♨️

Πώς Μετράμε τη Θερμότητα

Q = m·c·Δθ, ειδική θερμότητα, θερμιδομετρία και μείξη νερών

Γιατί η θάλασσα είναι ζεστή τον Σεπτέμβριο;

Τον Ιούνιο η άμμος καίει ήδη, αλλά η θάλασσα είναι ακόμη δροσερή. Τον Σεπτέμβριο ο αέρας έχει δροσίσει, όμως το νερό είναι ζεστό. Το νερό είναι «πρωταθλητής» στο να αποθηκεύει θερμότητα: αργεί πολύ να ζεσταθεί και αργεί πολύ να κρυώσει. Εδώ θα μάθεις να μετράς ακριβώς πόση θερμότητα χρειάζεται.

Πόση θερμότητα χρειάζεται;

Η θερμότητα που πρέπει να πάρει ένα σώμα για να ανέβει η θερμοκρασία του εξαρτάται από τρία πράγματα:

τη μάζα του $m$ — διπλάσιο νερό, διπλάσια θερμότητα,
τη μεταβολή θερμοκρασίας $\Delta\theta = \theta_{τελ} - \theta_{αρχ}$ — διπλάσιο «ανέβασμα», διπλάσια θερμότητα,
το υλικό του, μέσω της ειδικής θερμότητας $c$ : πόση θερμότητα χρειάζεται 1 kg του υλικού για να ανέβει κατά 1 °C.

Το νερό έχει από τις μεγαλύτερες ειδικές θερμότητες: $c_{νερού} = 4186 \; \text{J/(kg} \cdot {}^\circ\text{C)}$ — γι' αυτό η θάλασσα ζεσταίνεται και κρυώνει αργά, «ημερεύοντας» το κλίμα των παραθαλάσσιων περιοχών.

$Q = m \cdot c \cdot \Delta\theta \qquad c_{νερού} = 4186 \; \frac{\text{J}}{\text{kg} \cdot {}^\circ\text{C}}$

Μέθοδος: ασκήσεις με $Q = m \cdot c \cdot \Delta\theta$

Μάζα σε kg ( $1 \; \text{L}$ νερού $= 1 \; \text{kg}$ , $500 \; \text{g} = 0{,}5 \; \text{kg}$ ).
Μεταβολή θερμοκρασίας: $\Delta\theta = \theta_{\text{τελ}} - \theta_{\text{αρχ}}$ (ίδια σε ${}^\circ\text{C}$ και K).
Βρες στα δεδομένα την ειδική θερμότητα $c$ του υλικού.
Αντικατέστησε στο $Q = m \cdot c \cdot \Delta\theta$ — ή λύσε ως προς το άγνωστο: $c = \frac{Q}{m \Delta\theta}$ , $\Delta\theta = \frac{Q}{m c}$ , $m = \frac{Q}{c \Delta\theta}$ .
Αν δίνεται ισχύς θερμαντήρα: $Q = P \cdot t$ , με τον χρόνο σε s.

Παράδειγμα (τύπου διαγωνίσματος): Πόση θερμότητα χρειάζεται για να θερμανθούν $m = 2 \; \text{kg}$ νερού από τους 20 °C στους 70 °C;

Λύση: Η μεταβολή θερμοκρασίας: $\Delta\theta = 70 - 20 = 50 \; {}^\circ\text{C}$ .

$Q = m \cdot c \cdot \Delta\theta = 2 \cdot 4186 \cdot 50 = 418\,600 \; \text{J} \approx 419 \; \text{kJ}$

Έλεγχος λογικής: για 1 kg και 1 °C χρειάζονται 4186 J· εδώ έχουμε διπλάσια μάζα και 50 φορές μεγαλύτερη μεταβολή, άρα $2 \cdot 50 = 100$ φορές περισσότερη θερμότητα.

Παράδειγμα — ο ηλεκτρικός θερμοσίφωνας: Θερμοσίφωνας περιέχει $80 \; \text{L}$ νερό (μάζα $80 \; \text{kg}$ ) στους $15 \; {}^\circ\text{C}$ και το ζεσταίνει στους $55 \; {}^\circ\text{C}$ . Η αντίστασή του έχει ισχύ $P = 4000 \; \text{W}$ . Δίνεται $c_{νερού} = 4186 \; \text{J/(kg} \cdot {}^\circ\text{C)}$ και θεωρούμε ότι δεν υπάρχουν απώλειες.

Δεδομένα: $m = 80 \; \text{kg}$ , $\Delta\theta = 55 - 15 = 40 \; {}^\circ\text{C}$ , $P = 4000 \; \text{W}$ .

Ζητούμενα: η θερμότητα και ο χρόνος που χρειάζεται.

Λύση: $Q = m c \Delta\theta = 80 \cdot 4186 \cdot 40 = 13.395.200 \; \text{J} \approx 13{,}4 \; \text{MJ}$ .

Από την ισχύ $P = \frac{Q}{t}$ : $t = \frac{13.395.200}{4000} \approx 3349 \; \text{s} \approx 56 \; \text{min}$ .

Απάντηση: περίπου $13{,}4 \; \text{MJ}$ και σχεδόν μία ώρα — γι' αυτό ανάβουμε τον θερμοσίφωνα αρκετά πριν από το μπάνιο!

Γρήγορος έλεγχος

Μεταλλικό κομμάτι μάζας 0,5 kg απορροφά θερμότητα 4500 J και η θερμοκρασία του ανεβαίνει κατά 20 °C. Ποια είναι η ειδική θερμότητα του μετάλλου;

Γρήγορος έλεγχος

Δύο σώματα ίσης μάζας, ένα σιδερένιο (μικρό c) κι ένα νερό (μεγάλο c), παίρνουν την ίδια θερμότητα Q. Ποιο θα ανέβει περισσότερο σε θερμοκρασία;

Ήξερες ότι;

Οι «θερμίδες» στις συσκευασίες των τροφίμων είναι στην πραγματικότητα κιλοθερμίδες. Η θερμίδα (cal) ορίστηκε ως η θερμότητα που ανεβάζει τη θερμοκρασία $1 \; \text{g}$ νερού κατά $1 \; {}^\circ\text{C}$ , δηλαδή περίπου $4{,}186 \; \text{J}$ . Άρα $1 \; \text{kcal} \approx 4186 \; \text{J}$ — ακριβώς η ειδική θερμότητα του νερού ανά kg!

Θερμιδομετρία: η λογιστική της θερμότητας

Όταν ανακατεύουμε ζεστό και κρύο νερό σε δοχείο που δεν αφήνει θερμότητα να ξεφύγει (θερμιδόμετρο), η θερμότητα ρέει από το ζεστό στο κρύο μέχρι τη θερμική ισορροπία: κοινή τελική θερμοκρασία $\theta$ .

Η αρχή της θερμιδομετρίας είναι ένα απλό ισοζύγιο, εφαρμογή της διατήρησης της ενέργειας:

$Q_{προσφερόμενη} = Q_{απορροφούμενη}$

Ό,τι θερμότητα δίνει το ζεστό σώμα καθώς κρυώνει, την παίρνει το κρύο καθώς ζεσταίνεται. Γράφουμε $Q = m \cdot c \cdot \Delta\theta$ για το καθένα (με το δικό του $\Delta\theta$ ) και λύνουμε για την άγνωστη τελική θερμοκρασία.

Παρακολούθησε τις στήλες ενέργειας των δύο σωμάτων: η στήλη του ζεστού αδειάζει ακριβώς όσο γεμίζει η στήλη του κρύου — η θερμότητα δεν χάνεται, μετακομίζει, και η ροή σταματά μόλις οι θερμοκρασίες εξισωθούν.

Μέθοδος: θερμιδομετρία βήμα-βήμα

Ξεχώρισε ποιο σώμα δίνει θερμότητα (το ζεστό) και ποιο παίρνει (το κρύο).
Γράψε για το καθένα $Q = m \cdot c \cdot \Delta\theta$ με θετικό $\Delta\theta$ : ζεστό $(\theta_{αρχ} - \theta)$ , κρύο $(\theta - \theta_{αρχ})$ .
Ισοζύγιο: $Q_{προσφ} = Q_{απορ}$ .
Αν και τα δύο είναι νερό, το $c$ απλοποιείται.
Λύσε την εξίσωση πρώτου βαθμού και έλεγξε: η τελική θερμοκρασία είναι ανάμεσα στις αρχικές.

Παράδειγμα (τύπου διαγωνίσματος): Σε θερμιδόμετρο ανακατεύουμε $m_1 = 2 \; \text{kg}$ νερό θερμοκρασίας 60 °C με $m_2 = 1 \; \text{kg}$ νερό θερμοκρασίας 30 °C. Ποια είναι η τελική θερμοκρασία $\theta$ ;

Λύση: Το ζεστό δίνει: $Q_1 = m_1 c (60 - \theta)$ . Το κρύο παίρνει: $Q_2 = m_2 c (\theta - 30)$ .

