Κλάσματα — Πρώτη Γνωριμία
Μισό, τέταρτο και σύγκριση με τα μάτια
Ποιο κομμάτι πίτσας να διαλέξεις;
Στο πάρτι σου προσφέρουν ή το ή το της ίδιας πίτσας. Πολλοί διαλέγουν το , «γιατί το είναι μεγαλύτερο» — και χάνουν πίτσα! Σε αυτό το μάθημα μαθαίνεις να διαβάζεις ένα κλάσμα, ώστε να μη σε ξεγελάει κανένας αριθμός.
Τα κλάσματα είναι κομμάτια! 🍕
Όταν κόβεις μια πίτσα σε ίσα κομμάτια και παίρνεις μερικά, αυτό είναι κλάσμα! Στο ο κάτω αριθμός (παρονομαστής) λέει σε πόσα ίσα κομμάτια κόπηκε η πίτσα, και ο πάνω (αριθμητής) πόσα πήρες εσύ.
Προσοχή στη λέξη-κλειδί: τα κομμάτια πρέπει να είναι ίσα — αλλιώς δεν είναι κλάσμα, είναι... αδικία!
Παρονομαστής Πόσα κομμάτια έκοψα — μένει κάτω, στο πάτωμα. Αριθμητής πόσα κομμάτια Αρπαξα — κάθεται από πάνω.
Το μισό και το τέταρτο 🥪
- Το μισό είναι το : κόβεις σε 2 ίσα κομμάτια και παίρνεις το 1
- Το τέταρτο είναι το : κόβεις σε 4 ίσα κομμάτια και παίρνεις το 1
Και να ένα μαγικό: είναι ακριβώς όσο το ! Δύο τέταρτα φτιάχνουν ένα μισό — λέγονται ισοδύναμα κλάσματα, γιατί δείχνουν το ίδιο κομμάτι με άλλο «όνομα».
Πώς φτιάχνω ισοδύναμα κλάσματα 🪄
Πολλαπλασιάζω και τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό:
Γίνεται και ανάποδα: διαιρώ και τους δύο όρους με τον ίδιο αριθμό — αυτό λέγεται απλοποίηση:
Το κομμάτι της πίτσας δεν αλλάζει· απλώς το κόβουμε σε περισσότερα ή λιγότερα κομματάκια.
Ποιο κλάσμα είναι ισοδύναμο με το ;
Σύρε και σύγκρινε τις μπάρες — θα ανακαλύψεις ότι το 1/2 και το 2/4 σκεπάζουν ΑΚΡΙΒΩΣ το ίδιο μέρος!
Σύγκριση με τα μάτια 👀
Ποιο είναι μεγαλύτερο, το ή το ; Φαντάσου τη σοκολάτα σου: αν τη μοιραστείς με 1 φίλο παίρνεις περισσότερη απ' ό,τι αν τη μοιραστείς με 3!
Όσο μεγαλύτερος ο παρονομαστής, τόσο μικρότερα τα κομμάτια. Κι αν τα κομμάτια είναι ίδια (ίδιος παρονομαστής), κερδίζει όποιος έχει τα περισσότερα: .
Τη δεκαετία του μια αμερικανική αλυσίδα φαστ φουντ έβγαλε ένα μπιφτέκι «ενός τρίτου της λίβρας» για να ανταγωνιστεί το διάσημο «ενός τετάρτου». Ήταν μεγαλύτερο, στην ίδια περίπου τιμή — κι όμως πούλησε λίγο. Πολλοί πελάτες νόμιζαν ότι το είναι μικρότερο από το , επειδή ! Εσύ πλέον ξέρεις την αλήθεια.
Κλάσμα μιας ομάδας πραγμάτων 🎈
Το κλάσμα δεν δείχνει μόνο κομμάτια πίτσας. Αν σε μπαλόνια τα είναι κόκκινα, τότε τα κόκκινα είναι τα των μπαλονιών: το σύνολο πάει κάτω, το κομμάτι που μετράμε πάει πάνω.
