➕

Οι 4 πράξεις με δεκαδικούς

Πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός, διαίρεση

Σου έδωσαν σωστά ρέστα;

Στο κυλικείο παίρνεις ένα τοστ $1{,}80$ € και έναν χυμό $0{,}95$ €, και δίνεις 5 €. Παίρνεις πίσω $2{,}35$ €. Σωστά ή λάθος; Με δεκαδικούς υπολογίζεις κάθε μέρα — χρήματα, μέτρα, κιλά. Εδώ μαθαίνεις και τις 4 πράξεις χωρίς να «χάνεις» την υποδιαστολή. (Σπόιλερ: τα σωστά ρέστα είναι $2{,}25$ € — σου έδωσαν 10 λεπτά παραπάνω!)

Πρόσθεση και αφαίρεση — υποδιαστολή κάτω από υποδιαστολή!

Για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε δεκαδικούς, τους γράφουμε κάθετα έτσι ώστε οι υποδιαστολές να είναι ακριβώς η μία κάτω από την άλλη. Έτσι τα δέκατα προστίθενται με δέκατα, τα εκατοστά με εκατοστά!

Αν λείπουν ψηφία, συμπληρώνουμε μηδενικά: το $3{,}6$ γίνεται $3{,}60$ .

$3{,}60 + 2{,}75 = 6{,}35$

Η αφαίρεση είναι η αντίστροφη πράξη της πρόσθεσης — γι' αυτό την επαληθεύουμε με πρόσθεση: $6{,}35 - 2{,}75 = 3{,}60$ , γιατί $3{,}60 + 2{,}75 = 6{,}35$ . ✓

Ήξερες ότι;

Δεν γράφουν όλοι τους δεκαδικούς με κόμμα! Στην Ελλάδα και σε μεγάλο μέρος της Ευρώπης γράφουμε $3{,}5$ , ενώ στις ΗΠΑ και στη Βρετανία γράφουν 3.5 — με τελεία. Γι' αυτό το κομπιουτεράκι σου συχνά δείχνει τελεία στη θέση της υποδιαστολής.

Περπάτησε πάνω στην αριθμογραμμή: η πρόσθεση είναι βήματα προς τα δεξιά και η αφαίρεση προς τα αριστερά — δες ότι οι δύο πράξεις αναιρούν η μία την άλλη!

Πολλαπλασιασμός δεκαδικών

Πολλαπλασιάζουμε σαν να μην υπάρχει υποδιαστολή και στο τέλος βάζουμε στο γινόμενο τόσα δεκαδικά ψηφία όσα έχουν μαζί οι δύο παράγοντες.

Π.χ. $2{,}3 \cdot 1{,}2$ : κάνουμε $23 \cdot 12 = 276$ , και αφού οι παράγοντες έχουν συνολικά 2 δεκαδικά ψηφία, το αποτέλεσμα είναι $2{,}76$ .

Πολλαπλασιασμός με 10, 100, 1000: μετακινούμε την υποδιαστολή δεξιά τόσες θέσεις όσα τα μηδενικά:

$4{,}5 \cdot 10 = 45 \qquad 4{,}5 \cdot 100 = 450$

Διαίρεση

Σε κάθε διαίρεση ισχύει η βασική ταυτότητα που μας επιτρέπει και την επαλήθευση:

$\Delta = \delta \cdot \pi + \upsilon, \quad \upsilon < \delta$

Δηλαδή: Διαιρετέος = διαιρέτης × πηλίκο + υπόλοιπο. Π.χ. $17 = 5 \cdot 3 + 2$ .

Διαίρεση με 10, 100, 1000: μετακινούμε την υποδιαστολή αριστερά: $7{,}2 \div 100 = 0{,}072$ .

Όταν ο διαιρέτης είναι δεκαδικός, πολλαπλασιάζουμε διαιρετέο και διαιρέτη με 10 ή 100 ώστε ο διαιρέτης να γίνει φυσικός — το πηλίκο δεν αλλάζει:

$6{,}4 \div 0{,}2 = 64 \div 2 = 32$

Μέθοδος: Διαίρεση με δεκαδικούς

Κοιτάζω τον διαιρέτη: αν είναι δεκαδικός, μετράω τα δεκαδικά του ψηφία.
Πολλαπλασιάζω διαιρετέο και διαιρέτη με 10, 100 ή 1000, ώστε ο διαιρέτης να γίνει φυσικός (το πηλίκο δεν αλλάζει).
Κάνω τη διαίρεση. Αν δεν τελειώνει, βάζω υποδιαστολή στο πηλίκο και συνεχίζω κατεβάζοντας μηδενικά: $7 : 4 = 1{,}75$ .
Επαληθεύω με πολλαπλασιασμό: διαιρέτης · πηλίκο = διαιρετέος.

Κόλπο μνήμης

Στη διαίρεση με δεκαδικό, σκέψου λεπτά του ευρώ! Το $4{,}50 : 0{,}75$ είναι σαν να ρωτάς «πόσα κομμάτια των 75 λεπτών χωράνε στα 450 λεπτά;» — δηλαδή $450 : 75 = 6$ . Μετακινείς την υποδιαστολή ίδιες θέσεις και στους δύο αριθμούς, και το πηλίκο δεν αλλάζει.

