📐

Γεωμετρία: Γωνίες & Σχήματα

Είδη γωνιών, περίμετρος-εμβαδόν, κύκλος

Πόσο δρόμο κάνει μια ρόδα σε μία στροφή;

Κάθε φορά που η ρόδα του ποδηλάτου σου κάνει μία στροφή, προχωράς όσο είναι το μήκος του κύκλου της — λίγο παραπάνω από 3 φορές τη διάμετρό της! Γωνίες, περίμετροι και εμβαδά κρύβονται παντού: στη γωνία του θρανίου, στον φράχτη της αυλής, στο γήπεδο του σχολείου. Εδώ μαθαίνεις να τα μετράς.

Μεγάλη α...γωνία στη γωνία!

Μια γωνία σχηματίζεται όταν δύο ημιευθείες ξεκινούν από το ίδιο σημείο, την κορυφή. Τη μετράμε σε μοίρες ( $^\circ$ ) με το μοιρογνωμόνιο.

Ορθή γωνία: ακριβώς $90^\circ$ — σαν τη γωνία του τετραδίου σου!
Οξεία γωνία: μικρότερη από $90^\circ$ — στενή και «μυτερή»
Αμβλεία γωνία: μεγαλύτερη από $90^\circ$ και μικρότερη από $180^\circ$ — φαρδιά κι ανοιχτή
Ευθεία γωνία: ακριβώς $180^\circ$ — οι πλευρές της γίνονται μία ευθεία γραμμή!

Σύρε την πλευρά της γωνίας και ανακάλυψε πού ακριβώς η οξεία γίνεται ορθή και η ορθή αμβλεία — παρακολούθησε τις μοίρες να αλλάζουν ζωντανά!

Ήξερες ότι;

Γύρω στο 240 π.Χ. ο Έλληνας Ερατοσθένης υπολόγισε το μέγεθος ολόκληρης της Γης με μια... γωνία! Μέτρησε τη σκιά ενός στύλου στην Αλεξάνδρεια τη μέρα που στη Συήνη ο ήλιος δεν έριχνε σκιά. Βρήκε γωνία περίπου $7{,}2^\circ$ , δηλαδή το $\frac{1}{50}$ του κύκλου ( $360^\circ : 50 = 7{,}2^\circ$ ), και έτσι βρήκε την περίμετρο της Γης πολύ κοντά στην πραγματική.

Γρήγορος έλεγχος

Μια γωνία μετράει $120^\circ$ . Τι είδους γωνία είναι;

Περίμετρος και εμβαδόν ορθογωνίου

Η περίμετρος είναι το μήκος μιας βόλτας γύρω-γύρω από το σχήμα — μετριέται σε μέτρα (m), εκατοστά (cm) κ.λπ.

Το εμβαδόν είναι πόση επιφάνεια καλύπτει το σχήμα — πόσα τετραγωνάκια χωράνε μέσα του! Μετριέται σε τετραγωνικά μέτρα ( $m^2$ ) ή εκατοστά ( $cm^2$ ).

Στο ορθογώνιο με μήκος $\mu$ και πλάτος $\pi\lambda$ :

$\Pi = 2 \cdot (\mu + \pi\lambda) \qquad E = \mu \cdot \pi\lambda$

Μέθοδος: Περίμετρος ή εμβαδόν;

Διαβάζω τι ζητάει: φράχτης, κορδέλα, κορνίζα, βόλτα γύρω-γύρω → περίμετρος. Πλακάκια, μπογιά, γκαζόν, χαλί → εμβαδόν.
Ελέγχω τις μονάδες: όλες οι διαστάσεις στην ίδια μονάδα (π.χ. όλα σε m).
Εφαρμόζω τον τύπο: $\Pi = 2 \cdot (\mu + \pi\lambda)$ ή $E = \mu \cdot \pi\lambda$ . Στο τετράγωνο με πλευρά $\alpha$ : $\Pi = 4 \cdot \alpha$ και $E = \alpha \cdot \alpha$ .
Γράφω τη σωστή μονάδα: m για την περίμετρο, $m^2$ για το εμβαδόν.

Λυμένο παράδειγμα: Η αυλή του σχολείου είναι ορθογώνια με μήκος 8 m και πλάτος 5 m. Πόσο συρματόπλεγμα χρειάζεται για να τη φράξουμε και πόσο γκαζόν για να τη στρώσουμε;

Λύση: Περίμετρος: $\Pi = 2 \cdot (8 + 5) = 2 \cdot 13 = 26$ m συρματόπλεγμα. Εμβαδόν: $E = 8 \cdot 5 = 40$ $m^2$ γκαζόν. Πρόσεξε: άλλη μονάδα για τη βόλτα γύρω-γύρω, άλλη για το στρώσιμο!

Λυμένη άσκηση: Ένας ορθογώνιος κήπος έχει εμβαδόν $48 \, m^2$ και μήκος 8 m. Πόσο είναι το πλάτος του και πόσα μέτρα φράχτη χρειάζονται γύρω-γύρω;

Λύση: Αφού $E = \mu \cdot \pi\lambda$ , έχουμε $8 \cdot \pi\lambda = 48$ , άρα $\pi\lambda = 48 : 8 = 6$ m. Περίμετρος: $\Pi = 2 \cdot (8 + 6) = 2 \cdot 14 = 28$ m.

Απάντηση: Πλάτος 6 m και 28 m φράχτη.

Γρήγορος έλεγχος

Ένα τετράγωνο έχει πλευρά 5 m. Ποιο είναι το εμβαδόν του;

Γνωρίζοντας τον κύκλο

Ο κύκλος είναι το πιο στρογγυλό σχήμα του κόσμου! Όλα τα σημεία του απέχουν το ίδιο από το κέντρο.

