⚖️

Εξισώσεις

Μεταβλητή, άγνωστος όρος, επαλήθευση

Μαντεύεις τον αριθμό μου;

«Σκέφτηκα έναν αριθμό, του πρόσθεσα 7 και βρήκα 15. Ποιον σκέφτηκα;» Το βρίσκεις αμέσως: 8! Μόλις έλυσες μια εξίσωση. Εδώ μαθαίνεις να λύνεις τέτοια μυστήρια με σύστημα, ακόμη κι όταν ο κρυμμένος αριθμός δεν μαντεύεται εύκολα — και να ελέγχεις πάντα ότι βρήκες τον σωστό.

Το μυστηριώδες γράμμα $x$

Φαντάσου ένα κλειστό κουτί που μέσα του κρύβεται ένας αριθμός. Επειδή δεν τον ξέρουμε ακόμα, του δίνουμε ένα όνομα: $x$ ! Ένα γράμμα που παριστάνει έναν άγνωστο αριθμό λέγεται μεταβλητή.

Με τις μεταβλητές γράφουμε μαθηματικές εκφράσεις: αν ο Πέτρος έχει $x$ αυτοκόλλητα και κερδίσει 5 ακόμα, θα έχει $x + 5$ . Όποιος κι αν είναι ο κρυμμένος αριθμός, η έκφραση δουλεύει!

Τι είναι η εξίσωση;

Μια εξίσωση είναι μια ισότητα που κρύβει έναν άγνωστο, π.χ. $x + 3 = 10$ . Λύση της εξίσωσης είναι ο αριθμός που, αν μπει στη θέση του $x$ , κάνει την ισότητα αληθινή.

Σκέψου την εξίσωση σαν ζυγαριά που ισορροπεί: ό,τι ζυγίζει ο αριστερός δίσκος, τόσο ζυγίζει και ο δεξιός. Αν βγάλουμε 3 κιλά από τον έναν δίσκο, πρέπει να βγάλουμε 3 και από τον άλλον — αλλιώς χάνεται η ισορροπία!

Ήξερες ότι;

Η λέξη άλγεβρα — το κομμάτι των μαθηματικών με τα γράμματα και τις εξισώσεις — βγαίνει από το αραβικό «al-jabr». Είναι λέξη από τον τίτλο ενός βιβλίου που έγραψε γύρω στο 820 μ.Χ. στη Βαγδάτη ο Πέρσης μαθηματικός αλ-Χουαρίζμι. Από το όνομά του βγήκε και η λέξη αλγόριθμος!

Πρόσθεσε και αφαίρεσε βαράκια στους δύο δίσκους και ανακάλυψε το μυστικό: η ζυγαριά μένει ίσια μόνο όταν κάνεις το ίδιο και στις δύο πλευρές — ακριβώς έτσι λύνονται οι εξισώσεις!

Άγνωστος προσθετέος, μειωτέος, αφαιρετέος

Στο Δημοτικό λύνουμε εξισώσεις σκεπτόμενοι την αντίστροφη πράξη:

Άγνωστος προσθετέος: $x + 4 = 11$ → ο προσθετέος βρίσκεται με αφαίρεση: $x = 11 - 4 = 7$
Άγνωστος μειωτέος: $x - 5 = 9$ → ο μειωτέος βρίσκεται με πρόσθεση: $x = 9 + 5 = 14$
Άγνωστος αφαιρετέος: $12 - x = 8$ → ο αφαιρετέος βρίσκεται με αφαίρεση: $x = 12 - 8 = 4$

$x + \alpha = \beta \Rightarrow x = \beta - \alpha \qquad x - \alpha = \beta \Rightarrow x = \beta + \alpha \qquad \alpha - x = \beta \Rightarrow x = \alpha - \beta$

Κόλπο μνήμης

Κρύψε τον $x$ με το δάχτυλο και διάβασε την εξίσωση σαν ερώτηση! Το $12 - x = 8$ γίνεται «12 μείον πόσο κάνει 8;» → 4. Το $x : 3 = 5$ γίνεται «ποιος αριθμός μοιρασμένος σε 3 δίνει 5;» → 15. Η ερώτηση σού δείχνει αμέσως ποια πράξη χρειάζεσαι.

