το πρώτο.

Συνηθισμένα λάθη

Αναποδογυρίζω το πρώτο κλάσμα στη διαίρεση. Το πρώτο μένει ίδιο — αντιστρέφεται μόνο ο διαιρέτης.
Ζητάω ομώνυμα στον πολλαπλασιασμό: δεν χρειάζονται! Αριθμητής με αριθμητή, παρονομαστής με παρονομαστή.
Κλάσμα επί φυσικό: στο $\frac{3}{4} \cdot 20$ το 20 πολλαπλασιάζει μόνο τον αριθμητή ( $\frac{60}{4}$ ), όχι και τον παρονομαστή.
«Των υπολοίπων»: σε προβλήματα δύο βημάτων, το δεύτερο κλάσμα συχνά αφορά ό,τι έμεινε, όχι το αρχικό ποσό.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Κάθε κλάσμα είναι ακριβές πηλίκο: $\alpha \div \beta = \frac{\alpha}{\beta}$
Αριθμητής μεγαλύτερος από τον παρονομαστή → μεικτός αριθμός: $\frac{7}{2} = 3\frac{1}{2}$
Πολλαπλασιασμός: $\frac{\alpha}{\beta} \cdot \frac{\gamma}{\delta} = \frac{\alpha \cdot \gamma}{\beta \cdot \delta}$ — το «του» σημαίνει «επί»
Διαίρεση: πολλαπλασιάζω με το αντίστροφο του δεύτερου κλάσματος
Αντίστροφα κλάσματα έχουν γινόμενο 1, π.χ. $\frac{3}{4}$ και $\frac{4}{3}$

Το κλάσμα είναι μια... διαίρεση μεταμφιεσμένη!

Θέλουμε να μοιράσουμε 3 σοκολάτες σε 4 παιδιά. Η διαίρεση

3 \div 4

δεν βγαίνει «τέλεια» με φυσικούς αριθμούς — αλλά βγαίνει ακριβώς με κλάσμα: κόβουμε κάθε σοκολάτα στα 4 και κάθε παιδί παίρνει 3 τέταρτα!

Κάθε κλάσμα είναι το ακριβές πηλίκο της διαίρεσης του αριθμητή με τον παρονομαστή: