🟧

Εμβαδά Σχημάτων

Παραλληλόγραμμο, τρίγωνο, τραπέζιο, κύκλος

Μία μεγάλη πίτσα ή δύο μικρές;

Η πιτσαρία σού προσφέρει στην ίδια τιμή μία πίτσα με διάμετρο 30 cm ή δύο με διάμετρο 20 cm. Οι περισσότεροι διαλέγουν τις δύο — «είναι δύο!». Κι όμως, η μία μεγάλη έχει περισσότερη πίτσα. Για να το αποδείξεις χρειάζεσαι εμβαδά — και ως το τέλος του μαθήματος θα το έχεις λύσει μόνος σου.

Από το ορθογώνιο στο παραλληλόγραμμο

Το εμβαδόν του ορθογωνίου το ξέρεις ήδη: μήκος επί πλάτος. Το πλάγιο παραλληλόγραμμο όμως; Εδώ κρύβεται ένα από τα ωραιότερα κόλπα της γεωμετρίας!

Κόψε από τη μία άκρη του παραλληλογράμμου ένα τρίγωνο και κόλλησέ το στην άλλη άκρη: μεταμορφώθηκε σε ορθογώνιο χωρίς να χαθεί ούτε ένα κομματάκι επιφάνειας! Γι' αυτό το εμβαδόν του παραλληλογράμμου είναι βάση επί ύψος.

Βάση ( $\beta$ ): μια πλευρά του που διαλέγουμε
Ύψος ( $\upsilon$ ): η κάθετη απόσταση της βάσης από την απέναντι πλευρά — όχι η πλάγια πλευρά!

$E_{\text{παραλληλογράμμου}} = \beta \cdot \upsilon$

Λυμένη άσκηση: Ένα παραλληλόγραμμο έχει βάση 10 cm, πλάγια πλευρά 6 cm και ύψος 5 cm. Ποιο είναι το εμβαδόν του;

Λύση: Στον τύπο μπαίνουν η βάση και το ύψος — η πλάγια πλευρά είναι «παγίδα» και δεν χρειάζεται: $E = \beta \cdot \upsilon = 10 \cdot 5 = 50 \, cm^2$ .

Απάντηση: $50 \, cm^2$ (και όχι $10 \cdot 6 = 60$ ).

Τρίγωνο — το μισό παραλληλόγραμμο

Πάρε ένα τρίγωνο και κόλλησε δίπλα του ένα ολόιδιο, γυρισμένο ανάποδα: φτιάχνεται ένα παραλληλόγραμμο! Άρα κάθε τρίγωνο είναι ακριβώς το μισό ενός παραλληλογράμμου με την ίδια βάση και το ίδιο ύψος.

Τραπέζιο — δύο βάσεις σε δράση

Το τραπέζιο έχει δύο παράλληλες πλευρές: τη μεγάλη βάση ( $B$ ) και τη μικρή βάση ( $\beta$ ). Δύο ίδια τραπέζια κολλημένα ανάποδα φτιάχνουν παραλληλόγραμμο με βάση $B + \beta$ — γι' αυτό στον τύπο εμφανίζεται το άθροισμα των βάσεων διά 2!

$E_{\text{τριγώνου}} = \frac{\beta \cdot \upsilon}{2} \qquad E_{\text{τραπεζίου}} = \frac{(B + \beta) \cdot \upsilon}{2}$

Μέθοδος: Βρίσκω το εμβαδόν ενός σχήματος

Αναγνωρίζω το σχήμα: παραλληλόγραμμο, τρίγωνο, τραπέζιο ή κύκλος;
Εντοπίζω βάση (ή βάσεις) και ύψος — το ύψος είναι πάντα κάθετο στη βάση.
Ελέγχω τις μονάδες: όλα στην ίδια μονάδα.
Βάζω στον τύπο και υπολογίζω — στο τρίγωνο και στο τραπέζιο μην ξεχάσεις το «διά 2».
Σύνθετο σχήμα; Το χωρίζω σε γνωστά κομμάτια και προσθέτω τα εμβαδά τους (ή αφαιρώ ένα κομμάτι που «λείπει»).
Γράφω τετραγωνική μονάδα: $cm^2$ , $m^2$ .

Λυμένο παράδειγμα: Ένα οικόπεδο έχει σχήμα τραπεζίου με μεγάλη βάση 8 m, μικρή βάση 4 m και ύψος 5 m. Ποιο είναι το εμβαδόν του;

Λύση: $E = \frac{(8 + 4) \cdot 5}{2} = \frac{12 \cdot 5}{2} = \frac{60}{2} = 30 \, m^2$ . Πρώτα προσθέτουμε τις δύο βάσεις, μετά πολλαπλασιάζουμε με το ύψος και στο τέλος διαιρούμε με το 2!

Γρήγορος έλεγχος

Ένα τρίγωνο έχει βάση 10 cm και ύψος 6 cm. Ποιο είναι το εμβαδόν του;

Λυμένη άσκηση: Η μπροστινή όψη ενός σπιτιού αποτελείται από ένα ορθογώνιο 6 m επί 4 m και, από πάνω, μια τριγωνική στέγη με βάση 6 m και ύψος 2 m. Ποιο είναι το συνολικό εμβαδόν της;

Λύση: Χωρίζουμε σε δύο γνωστά σχήματα. Ορθογώνιο: $6 \cdot 4 = 24 \, m^2$ . Τρίγωνο: $\frac{6 \cdot 2}{2} = 6 \, m^2$ . Σύνολο: $24 + 6 = 30 \, m^2$ .

Απάντηση: $30 \, m^2$ .

Γρήγορος έλεγχος

Ένα τραπέζιο έχει βάσεις 10 cm και 6 cm και ύψος 4 cm. Ποιο είναι το εμβαδόν του;

Γρήγορος έλεγχος

Ένα παραλληλόγραμμο έχει βάση 7 cm, πλάγια πλευρά 5 cm και ύψος 4 cm. Ποιο είναι το εμβαδόν του;

Το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου

Κόψε τον κυκλικό δίσκο σε πολλές λεπτές «πίτσες» και άπλωσέ τες στη σειρά, μία πάνω μία κάτω: σχηματίζεται σχεδόν ένα ορθογώνιο με ύψος την ακτίνα $\rho$ και βάση το μισό μήκος του κύκλου, δηλαδή $\pi \cdot \rho$ . Έτσι γεννιέται ο διάσημος τύπος:

$E_{\text{κυκλικού δίσκου}} = \pi \cdot \rho^2 \qquad \pi \approx 3{,}14$

Η ακτίνα πολλαπλασιάζεται με τον εαυτό της — γι' αυτό λέμε «πι ρο στο τετράγωνο». Με $\pi \approx 3{,}14$ , ένας δίσκος με ακτίνα 3 cm έχει εμβαδόν $3{,}14 \cdot 3 \cdot 3 = 28{,}26 \, cm^2$ .

Ήξερες ότι;

Ο Αρχιμήδης, πριν από 2.200 χρόνια, απέδειξε ότι ένας κυκλικός δίσκος έχει το ίδιο εμβαδόν με ένα τρίγωνο που έχει βάση όσο το μήκος του κύκλου και ύψος όσο η ακτίνα! Δοκίμασε: με μήκος κύκλου $\pi \cdot \delta = \pi \cdot 2 \cdot \rho$ , το εμβαδόν του τριγώνου είναι $\frac{\pi \cdot 2 \cdot \rho \cdot \rho}{2} = \pi \cdot \rho^2$ — ο γνωστός σου τύπος!

Ξετύλιξε τον δίσκο σε λωρίδες και παρακολούθησε τες να στρώνονται σε ορθογώνιο με ύψος ρ και βάση π·ρ — δες με τα μάτια σου από πού βγαίνει το Ε = π·ρ²!

Γρήγορος έλεγχος

Ένας κυκλικός δίσκος έχει ακτίνα 10 cm. Ποιο είναι το εμβαδόν του; (π ≈ 3,14)

Λυμένη άσκηση: Τι είναι περισσότερη πίτσα: μία πίτσα με διάμετρο 30 cm ή δύο πίτσες με διάμετρο 20 cm η καθεμία; ( $\pi \approx 3{,}14$ )

Λύση: Δίνεται η διάμετρος, άρα η ακτίνα είναι η μισή. Μεγάλη πίτσα: $\rho = 15$ cm, $E = 3{,}14 \cdot 15 \cdot 15 = 3{,}14 \cdot 225 = 706{,}5 \, cm^2$ . Μικρή πίτσα: $\rho = 10$ cm, $E = 3{,}14 \cdot 10 \cdot 10 = 314 \, cm^2$ , και οι δύο μαζί $2 \cdot 314 = 628 \, cm^2$ .

Απάντηση: Η μία μεγάλη πίτσα ( $706{,}5 \, cm^2$ ) είναι περισσότερη από τις δύο μικρές ( $628 \, cm^2$ ) — το εμβαδόν μεγαλώνει πολύ πιο γρήγορα από τη διάμετρο!

Πρόκληση

Ένα τετράγωνο πλακάκι έχει πλευρά 10 cm. Σημαδεύουμε τα μέσα των τεσσάρων πλευρών και τα ενώνουμε: μέσα σχηματίζεται ένα «πλάγιο» τετράγωνο. Πόσο είναι το εμβαδόν του;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Η πλευρά του εσωτερικού τετραγώνου δεν μετριέται εύκολα — γι' αυτό βρίσκουμε τι περισσεύει!

Εμβαδόν του πλακακιού: $10 \cdot 10 = 100 \, cm^2$ .
Στις 4 γωνίες μένουν 4 ίσα ορθογώνια τρίγωνα. Το καθένα έχει κάθετες πλευρές 5 cm και 5 cm (μισές πλευρές), άρα $E = \frac{5 \cdot 5}{2} = 12{,}5 \, cm^2$ .
Τα 4 τρίγωνα μαζί: $4 \cdot 12{,}5 = 50 \, cm^2$ .
Εσωτερικό τετράγωνο: $100 - 50 = 50 \, cm^2$ .

Απάντηση: $50 \, cm^2$ — ακριβώς το μισό πλακάκι! Δίπλωσε τα 4 τριγωνάκια προς τα μέσα και θα δεις ότι καλύπτουν ακριβώς το εσωτερικό τετράγωνο.

Κόλπο μνήμης

Το ύψος είναι πάντα κάθετο στη βάση — ποτέ η πλάγια πλευρά! Φαντάσου μια σταγόνα που πέφτει ίσια από την κορυφή στη βάση: η διαδρομή της είναι το ύψος. Στα πλάγια σχήματα αυτή είναι η πιο συχνή παγίδα.

Συνηθισμένα λάθη

Πλάγια πλευρά αντί για ύψος: στο παραλληλόγραμμο και στο τρίγωνο μπαίνει η κάθετη απόσταση.
Ξεχνάω το «διά 2» στο τρίγωνο και στο τραπέζιο.
Διάμετρος στο $\pi \cdot \rho^2$ : αν δίνεται η διάμετρος, τη διαιρώ πρώτα με το 2.
$\rho^2 = \rho \cdot 2$ : λάθος! $\rho^2 = \rho \cdot \rho$ — για $\rho = 3$ είναι 9, όχι 6.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Παραλληλόγραμμο: $E = \beta \cdot \upsilon$
Τρίγωνο: $E = \frac{\beta \cdot \upsilon}{2}$ — το μισό ενός παραλληλογράμμου
Τραπέζιο: $E = \frac{(B + \beta) \cdot \upsilon}{2}$
Κυκλικός δίσκος: $E = \pi \cdot \rho^2$ , με $\pi \approx 3{,}14$
Το ύψος είναι πάντα κάθετο στη βάση· το εμβαδόν μετριέται σε τετραγωνικές μονάδες

Από το ορθογώνιο στο παραλληλόγραμμο

Βάση (

\beta

): μια πλευρά του που διαλέγουμε

Ύψος (

\upsilon

): η κάθετη απόσταση της βάσης από την απέναντι πλευρά — όχι η πλάγια πλευρά!