Και για να βρω το από καραμέλες, τις μοιράζω σε ίσες ομάδες: καραμέλες.
Παράδειγμα: Ο Νίκος έφαγε το της πίτσας του και η Άννα τα της δικής της (ίδιες πίτσες). Ποιος έφαγε περισσότερο;
Λύση: Κόβω νοερά το μισό του Νίκου στα δύο: γίνεται . Άρα — έφαγαν ακριβώς το ίδιο! Ισοπαλία! 🤝
Παράδειγμα: Σε ένα κουτί με μπισκότα φάγαμε το . Πόσα μπισκότα φάγαμε και τι κλάσμα του κουτιού έμεινε;
Λύση:
- Το των : μπισκότα φάγαμε
- Έμειναν μπισκότα, δηλαδή τα του κουτιού
- Απλοποιώ με το :
Απάντηση: Φάγαμε μπισκότα και έμειναν τα του κουτιού. Λογικό: αν φας τέταρτο, μένουν τέταρτα!
Παράδειγμα: Ποιο είναι μεγαλύτερο κομμάτι της ίδιας τούρτας: το ή το ;
Λύση: Και τα δύο είναι ένα κομμάτι. Όμως η τούρτα των πέμπτων κόβεται σε περισσότερα κομμάτια, άρα το καθένα είναι πιο μικρό. Επομένως .
Αντίθετα, στα και τα κομμάτια είναι ίδια, οπότε κερδίζει όποιος έχει περισσότερα: .
Ποιο κλάσμα δείχνει το μισό της πίτσας;
Σε μπαλόνια τα είναι κόκκινα. Τι μέρος των μπαλονιών είναι κόκκινα;
Ποιο από τα παρακάτω κλάσματα είναι το μικρότερο;
Όταν συγκρίνεις κλάσματα, ζωγράφισέ τα! Δύο ίδια ορθογώνια, κόψε το καθένα στα κομμάτια του και χρωμάτισε — το μάτι σου θα δει αμέσως ποιο κερδίζει. Και θυμήσου: μεγάλος παρονομαστής = μικρά κομματάκια!
Η γιαγιά έψησε μια πίτα. Ο Νίκος έφαγε το , η Άννα το και ο Πέτρος τα . Έμεινε περισσότερο ή λιγότερο από τη μισή πίτα;
Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση
- Κόβω νοερά όλη την πίτα σε ίσα κομμάτια. Το είναι ισοδύναμο με .
- Ο Νίκος πήρε κομμάτια, η Άννα , ο Πέτρος : σύνολο κομμάτια από τα .
- Έμειναν κομμάτια, δηλαδή τα .
- Η μισή πίτα είναι . Αφού , έμεινε λιγότερο από τη μισή.
- Άνισα κομμάτια: αν η πίτσα δεν είναι κομμένη σε ίσα κομμάτια, δεν μπορώ να πω «το ένα τέταρτο».
- Ανάποδοι όροι: « από τα » γράφεται , όχι — το σύνολο πάει κάτω.
- «Μεγάλος παρονομαστής = μεγάλο κλάσμα»: λάθος! , γιατί τα όγδοα είναι πιο μικρά κομμάτια.
- Ισοδύναμα με πρόσθεση: το ΔΕΝ ισούται με . Για ισοδύναμα πολλαπλασιάζω (ή διαιρώ) και τους δύο όρους με τον ίδιο αριθμό.
- Κλάσμα : κόβω σε ίσα κομμάτια (παρονομαστής) και παίρνω (αριθμητής)
- Ισοδύναμα κλάσματα: πολλαπλασιάζω ή διαιρώ και τους δύο όρους με τον ίδιο αριθμό, π.χ.
- Ίδιος παρονομαστής → μεγαλύτερο όποιο έχει μεγαλύτερο αριθμητή
- Ίδιος αριθμητής → μεγαλύτερο όποιο έχει μικρότερο παρονομαστή
- Κλάσμα ποσότητας: το των είναι