Γρήγορος έλεγχος

Ποια είναι η λύση της εξίσωσης $x + 7 = 15$ ;

Άγνωστος παράγοντας, διαιρετέος, διαιρέτης

Τα ίδια κόλπα δουλεύουν και με πολλαπλασιασμό-διαίρεση:

Άγνωστος παράγοντας: $x \cdot 3 = 18$ → ο παράγοντας βρίσκεται με διαίρεση: $x = 18 : 3 = 6$
Άγνωστος διαιρετέος: $x : 4 = 5$ → ο διαιρετέος βρίσκεται με πολλαπλασιασμό: $x = 5 \cdot 4 = 20$
Άγνωστος διαιρέτης: $24 : x = 6$ → ο διαιρέτης βρίσκεται με διαίρεση: $x = 24 : 6 = 4$

Πάντα στο τέλος κάνουμε επαλήθευση: βάζουμε τη λύση στη θέση του $x$ και ελέγχουμε αν η ισότητα βγαίνει αληθινή.

Μέθοδος: Λύνω πρόβλημα με εξίσωση

Ονομάζω $x$ αυτό που ψάχνω (π.χ. « $x$ = η τιμή του ενός τετραδίου»).
Γράφω την εξίσωση μεταφράζοντας τις λέξεις: «κέρδισε, πήρε κι άλλα» → $+$ , «ξόδεψε, έδωσε, έμειναν» → $-$ , «φορές, ίδια κομμάτια» → $\cdot$ , «μοίρασε εξίσου» → $:$ .
Βρίσκω τι όρος είναι ο $x$ (προσθετέος, μειωτέος, αφαιρετέος, παράγοντας, διαιρετέος ή διαιρέτης) και λύνω με την αντίστροφη πράξη.
Επαληθεύω βάζοντας τη λύση στη θέση του $x$ .
Απαντώ με λόγια στην ερώτηση του προβλήματος.

Λυμένο παράδειγμα: Η Μαρία αγόρασε 3 ίδια τετράδια και πλήρωσε 12€. Πόσο κοστίζει το ένα τετράδιο;

Λύση: Ονομάζουμε $x$ την τιμή του ενός τετραδίου. Η εξίσωση είναι $3 \cdot x = 12$ . Ο $x$ είναι άγνωστος παράγοντας, άρα: $x = 12 : 3 = 4$ . Το κάθε τετράδιο κοστίζει 4€. Επαλήθευση: $3 \cdot 4 = 12$ ✓ — η ζυγαριά ισορροπεί!

Λυμένη άσκηση: Ο Άρης ξόδεψε 7,50 € για ένα βιβλίο και του έμειναν 12,50 €. Πόσα χρήματα είχε στην αρχή;

Λύση: Έστω $x$ τα χρήματα που είχε. «Ξόδεψε και του έμειναν» → αφαίρεση: $x - 7{,}50 = 12{,}50$ . Ο $x$ είναι άγνωστος μειωτέος, άρα τον βρίσκουμε με πρόσθεση: $x = 12{,}50 + 7{,}50 = 20$ . Επαλήθευση: $20 - 7{,}50 = 12{,}50$ ✓.

Απάντηση: Ο Άρης είχε 20 €.

Λυμένη άσκηση: Η δασκάλα μοίρασε 36 καραμέλες εξίσου σε κάποια παιδιά και το καθένα πήρε 4. Πόσα ήταν τα παιδιά;

Λύση: Έστω $x$ τα παιδιά. «Μοίρασε εξίσου» → διαίρεση: $36 : x = 4$ . Ο $x$ είναι άγνωστος διαιρέτης, άρα τον βρίσκουμε με διαίρεση: $x = 36 : 4 = 9$ . Επαλήθευση: $36 : 9 = 4$ ✓.

Απάντηση: Τα παιδιά ήταν 9.

Γρήγορος έλεγχος

Η Σοφία σκέφτηκε έναν αριθμό $x$ , τον πολλαπλασίασε με το 5 και βρήκε 45. Ποια εξίσωση περιγράφει το πρόβλημα;

Γρήγορος έλεγχος

Ποια είναι η λύση της εξίσωσης $x : 6 = 7$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Ποια είναι η λύση της εξίσωσης $25 - x = 9$ ;