Ισοζύγιο $Q_1 = Q_2$ : $2c(60 - \theta) = 1 \cdot c(\theta - 30)$

Το $c$ απλοποιείται: $120 - 2\theta = \theta - 30 \Rightarrow 150 = 3\theta \Rightarrow \theta = 50 \; {}^\circ\text{C}$

Λογικό: η τελική θερμοκρασία είναι ανάμεσα στις αρχικές, και πιο κοντά στους 60 °C, γιατί το ζεστό νερό έχει διπλάσια μάζα και «βαραίνει» περισσότερο στη μείξη.

Παράδειγμα — πόσο κρύο νερό να ρίξω; Έχουμε $20 \; \text{kg}$ νερό στους $70 \; {}^\circ\text{C}$ και θέλουμε νερό στους $50 \; {}^\circ\text{C}$ προσθέτοντας κρύο νερό $10 \; {}^\circ\text{C}$ . Πόση μάζα κρύου νερού χρειάζεται (χωρίς απώλειες);

Λύση: Το ζεστό δίνει $Q_1 = 20 \cdot c \cdot (70 - 50) = 20 \cdot c \cdot 20$ . Το κρύο παίρνει $Q_2 = m \cdot c \cdot (50 - 10) = m \cdot c \cdot 40$ .

$Q_1 = Q_2 \Rightarrow 400 \, c = 40 \, m \, c \Rightarrow m = 10 \; \text{kg}$ .

Έλεγχος: $2 \cdot (70 - 50) = 40 = 1 \cdot (50 - 10)$ ✓ — λογικό: το κρύο απέχει διπλάσια από τους $50 \; {}^\circ\text{C}$ , άρα χρειάζεται η μισή μάζα.

Γρήγορος έλεγχος

Ανακατεύουμε ίσες μάζες νερού: 1 kg στους 80 °C και 1 kg στους 20 °C (χωρίς απώλειες). Η τελική θερμοκρασία θα είναι:

Στη θερμιδομετρία γράφε τα $\Delta\theta$ ώστε να βγαίνουν θετικά: για το ζεστό σώμα $(\theta_{αρχ} - \theta)$ , για το κρύο $(\theta - \theta_{αρχ})$ . Όταν και τα δύο σώματα είναι νερό, το $c$ απλοποιείται και γλιτώνεις πράξεις. Και πάντα ο έλεγχος στο τέλος: η τελική θερμοκρασία πρέπει να βγει ανάμεσα στις δύο αρχικές, πιο κοντά σε αυτή του σώματος με τη μεγαλύτερη μάζα.

Πρόκληση

Βγάζεις από τον φούρνο ένα αλουμινένιο ταψί μάζας $2 \; \text{kg}$ στους $100 \; {}^\circ\text{C}$ και το βυθίζεις σε λεκάνη με $3 \; \text{kg}$ νερού στους $20 \; {}^\circ\text{C}$ . Δίνονται $c_{\text{Al}} = 900 \; \frac{\text{J}}{\text{kg} \cdot {}^\circ\text{C}}$ , $c_{\text{νερού}} \approx 4200 \; \frac{\text{J}}{\text{kg} \cdot {}^\circ\text{C}}$ και ότι δεν υπάρχουν απώλειες. (α) Ποια θα είναι η κοινή τελική θερμοκρασία; (β) Πόσο «έπεσε» το ταψί και πόσο «ανέβηκε» το νερό — γιατί τόσο διαφορετικά;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

(α) Θερμότητα που δίνει το ταψί = θερμότητα που παίρνει το νερό:

$2 \cdot 900 \cdot (100 - \theta) = 3 \cdot 4200 \cdot (\theta - 20)$

$1800 \cdot (100 - \theta) = 12.600 \cdot (\theta - 20)$

Διαιρούμε με $1800$ : $100 - \theta = 7 \cdot (\theta - 20) \Rightarrow 100 - \theta = 7\theta - 140 \Rightarrow 8\theta = 240 \Rightarrow \theta = 30 \; {}^\circ\text{C}$ .

Έλεγχος: ταψί $2 \cdot 900 \cdot 70 = 126.000 \; \text{J}$ , νερό $3 \cdot 4200 \cdot 10 = 126.000 \; \text{J}$ ✔.