Λυμένο παράδειγμα: Η μαμά αγόρασε $2{,}5$ κιλά μήλα προς $1{,}80$ € το κιλό και πλήρωσε με 10€. Πόσα ρέστα πήρε;

Λύση: Κόστος μήλων: $2{,}5 \cdot 1{,}80 = 4{,}50$ € (κάνουμε $25 \cdot 180 = 4500$ και βάζουμε 3 δεκαδικά ψηφία: $4{,}500 = 4{,}50$ ). Ρέστα: $10 - 4{,}50 = 5{,}50$ €. Επαλήθευση: $5{,}50 + 4{,}50 = 10$ . ✓

Λυμένη άσκηση: Ένα σκοινί $4{,}5$ m κόβεται σε κομμάτια των $0{,}75$ m. Πόσα κομμάτια θα βγουν;

Λύση: Ζητάμε πόσες φορές χωράει το $0{,}75$ στο $4{,}5$ , δηλαδή $4{,}5 : 0{,}75$ . Ο διαιρέτης έχει 2 δεκαδικά ψηφία, άρα πολλαπλασιάζουμε και τους δύο με 100: $450 : 75 = 6$ . Επαλήθευση: $0{,}75 \cdot 6 = 4{,}50$ ✓.

Απάντηση: 6 κομμάτια.

Λυμένη άσκηση: Για ένα πάρτι αγοράσαμε 8 μπουκάλια χυμό του $1{,}5$ λίτρου. Πόσα ποτήρια των $0{,}25$ λίτρων γεμίζουμε;

Λύση: Συνολικός χυμός: $8 \cdot 1{,}5 = 12$ λίτρα. Ποτήρια: $12 : 0{,}25 = 1200 : 25 = 48$ . Επαλήθευση: $48 \cdot 0{,}25 = 12$ ✓ (4 ποτήρια κάνουν 1 λίτρο, άρα $12 \cdot 4 = 48$ ).

Απάντηση: 48 ποτήρια.

Γρήγορος έλεγχος

Πόσο κάνει $3{,}6 + 2{,}75$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Πόσο κάνει $7{,}2 \div 100$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Το γινόμενο $2{,}3 \cdot 1{,}2$ είναι:

Γρήγορος έλεγχος

Πόσο κάνει $9 : 0{,}3$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Πόσο κάνει $0{,}4 \cdot 0{,}3$ ;

Πρόκληση

Ένα τετράδιο και ένα μολύβι κοστίζουν μαζί $1{,}10$ €. Το τετράδιο κοστίζει 1 € περισσότερο από το μολύβι. Πόσο κοστίζει το μολύβι; (Οι περισσότεροι απαντούν αμέσως «10 λεπτά» — είναι λάθος!)

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Αν το μολύβι κόστιζε $0{,}10$ €, το τετράδιο θα κόστιζε $1{,}10$ € και μαζί $1{,}20$ € — πάρα πολλά.

Σκέψου αλλιώς: αν αφαιρέσουμε το 1 € που το τετράδιο έχει «παραπάνω», μένουν $1{,}10 - 1 = 0{,}10$ €. Αυτά αντιστοιχούν σε δύο ίσα κομμάτια: την τιμή του μολυβιού και την υπόλοιπη τιμή του τετραδίου. Άρα το μολύβι κοστίζει $0{,}10 : 2 = 0{,}05$ € και το τετράδιο $0{,}05 + 1 = 1{,}05$ €.

Επαλήθευση: $1{,}05 + 0{,}05 = 1{,}10$ ✓ και $1{,}05 - 0{,}05 = 1$ ✓

Απάντηση: Το μολύβι κοστίζει $0{,}05$ €, δηλαδή 5 λεπτά.

Πριν κάνεις πράξη με δεκαδικούς, κάνε μια γρήγορη εκτίμηση με στρογγυλούς αριθμούς: το $2{,}5 \cdot 1{,}80$ είναι περίπου $2{,}5 \cdot 2 = 5$ . Αν βρεις 45, κάπου ξέχασες την υποδιαστολή!

Συνηθισμένα λάθη

Στοίχιση από δεξιά στην πρόσθεση: $3{,}6 + 2{,}75$ δεν κάνει $3{,}11$ ! Υποδιαστολή κάτω από υποδιαστολή.
Λάθος πλήθος δεκαδικών στο γινόμενο: μετράμε τα δεκαδικά ψηφία και των δύο παραγόντων: $0{,}4 \cdot 0{,}3 = 0{,}12$ .
Αλλάζω μόνο τον διαιρέτη: στο $6{,}4 : 0{,}2$ πολλαπλασιάζω με 10 και το $6{,}4$ , άρα γίνεται $64 : 2$ .
«Κολλάω ένα μηδενικό» στον πολλαπλασιασμό με 10: το $4{,}5 \cdot 10$ δεν κάνει $4{,}50$ αλλά $45$ — μετακινείται η υποδιαστολή.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Πρόσθεση και αφαίρεση: υποδιαστολή κάτω από υποδιαστολή, μηδενικά όπου λείπουν ψηφία
Πολλαπλασιασμός: σαν φυσικούς, και στο τέλος τόσα δεκαδικά ψηφία όσα έχουν μαζί οι παράγοντες
Επί 10, 100, 1000 → υποδιαστολή δεξιά· διά 10, 100, 1000 → υποδιαστολή αριστερά
Διαίρεση με δεκαδικό: πολλαπλασιάζω και τους δύο ώστε ο διαιρέτης να γίνει φυσικός
$\Delta = \delta \cdot \pi + \upsilon$ — εκτίμηση πριν, επαλήθευση μετά

Πρόσθεση και αφαίρεση — υποδιαστολή κάτω από υποδιαστολή!

Αν λείπουν ψηφία, συμπληρώνουμε μηδενικά: το

3{,}6

γίνεται

3{,}60

3{,}60 + 2{,}75 = 6{,}35

Η αφαίρεση είναι η αντίστροφη πράξη της πρόσθεσης — γι' αυτό την επαληθεύουμε με πρόσθεση:

6{,}35 - 2{,}75 = 3{,}60

, γιατί

3{,}60 + 2{,}75 = 6{,}35

. ✓