Πρόκληση

Κάνε αυτό το μαγικό κόλπο σε έναν φίλο: «Σκέψου έναν αριθμό. Διπλασίασέ τον. Πρόσθεσε 10. Μοίρασε το αποτέλεσμα στη μέση. Αφαίρεσε τον αριθμό που σκέφτηκες. Βγήκε... 5!» Βγαίνει πάντα 5, όποιον αριθμό κι αν διαλέξει. Γιατί;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Δοκίμασε πρώτα με το 7: $7 \cdot 2 = 14$ , $14 + 10 = 24$ , $24 : 2 = 12$ , $12 - 7 = 5$ ✓. Για να δούμε γιατί δουλεύει πάντα, ονομάζουμε τον κρυφό αριθμό $x$ και τον φανταζόμαστε σαν ένα κλειστό κουτί:

Διπλασιάζω: δύο κουτιά, $2 \cdot x$
Προσθέτω 10: δύο κουτιά και 10 καραμέλες, $2 \cdot x + 10$
Μοιράζω στη μέση: ένα κουτί και 5 καραμέλες, $x + 5$
Αφαιρώ τον αριθμό μου: βγάζω το κουτί, μένουν 5 καραμέλες

Απάντηση: Όποιος κι αν είναι ο $x$ , το κουτί «φεύγει» στο τέλος και μένουν πάντα οι 5 καραμέλες. Αυτή είναι η δύναμη της μεταβλητής: δείχνει κάτι για όλους τους αριθμούς μαζί!

Η επαλήθευση είναι το σούπερ όπλο σου: παίρνει 5 δευτερόλεπτα και σου λέει αμέσως αν έλυσες σωστά! Βάλε τη λύση στη θέση του $x$ — αν οι δύο πλευρές βγάζουν τον ίδιο αριθμό, κέρδισες.

Συνηθισμένα λάθη

Άγνωστος αφαιρετέος: στο $12 - x = 8$ γράφουν $x = 12 + 8 = 20$ . Σωστό: $x = 12 - 8 = 4$ (έλεγχος: $12 - 4 = 8$ ✓).
Άγνωστος διαιρέτης: στο $24 : x = 6$ γράφουν $x = 24 \cdot 6$ . Σωστό: $x = 24 : 6 = 4$ .
Λάθος πράξη στην εξίσωση: «του έμειναν» σημαίνει αφαίρεση — ξαναδιάβασε το πρόβλημα πριν γράψεις.
Χωρίς επαλήθευση και απάντηση: το $x = 9$ δεν αρκεί — γράψε και «Τα παιδιά ήταν 9».

Σύνοψη — τι κρατάμε

Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ. $x$ ) που παριστάνει έναν άγνωστο αριθμό
Εξίσωση = ισότητα με άγνωστο· λύση = ο αριθμός που την κάνει αληθινή
Άγνωστος προσθετέος → αφαίρεση, μειωτέος → πρόσθεση, αφαιρετέος → αφαίρεση
Άγνωστος παράγοντας → διαίρεση, διαιρετέος → πολλαπλασιασμός, διαιρέτης → διαίρεση
Πάντα επαλήθευση και απάντηση με λόγια

Το μυστηριώδες γράμμα

x

Φαντάσου ένα κλειστό κουτί που μέσα του κρύβεται ένας αριθμός. Επειδή δεν τον ξέρουμε ακόμα, του δίνουμε ένα όνομα:

x

! Ένα γράμμα που παριστάνει έναν άγνωστο αριθμό λέγεται μεταβλητή.

Με τις μεταβλητές γράφουμε μαθηματικές εκφράσεις: αν ο Πέτρος έχει

x

αυτοκόλλητα και κερδίσει 5 ακόμα, θα έχει

x + 5

. Όποιος κι αν είναι ο κρυμμένος αριθμός, η έκφραση δουλεύει!

Εξισώσεις

Μαντεύεις τον αριθμό μου;

Το μυστηριώδες γράμμα xxx

Τι είναι η εξίσωση;

Άγνωστος προσθετέος, μειωτέος, αφαιρετέος

Άγνωστος παράγοντας, διαιρετέος, διαιρέτης

Μέθοδος: Λύνω πρόβλημα με εξίσωση

Εξισώσεις

Μαντεύεις τον αριθμό μου;

Το μυστηριώδες γράμμα xxx

Τι είναι η εξίσωση;

Άγνωστος προσθετέος, μειωτέος, αφαιρετέος

Άγνωστος παράγοντας, διαιρετέος, διαιρέτης

Μέθοδος: Λύνω πρόβλημα με εξίσωση

Το μυστηριώδες γράμμα $x$

Το μυστηριώδες γράμμα $x$