Καθετότητα, Ύψη & Συμμετρία
Ορθές γωνίες, τα ύψη του τριγώνου και ο μαγικός καθρέφτης
Πώς φτιάχνεις μια πεταλούδα με μία σταγόνα μπογιά;
Δίπλωσε ένα χαρτί στη μέση. Ρίξε μια σταγόνα μπογιά δίπλα στην τσάκιση, πάτα και άνοιξέ το: εμφανίζεται μια «πεταλούδα» με δύο ίδια μισά! Αυτό είναι η συμμετρία. Και όταν ο μάστορας ελέγχει αν το ράφι «κάθεται» σωστά στον τοίχο, ψάχνει καθετότητα. Εδώ βλέπεις τη γεωμετρία που κρύβεται σε σπίτια, γράμματα και ζώα.
Όταν δύο γραμμές «τα πάνε τέλεια» 📐
Δύο ευθείες λέγονται κάθετες όταν τέμνονται και σχηματίζουν ορθή γωνία (). Σκέψου το σταυροδρόμι, τη γωνία του τετραδίου ή τον τοίχο με το πάτωμα — παντού καθετότητα!
Για να ελέγξεις αν δύο γραμμές είναι κάθετες, ακουμπάς τη γωνία του γνώμονα: αν εφαρμόζει ακριβώς, η γωνία είναι . Σύμβολο της καθετότητας: ένα μικρό τετραγωνάκι στη γωνία ⊾.
Κάθετες ή παράλληλες; 🛤️
- Κάθετες: τέμνονται και σχηματίζουν ορθή γωνία — σαν το σταυροδρόμι.
- Παράλληλες: δεν συναντιούνται ποτέ, όσο κι αν τις προεκτείνεις, και απέχουν παντού το ίδιο — σαν τις ράγες του τρένου.
Δύο ευθείες που τέμνονται αλλά όχι σε ορθή γωνία δεν είναι ούτε κάθετες ούτε παράλληλες — απλώς τεμνόμενες.
Σε ποια περίπτωση οι δύο γραμμές είναι κάθετες;
Το ύψος του τριγώνου ⛰️
Το ύψος ενός τριγώνου είναι το ευθύγραμμο τμήμα που ξεκινά από μια κορυφή και πέφτει κάθετα στην απέναντι πλευρά (τη βάση).
Σκέψου μια σκηνή κάμπινγκ: το κοντάρι που τη στηρίζει πέφτει ολόισια — κάθετα — στο έδαφος. Αυτό είναι ύψος!
Και το ωραίο: κάθε τρίγωνο έχει 3 κορυφές, άρα και 3 ύψη — ένα από κάθε κορυφή. Στο ορθογώνιο τρίγωνο τα δύο ύψη είναι... οι ίδιες οι κάθετες πλευρές του!
Πόσα ύψη έχει ένα τρίγωνο;
Μέθοδος: σχεδιάζω ύψος με τον γνώμονα
- Διαλέγω την κορυφή και την απέναντι πλευρά (τη βάση).
- Ακουμπώ τη μία κάθετη πλευρά του γνώμονα πάνω στη βάση (ή στην προέκτασή της, αν το ύψος πέφτει έξω).
- Σύρω τον γνώμονα κατά μήκος της βάσης μέχρι η άλλη κάθετη πλευρά του να περάσει από την κορυφή.
- Χαράζω το τμήμα από την κορυφή ως τη βάση και σημειώνω το τετραγωνάκι της ορθής γωνίας.
Παράδειγμα: Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ η ορθή γωνία είναι στην κορυφή Α. Ποια είναι τα τρία ύψη του;
Λύση:
- Ύψος από το Β προς την ΑΓ: η ίδια η πλευρά ΒΑ, γιατί είναι ήδη κάθετη στην ΑΓ
- Ύψος από το Γ προς την ΑΒ: η ίδια η πλευρά ΓΑ
- Ύψος από το Α προς τη ΒΓ: ένα νέο τμήμα που πέφτει κάθετα στη ΒΓ, μέσα στο τρίγωνο
Και τα τρία ύψη συναντιούνται στην κορυφή Α της ορθής γωνίας!
Συμμετρία: ο αόρατος καθρέφτης 🦋
Ένα σχήμα έχει άξονα συμμετρίας όταν μπορείς να το διπλώσεις πάνω σε μια γραμμή και τα δύο μισά να ταυτιστούν ακριβώς — σαν να βάζεις καθρέφτη στη μέση!
Η πεταλούδα, η καρδιά, το γράμμα Α — όλα έχουν έναν κατακόρυφο άξονα συμμετρίας. Δες πόσους άξονες έχουν τα σχήματα:
- Ισοσκελές τρίγωνο: 1 άξονας
- Ορθογώνιο: 2 άξονες (προσοχή: ΟΧΙ οι διαγώνιοι!)
- Ισόπλευρο τρίγωνο: 3 άξονες
- Τετράγωνο: 4 άξονες
- Κύκλος: άπειροι — κάθε διάμετρος είναι άξονας!