Ακτίνα ( $\rho$ ): η απόσταση από το κέντρο ως τον κύκλο
Διάμετρος ( $\delta$ ): περνά από το κέντρο και ενώνει δύο σημεία του κύκλου — είναι διπλάσια από την ακτίνα: $\delta = 2 \cdot \rho$

Το μήκος του κύκλου (η περίμετρός του) είναι περίπου 3,14 φορές η διάμετρος. Ο μαγικός αυτός αριθμός λέγεται π (πι): $\pi \approx 3{,}14$ .

$\text{Μήκος κύκλου} = \pi \cdot \delta$

Ξετύλιξε τον κύκλο σε λεπτές λωρίδες και ανακάλυψε πώς μεταμορφώνεται σε σχήμα που σχεδόν ξέρεις να μετράς — έτσι γεννιέται το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου!

Λυμένη άσκηση: Η ρόδα ενός ποδηλάτου έχει διάμετρο 60 cm. Πόσο προχωράει το ποδήλατο όταν η ρόδα κάνει μία στροφή; Και σε 10 στροφές;

Λύση: Σε μία στροφή η ρόδα «ξετυλίγει» ακριβώς το μήκος του κύκλου της: $\pi \cdot \delta = 3{,}14 \cdot 60 = 188{,}4$ cm. Σε 10 στροφές: $188{,}4 \cdot 10 = 1884$ cm, δηλαδή $18{,}84$ m.

Απάντηση: 188,4 cm σε μία στροφή και 18,84 m σε 10 στροφές.

Γρήγορος έλεγχος

Ένας κύκλος έχει ακτίνα 5 cm. Πόσο είναι το μήκος του; ( $\pi \approx 3{,}14$ )

Γρήγορος έλεγχος

Μια γωνία μετρήθηκε με το μοιρογνωμόνιο και βρέθηκε $90^\circ$ . Τι γωνία είναι;

Πρόκληση

Τι γωνία σχηματίζουν οι δείκτες του ρολογιού στις 3:00, στις 4:00 και στις 6:00; Τι είδους γωνία είναι η καθεμιά; Μπόνους: στις 3:30 είναι πάλι ορθή;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Ο κύκλος του ρολογιού έχει $360^\circ$ και 12 ώρες, άρα από αριθμό σε αριθμό είναι $360^\circ : 12 = 30^\circ$ .

3:00 → 3 διαστήματα: $3 \cdot 30^\circ = 90^\circ$ , ορθή
4:00 → 4 διαστήματα: $4 \cdot 30^\circ = 120^\circ$ , αμβλεία
6:00 → 6 διαστήματα: $6 \cdot 30^\circ = 180^\circ$ , ευθεία

Μπόνους: Στις 3:30 ο λεπτοδείκτης είναι στο 6, αλλά ο ωροδείκτης δεν έμεινε στο 3 — προχώρησε στη μέση ανάμεσα στο 3 και στο 4, δηλαδή μισό διάστημα ( $15^\circ$ ). Ανάμεσα στους δείκτες μένουν 2 και μισό διαστήματα: $60^\circ + 15^\circ = 75^\circ$ , οξεία — όχι ορθή!

Απάντηση: $90^\circ$ (ορθή), $120^\circ$ (αμβλεία), $180^\circ$ (ευθεία)· στις 3:30 η γωνία είναι $75^\circ$ (οξεία).

Κόλπο μνήμης

Σκέψου ένα μυρμηγκάκι! Αν περπατάει γύρω-γύρω από το σχήμα, μετράει την περίμετρο (σε m). Αν βάφει όλο το εσωτερικό, μετράει το εμβαδόν (σε $m^2$ ).

Συνηθισμένα λάθη

Περίμετρος ορθογωνίου $= \mu + \pi\lambda$ . Ξεχνάς τις άλλες δύο πλευρές! Σωστό: $2 \cdot (\mu + \pi\lambda)$ .
Ακτίνα αντί για διάμετρο στο μήκος κύκλου. Ο τύπος θέλει $\pi \cdot \delta$ — αν ξέρεις την ακτίνα, διπλασίασέ την πρώτα.
Λάθος μονάδα: περίμετρος σε m, εμβαδόν σε $m^2$ — ποτέ ανάποδα.
Λάθος σκάλα στο μοιρογνωμόνιο: αν η γωνία φαίνεται στενή, πρέπει να είναι κάτω από $90^\circ$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

Γωνίες: οξεία $< 90^\circ$ , ορθή $= 90^\circ$ , αμβλεία ανάμεσα σε $90^\circ$ και $180^\circ$ , ευθεία $= 180^\circ$
Ορθογώνιο: $\Pi = 2 \cdot (\mu + \pi\lambda)$ και $E = \mu \cdot \pi\lambda$
Περίμετρος σε m (ή cm), εμβαδόν σε $m^2$ (ή $cm^2$ )
Κύκλος: $\delta = 2 \cdot \rho$ και μήκος κύκλου $= \pi \cdot \delta$ , με $\pi \approx 3{,}14$

Μεγάλη α...γωνία στη γωνία!

Μια γωνία σχηματίζεται όταν δύο ημιευθείες ξεκινούν από το ίδιο σημείο, την κορυφή. Τη μετράμε σε μοίρες (

^\circ

) με το μοιρογνωμόνιο.

Ορθή γωνία: ακριβώς

90^\circ

— σαν τη γωνία του τετραδίου σου!

Οξεία γωνία: μικρότερη από

90^\circ

— στενή και «μυτερή»

Αμβλεία γωνία: μεγαλύτερη από

90^\circ

και μικρότερη από

180^\circ

— φαρδιά κι ανοιχτή

Ευθεία γωνία: ακριβώς

180^\circ

— οι πλευρές της γίνονται μία ευθεία γραμμή!