(β) Το ταψί ψύχθηκε κατά $70 \; {}^\circ\text{C}$ , το νερό θερμάνθηκε μόνο κατά $10 \; {}^\circ\text{C}$ — με την ίδια θερμότητα. Το νερό έχει πολύ μεγαλύτερη ειδική θερμότητα (και εδώ και μεγαλύτερη μάζα), άρα «σηκώνει» πολλή θερμότητα με μικρή αλλαγή θερμοκρασίας.

Απάντηση: $\theta = 30 \; {}^\circ\text{C}$ · ίδια θερμότητα, αλλά $70$ βαθμοί πτώση για το αλουμίνιο και μόλις $10$ βαθμοί άνοδος για το νερό.

Συνηθισμένα λάθη

Αρνητικό $\Delta\theta$ στο ζεστό σώμα. Γράψε $(\theta_{αρχ} - \theta)$ για αυτό που κρυώνει, ώστε και οι δύο θερμότητες να βγαίνουν θετικές.
Πρόσθεση θερμοκρασιών στη μείξη. $80 \; {}^\circ\text{C} + 20 \; {}^\circ\text{C}$ δεν κάνουν $100 \; {}^\circ\text{C}$ · η τελική είναι πάντα ανάμεσα.
Λίτρα και γραμμάρια: $1 \; \text{L}$ νερού έχει μάζα $1 \; \text{kg}$ · τα γραμμάρια θέλουν μετατροπή σε kg όταν το $c$ είναι σε J/(kg·°C).

Σύνοψη — τι κρατάμε

$Q = m \cdot c \cdot \Delta\theta$ — το $c$ είναι ιδιότητα του υλικού· $c_{νερού} = 4186 \; \text{J/(kg} \cdot {}^\circ\text{C)}$ , από τα μεγαλύτερα.
Μικρό $c$ → μεγάλη άνοδος θερμοκρασίας για την ίδια θερμότητα.
Με ισχύ θερμαντήρα: $Q = P \cdot t$ .
Θερμιδομετρία: $Q_{προσφ} = Q_{απορ}$ · η τελική θερμοκρασία είναι ανάμεσα στις αρχικές, πιο κοντά στο σώμα με τη μεγαλύτερη μάζα.

Πόση θερμότητα χρειάζεται;

Η θερμότητα που πρέπει να πάρει ένα σώμα για να ανέβει η θερμοκρασία του εξαρτάται από τρία πράγματα:

τη μάζα του

m

— διπλάσιο νερό, διπλάσια θερμότητα,

τη μεταβολή θερμοκρασίας

\Delta\theta = \theta_{τελ} - \theta_{αρχ}

— διπλάσιο «ανέβασμα», διπλάσια θερμότητα,

το υλικό του, μέσω της ειδικής θερμότητας

c

: πόση θερμότητα χρειάζεται 1 kg του υλικού για να ανέβει κατά 1 °C.

Το νερό έχει από τις μεγαλύτερες ειδικές θερμότητες:

c_{νερού} = 4186 \; \text{J/(kg} \cdot {}^\circ\text{C)}

— γι' αυτό η θάλασσα ζεσταίνεται και κρυώνει αργά, «ημερεύοντας» το κλίμα των παραθαλάσσιων περιοχών.

Πώς Μετράμε τη Θερμότητα

Γιατί η θάλασσα είναι ζεστή τον Σεπτέμβριο;

Πόση θερμότητα χρειάζεται;

Μέθοδος: ασκήσεις με Q=m⋅c⋅ΔθQ = m \cdot c \cdot \Delta\thetaQ=m⋅c⋅Δθ

Θερμιδομετρία: η λογιστική της θερμότητας

Μέθοδος: θερμιδομετρία βήμα-βήμα

Πώς Μετράμε τη Θερμότητα

Γιατί η θάλασσα είναι ζεστή τον Σεπτέμβριο;

Πόση θερμότητα χρειάζεται;

Μέθοδος: ασκήσεις με Q=m⋅c⋅ΔθQ = m \cdot c \cdot \Delta\thetaQ=m⋅c⋅Δθ

Θερμιδομετρία: η λογιστική της θερμότητας

Μέθοδος: θερμιδομετρία βήμα-βήμα

Μέθοδος: ασκήσεις με $Q = m \cdot c \cdot \Delta\theta$

Μέθοδος: ασκήσεις με $Q = m \cdot c \cdot \Delta\theta$