Οι νιφάδες χιονιού έχουν συνήθως έξι «μπράτσα» — ένα σχήμα με άξονες συμμετρίας. Ο λόγος: όταν το νερό παγώνει, τα μόριά του ενώνονται σε σχήματα εξαγώνου. Κι όμως, δύο νιφάδες σχεδόν ποτέ δεν είναι ολόιδιες!
Σύρε τον καθρέφτη πάνω στο σχήμα και παρατήρησε πότε τα δύο μισά ταυτίζονται — θα ανακαλύψεις ότι μόνο σε ειδικές θέσεις η γραμμή γίνεται αληθινός άξονας συμμετρίας!
Παράδειγμα: Στο ορθογώνιο, είναι η διαγώνιος άξονας συμμετρίας;
Έλεγχος με δίπλωμα: Αν διπλώσεις ένα ορθογώνιο χαρτί (όχι τετράγωνο!) κατά μήκος της διαγωνίου, τα δύο τρίγωνα ΔΕΝ ταυτίζονται — η μία μύτη εξέχει.
Συμπέρασμα: Οι άξονες του ορθογωνίου είναι μόνο οι 2 γραμμές που ενώνουν τα μέσα των απέναντι πλευρών. Στο τετράγωνο όμως οι διαγώνιοι ΕΙΝΑΙ άξονες — γι' αυτό έχει 4!
Πόσους άξονες συμμετρίας έχει το τετράγωνο;
Παράδειγμα: Ποια από τα κεφαλαία γράμματα Α, Β, Ζ, Η έχουν άξονα συμμετρίας;
Λύση (με νοερό δίπλωμα):
- Α: κατακόρυφος άξονας
- Β: οριζόντιος άξονας (το πάνω «κοιλιαράκι» πέφτει στο κάτω)
- Ζ: κανένας — όπως κι αν το διπλώσεις, οι γραμμές δεν ταυτίζονται
- Η: άξονες, ένας κατακόρυφος και ένας οριζόντιος
Πόσους άξονες συμμετρίας έχει το κεφαλαίο γράμμα Η;
Ποιο σχήμα έχει ακριβώς έναν άξονα συμμετρίας;
Όποτε αμφιβάλλεις για τη συμμετρία, σκέψου το δίπλωμα: αν μπορείς να διπλώσεις το σχήμα και να ταυτιστούν τα μισά, η τσάκιση είναι άξονας. Και για το ύψος τριγώνου θυμήσου: ξεκινά από κορυφή και πέφτει κάθετα — όχι απλώς «προς τα κάτω»!
Γράψε με κεφαλαία τις λέξεις ΑΜΑ, ΟΧΙ και ΜΑΜΑ. Ποια λέξη έχει άξονα συμμετρίας και πού; (Σκέψου τα απλά κεφαλαία γράμματα, όπως τα γράφεις στον πίνακα.)
Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση
- ΑΜΑ: τα Α και Μ έχουν κατακόρυφο άξονα, και η λέξη διαβάζεται ίδια από δεξιά. Άρα έχει κατακόρυφο άξονα που περνά από τη μέση του Μ.
- ΟΧΙ: τα Ο, Χ, Ι έχουν όλα οριζόντιο άξονα. Βάλε έναν καθρέφτη οριζόντια στη μέση της λέξης: το πάνω μισό καθρεφτίζει ακριβώς το κάτω! Κατακόρυφο άξονα όμως δεν έχει (ανάποδα γράφεται «ΙΧΟ»).
- ΜΑΜΑ: ανάποδα γράφεται «ΑΜΑΜ», άρα όχι κατακόρυφος άξονας. Και το Μ δεν έχει οριζόντιο άξονα. Κανένας άξονας!
Απάντηση: ΑΜΑ → κατακόρυφος, ΟΧΙ → οριζόντιος, ΜΑΜΑ → κανένας.
- Ύψος «προς τα κάτω» αντί για «κάθετα»: το ύψος πέφτει κάθετα στη βάση, όχι απαραίτητα κατακόρυφα στη σελίδα.
- Ύψος σε αμβλυγώνιο: μερικά ύψη πέφτουν έξω από το τρίγωνο, στην προέκταση της βάσης — προεκτείνω τη βάση πριν βάλω τον γνώμονα.
- Οι διαγώνιοι του ορθογωνίου ως άξονες: δεν είναι! Μόνο στο τετράγωνο.
- Μετράω μόνο κατακόρυφους άξονες: ελέγχω και οριζόντιους (και λοξούς).
- Κάθετες: τέμνονται σε ορθή γωνία ()· παράλληλες: δεν συναντιούνται ποτέ
- Ύψος τριγώνου: από κορυφή, κάθετα στην απέναντι πλευρά· κάθε τρίγωνο έχει ύψη
- Άξονας συμμετρίας: η γραμμή όπου το δίπλωμα ταιριάζει ακριβώς τα δύο μισά
- Άξονες: ισοσκελές , ορθογώνιο , ισόπλευρο , τετράγωνο , κύκλος άπειροι