🌊

Υδροστατική Πίεση

Πίεση μέσα στα υγρά, p = ρ·g·h, από τι εξαρτάται και από τι όχι, συγκοινωνούντα δοχεία

Γιατί με νοιάζει;

Βουτάς στη βαθιά πλευρά της πισίνας και στα 3 μέτρα νιώθεις τα αυτιά σου να «πονάνε». Τα φράγματα χτίζονται χοντρά στη βάση και λεπτά στην κορυφή. Οι δύτες δεν κατεβαίνουν ποτέ απότομα. Όλα έχουν την ίδια αιτία: το νερό πιέζει — και πιέζει όλο και πιο δυνατά όσο πιο βαθιά πηγαίνεις.

Υδροστατική πίεση

Τα υγρά, λόγω του βάρους τους, ασκούν πίεση σε κάθε σώμα που βρίσκεται μέσα τους και στα τοιχώματα του δοχείου — αυτή λέγεται υδροστατική πίεση.

Τι την καθορίζει; Μόνο τρία πράγματα:

η πυκνότητα $\rho$ του υγρού,
η επιτάχυνση της βαρύτητας $g$ ,
το βάθος $h$ από την ελεύθερη επιφάνεια.

Δεν εξαρτάται από το σχήμα του δοχείου ούτε από την ποσότητα του υγρού! Στο ίδιο βάθος, η υδροστατική πίεση είναι ίδια προς όλες τις κατευθύνσεις — γι' αυτό τα φράγματα χτίζονται παχύτερα στη βάση τους, εκεί όπου το νερό «σπρώχνει» πιο δυνατά.

Βύθισε τον αισθητήρα όλο και πιο βαθιά και παρακολούθησε το μανόμετρο: θα ανακαλύψεις ότι η πίεση μεγαλώνει ανάλογα με το βάθος — διπλάσιο βάθος, διπλάσια υδροστατική πίεση — και ότι στο ίδιο βάθος δείχνει την ίδια τιμή όπως κι αν στρίψεις τον αισθητήρα.

$p = \rho \cdot g \cdot h \qquad \rho_{\text{νερού}} = 1000 \; \frac{\text{kg}}{\text{m}^3}$

Κόλπο μνήμης

Η υδροστατική πίεση κοιτάζει μόνο δύο πράγματα: πόσο βαθιά είσαι και ποιο υγρό — ποτέ το σχήμα ή το πλάτος του δοχείου. Και ένας χρήσιμος αριθμός: στο νερό, κάθε 10 m βάθους προσθέτουν περίπου μία ατμόσφαιρα, αφού $1000 \cdot 10 \cdot 10 = 100.000 \; \text{Pa}$ .

Μέθοδος: ασκήσεις πίεσης

Όλα σε S.I.: δύναμη σε N, εμβαδόν σε $\text{m}^2$ ( $1 \; \text{cm}^2 = 0{,}0001 \; \text{m}^2$ ), βάθος σε m, πυκνότητα σε $\text{kg/m}^3$ .
Στερεό σε επιφάνεια: $p = \frac{F}{A}$ , όπου $F$ η κάθετη δύναμη (συχνά το βάρος).
Μέσα σε υγρό: μέτρησε το $h$ από την ελεύθερη επιφάνεια προς τα κάτω και υπολόγισε $p = \rho g h$ .
Αν ζητείται η ολική πίεση σε ανοιχτό δοχείο ή λίμνη: $p_{\text{ολ}} = p_{\text{ατμ}} + \rho g h$ .
Αν ζητείται δύναμη σε επιφάνεια (πώμα, τοίχωμα, έμβολο): $F = p \cdot A$ .

Παράδειγμα 2 — το στόμιο της πισίνας: Πισίνα έχει βάθος $h = 2 \; \text{m}$ . Στον πυθμένα υπάρχει στόμιο αποχέτευσης εμβαδού $A = 50 \; \text{cm}^2$ . Δίνονται $\rho = 1000 \; \text{kg/m}^3$ , $g = 10 \; \text{m/s}^2$ .

Δεδομένα: $h = 2 \; \text{m}$ , $A = 50 \; \text{cm}^2$ , $\rho = 1000 \; \text{kg/m}^3$ , $g = 10 \; \text{m/s}^2$ .

Ζητούμενα: (α) η υδροστατική πίεση στον πυθμένα, (β) η δύναμη του νερού στο καπάκι του στομίου, (γ) η υδροστατική πίεση στο μισό βάθος.

Λύση:

(α) $p = \rho g h = 1000 \cdot 10 \cdot 2 = 20.000 \; \text{Pa}$ .

(β) $A = 50 \; \text{cm}^2 = 0{,}005 \; \text{m}^2$ , άρα $F = p \cdot A = 20.000 \cdot 0{,}005 = 100 \; \text{N}$ — όσο το βάρος μάζας 10 kg!

(γ) Στο $h = 1 \; \text{m}$ : $p = 1000 \cdot 10 \cdot 1 = 10.000 \; \text{Pa}$ — μισό βάθος, μισή πίεση, γιατί $p$ και $h$ είναι ανάλογα.

Απάντηση: $20.000 \; \text{Pa}$ , $100 \; \text{N}$ , $10.000 \; \text{Pa}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Ένα ψηλό στενό μπουκάλι και μια φαρδιά λεκάνη περιέχουν νερό με το ίδιο ύψος στάθμης, 30 cm. Πού είναι μεγαλύτερη η υδροστατική πίεση στον πυθμένα;

Λυμένη άσκηση — το ενυδρείο: Ένα ενυδρείο είναι γεμάτο νερό ως ύψος $60 \; \text{cm}$ ( $\rho = 1000 \; \text{kg/m}^3$ , $g = 10 \; \text{m/s}^2$ ).

(α) Πίεση του νερού στον πυθμένα: $p = 1000 \cdot 10 \cdot 0{,}6 = 6000 \; \text{Pa}$ .

(β) Σε ένα ψαράκι $20 \; \text{cm}$ κάτω από την επιφάνεια: $p = 1000 \cdot 10 \cdot 0{,}2 = 2000 \; \text{Pa}$ — και ίδια από όλες τις κατευθύνσεις γύρω του.

(γ) Γιατί το τζάμι είναι πιο χοντρό όσο πιο ψηλό είναι το ενυδρείο; Γιατί η πίεση στο κάτω μέρος του τοιχώματος μεγαλώνει ανάλογα με το βάθος: ενυδρείο διπλάσιου ύψους σημαίνει διπλάσια πίεση στη βάση.

Συγκοινωνούντα δοχεία

Όταν δοχεία διαφορετικού σχήματος ενώνονται στη βάση τους και περιέχουν το ίδιο υγρό, η ελεύθερη επιφάνεια του υγρού ισορροπεί στο ίδιο ύψος σε όλα. Ο λόγος: σε κάθε οριζόντιο επίπεδο μέσα στο υγρό η πίεση πρέπει να είναι ίδια, και αφού $p = \rho g h$ , ίδια πίεση σημαίνει ίδιο βάθος από την επιφάνεια.

Εφαρμογές: το ποτιστήρι (το στόμιο φτάνει ως το ύψος της στάθμης, αλλιώς θα ξεχείλιζε), το λάστιχο-αλφάδι των οικοδόμων για να βρουν σημεία στο ίδιο ύψος, ο δείκτης στάθμης στον βραστήρα, και η ύδρευση από δεξαμενές χτισμένες ψηλά σε λόφους.

Λυμένη άσκηση 3 — λάδι ή νερό; Ένα δοχείο περιέχει λάδι ( $\rho_\lambda = 800 \; \text{kg/m}^3$ ) ύψους $0{,}5 \; \text{m}$ ( $g = 10 \; \text{m/s}^2$ ).

(α) Πίεση του λαδιού στον πυθμένα: $p = 800 \cdot 10 \cdot 0{,}5 = 4000 \; \text{Pa}$ .

(β) Με νερό στο ίδιο ύψος: $p = 1000 \cdot 10 \cdot 0{,}5 = 5000 \; \text{Pa}$ — πυκνότερο υγρό, μεγαλύτερη πίεση.

(γ) Πόσο λάδι χρειάζεται για $5000 \; \text{Pa}$ ; $h = \frac{5000}{800 \cdot 10} = 0{,}625 \; \text{m}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Σε ποιο βάθος μέσα σε νερό η υδροστατική πίεση είναι 20.000 Pa; (ρ = 1000 kg/m³, g = 10 m/s²)

Ήξερες ότι;

Στο βαθύτερο σημείο των ωκεανών, την Τάφρο των Μαριανών (περίπου $11 \; \text{km}$ βάθος), η πίεση ξεπερνά τις 1000 ατμόσφαιρες — σαν να ακουμπούσε ένα αυτοκίνητο πάνω σε κάθε τετραγωνικό εκατοστό σου. Κι όμως, εκεί ζουν ψάρια και γαρίδες: το σώμα τους είναι γεμάτο νερό, που σχεδόν δεν συμπιέζεται, οπότε δεν «λιώνουν».

Γρήγορος έλεγχος

Σε ένα φράγμα, πού ασκεί το νερό τη μεγαλύτερη πίεση;

Στην υδροστατική πίεση το $h$ είναι το βάθος από την ελεύθερη επιφάνεια προς τα κάτω — όχι η απόσταση από τον πυθμένα. Και θυμήσου τη χρυσή ερώτηση θεωρίας: το σχήμα του δοχείου δεν επηρεάζει την υδροστατική πίεση, μόνο το βάθος μετράει.

Πρόκληση

Ένας ψηλός στενός κύλινδρος με βάση $10 \; \text{cm}^2$ και μια φαρδιά λεκάνη με βάση $1000 \; \text{cm}^2$ έχουν νερό με το ίδιο ύψος, $20 \; \text{cm}$ ( $\rho = 1000 \; \text{kg/m}^3$ , $g = 10 \; \text{N/kg}$ , κατακόρυφα τοιχώματα). (α) Πόση είναι η πίεση του νερού στον πυθμένα του καθενός; (β) Πόση δύναμη ασκεί το νερό σε κάθε πυθμένα; (γ) Σύγκρινε με το βάρος του νερού σε κάθε δοχείο.

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

(α) Και στα δύο: $p = 1000 \cdot 10 \cdot 0{,}2 = 2000 \; \text{Pa}$ — ίδιο βάθος, ίδια πίεση.

(β) Κύλινδρος: $F = 2000 \cdot 0{,}001 = 2 \; \text{N}$ . Λεκάνη: $F = 2000 \cdot 0{,}1 = 200 \; \text{N}$ .

(γ) Όγκοι: $10 \cdot 20 = 200 \; \text{cm}^3$ (μάζα $0{,}2 \; \text{kg}$ , βάρος $2 \; \text{N}$ ) και $1000 \cdot 20 = 20.000 \; \text{cm}^3$ (μάζα $20 \; \text{kg}$ , βάρος $200 \; \text{N}$ ). Η δύναμη σε κάθε πυθμένα ισούται με το βάρος του νερού του.

Απάντηση: ίδια πίεση $2000 \; \text{Pa}$ , αλλά εκατονταπλάσια δύναμη στη λεκάνη — η πίεση εξαρτάται μόνο από το βάθος, η δύναμη και από το εμβαδόν.

Συνηθισμένα λάθη

Βάθος από τον πυθμένα. Το $h$ στο $p = \rho g h$ μετριέται από την ελεύθερη επιφάνεια προς τα κάτω.
«Περισσότερο νερό, περισσότερη πίεση». Το σχήμα και η ποσότητα του υγρού δεν μετράνε — μόνο το βάθος και η πυκνότητα.
Πυκνότητα σε $\text{g/cm}^3$ στον τύπο. Στο $p = \rho g h$ η πυκνότητα μπαίνει σε $\text{kg/m}^3$ (νερό $1000$ , όχι $1$ ).
Βάθος σε cm. Τα $30 \; \text{cm}$ γίνονται $0{,}3 \; \text{m}$ πριν την αντικατάσταση.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Υδροστατική πίεση $p = \rho g h$ : ανάλογη του βάθους, ίδια προς όλες τις κατευθύνσεις, ανεξάρτητη από το σχήμα του δοχείου.
Εξαρτάται μόνο από την πυκνότητα του υγρού, το $g$ και το βάθος $h$ από την ελεύθερη επιφάνεια.
Στο νερό, κάθε $10 \; \text{m}$ βάθους προσθέτουν περίπου $100.000 \; \text{Pa}$ .
Συγκοινωνούντα δοχεία με το ίδιο υγρό: η στάθμη ισορροπεί στο ίδιο ύψος.
Δύναμη σε επιφάνεια μέσα στο υγρό: $F = p \cdot A$ .

🌊

Υδροστατική Πίεση

Πίεση μέσα στα υγρά, p = ρ·g·h, από τι εξαρτάται και από τι όχι, συγκοινωνούντα δοχεία

Γιατί με νοιάζει;

Υδροστατική πίεση

Τι την καθορίζει; Μόνο τρία πράγματα:

η πυκνότητα $\rho$ του υγρού,
η επιτάχυνση της βαρύτητας $g$ ,
το βάθος $h$ από την ελεύθερη επιφάνεια.

p = \rho g h = 1000 \cdot 10 \cdot 1.5 = 15\,kPa

1.5 m

Η πίεση αυξάνεται γραμμικά: διπλάσιο h → διπλάσιο p. Τα βελάκια έχουν ίδιο μήκος — στο ίδιο σημείο η πίεση δρα εξίσου προς όλες τις κατευθύνσεις.

$p = \rho \cdot g \cdot h \qquad \rho_{\text{νερού}} = 1000 \; \frac{\text{kg}}{\text{m}^3}$

Κόλπο μνήμης

Μέθοδος: ασκήσεις πίεσης

Όλα σε S.I.: δύναμη σε N, εμβαδόν σε $\text{m}^2$ ( $1 \; \text{cm}^2 = 0{,}0001 \; \text{m}^2$ ), βάθος σε m, πυκνότητα σε $\text{kg/m}^3$ .
Στερεό σε επιφάνεια: $p = \frac{F}{A}$ , όπου $F$ η κάθετη δύναμη (συχνά το βάρος).
Μέσα σε υγρό: μέτρησε το $h$ από την ελεύθερη επιφάνεια προς τα κάτω και υπολόγισε $p = \rho g h$ .
Αν ζητείται η ολική πίεση σε ανοιχτό δοχείο ή λίμνη: $p_{\text{ολ}} = p_{\text{ατμ}} + \rho g h$ .
Αν ζητείται δύναμη σε επιφάνεια (πώμα, τοίχωμα, έμβολο): $F = p \cdot A$ .

Δεδομένα: $h = 2 \; \text{m}$ , $A = 50 \; \text{cm}^2$ , $\rho = 1000 \; \text{kg/m}^3$ , $g = 10 \; \text{m/s}^2$ .

Λύση:

(α) $p = \rho g h = 1000 \cdot 10 \cdot 2 = 20.000 \; \text{Pa}$ .

(β) $A = 50 \; \text{cm}^2 = 0{,}005 \; \text{m}^2$ , άρα $F = p \cdot A = 20.000 \cdot 0{,}005 = 100 \; \text{N}$ — όσο το βάρος μάζας 10 kg!

(γ) Στο $h = 1 \; \text{m}$ : $p = 1000 \cdot 10 \cdot 1 = 10.000 \; \text{Pa}$ — μισό βάθος, μισή πίεση, γιατί $p$ και $h$ είναι ανάλογα.

Απάντηση: $20.000 \; \text{Pa}$ , $100 \; \text{N}$ , $10.000 \; \text{Pa}$ .

Γρήγορος έλεγχος

(α) Πίεση του νερού στον πυθμένα: $p = 1000 \cdot 10 \cdot 0{,}6 = 6000 \; \text{Pa}$ .

Συγκοινωνούντα δοχεία

(α) Πίεση του λαδιού στον πυθμένα: $p = 800 \cdot 10 \cdot 0{,}5 = 4000 \; \text{Pa}$ .

(β) Με νερό στο ίδιο ύψος: $p = 1000 \cdot 10 \cdot 0{,}5 = 5000 \; \text{Pa}$ — πυκνότερο υγρό, μεγαλύτερη πίεση.

(γ) Πόσο λάδι χρειάζεται για $5000 \; \text{Pa}$ ; $h = \frac{5000}{800 \cdot 10} = 0{,}625 \; \text{m}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Σε ποιο βάθος μέσα σε νερό η υδροστατική πίεση είναι 20.000 Pa; (ρ = 1000 kg/m³, g = 10 m/s²)

Ήξερες ότι;

Γρήγορος έλεγχος

Σε ένα φράγμα, πού ασκεί το νερό τη μεγαλύτερη πίεση;

Πρόκληση

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

(α) Και στα δύο: $p = 1000 \cdot 10 \cdot 0{,}2 = 2000 \; \text{Pa}$ — ίδιο βάθος, ίδια πίεση.

(β) Κύλινδρος: $F = 2000 \cdot 0{,}001 = 2 \; \text{N}$ . Λεκάνη: $F = 2000 \cdot 0{,}1 = 200 \; \text{N}$ .

Συνηθισμένα λάθη

Βάθος από τον πυθμένα. Το $h$ στο $p = \rho g h$ μετριέται από την ελεύθερη επιφάνεια προς τα κάτω.
«Περισσότερο νερό, περισσότερη πίεση». Το σχήμα και η ποσότητα του υγρού δεν μετράνε — μόνο το βάθος και η πυκνότητα.
Πυκνότητα σε $\text{g/cm}^3$ στον τύπο. Στο $p = \rho g h$ η πυκνότητα μπαίνει σε $\text{kg/m}^3$ (νερό $1000$ , όχι $1$ ).
Βάθος σε cm. Τα $30 \; \text{cm}$ γίνονται $0{,}3 \; \text{m}$ πριν την αντικατάσταση.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Υδροστατική πίεση $p = \rho g h$ : ανάλογη του βάθους, ίδια προς όλες τις κατευθύνσεις, ανεξάρτητη από το σχήμα του δοχείου.
Εξαρτάται μόνο από την πυκνότητα του υγρού, το $g$ και το βάθος $h$ από την ελεύθερη επιφάνεια.
Στο νερό, κάθε $10 \; \text{m}$ βάθους προσθέτουν περίπου $100.000 \; \text{Pa}$ .
Συγκοινωνούντα δοχεία με το ίδιο υγρό: η στάθμη ισορροπεί στο ίδιο ύψος.
Δύναμη σε επιφάνεια μέσα στο υγρό: $F = p \cdot A$ .