📍

Περιγραφή της Κίνησης

Σημείο αναφοράς, θέση σε άξονα, τροχιά, μετατόπιση και διάστημα, χρονική στιγμή και διάρκεια

Γιατί με νοιάζει;

Κάθεσαι στο λεωφορείο και ο φίλος σου από τη στάση σε βλέπει να «φεύγεις» με 50 km/h — ενώ εσύ νιώθεις απόλυτα ακίνητος στο κάθισμά σου. Ποιος έχει δίκιο; Και οι δύο! Πριν μετρήσουμε ταχύτητες, πρέπει να συμφωνήσουμε από πού κοιτάμε την κίνηση και πώς γράφουμε πού βρίσκεται κάτι.

Πώς περιγράφουμε την κίνηση

Ένα σώμα κινείται όταν αλλάζει θέση ως προς ένα σημείο αναφοράς. Γι' αυτό λέμε ότι η κίνηση είναι σχετική: ο επιβάτης του τρένου είναι ακίνητος ως προς το κάθισμά του, αλλά κινείται ως προς τον σταθμό.

Τροχιά λέγεται η γραμμή που διαγράφει το σώμα καθώς κινείται — ευθύγραμμη ή καμπυλόγραμμη.

Δύο μεγέθη που μπερδεύονται συχνά:

Διάστημα $s$ : το μήκος της τροχιάς, δηλαδή πόσο δρόμο διένυσε το σώμα.
Μετατόπιση $\Delta x$ : το ευθύγραμμο τμήμα από την αρχική στην τελική θέση, με κατεύθυνση — διανυσματικό μέγεθος.

Αν περπατήσεις 3 m δεξιά και μετά 3 m αριστερά, το διάστημα είναι 6 m, αλλά η μετατόπιση είναι μηδέν!

Γρήγορος έλεγχος

Αθλήτρια τρέχει έναν πλήρη γύρο σε στίβο 400 m και σταματά ακριβώς στο σημείο εκκίνησης. Πόσο είναι το διάστημα και πόση η μετατόπισή της;

Θέση πάνω σε άξονα

Για κίνηση σε ευθεία, διαλέγουμε ένα σημείο αναφοράς $O$ (τη «μηδενική» θέση) και μια θετική φορά — συνήθως προς τα δεξιά. Τότε η θέση $x$ ενός σώματος είναι ένας αριθμός με πρόσημο: $x = +30 \; \text{m}$ σημαίνει 30 m δεξιά από το $O$ , ενώ $x = -20 \; \text{m}$ σημαίνει 20 m αριστερά.

Η μετατόπιση βρίσκεται πάντα ως τελική μείον αρχική θέση: $\Delta x = x_{\text{τελ}} - x_{\text{αρχ}}$ . Το πρόσημό της δείχνει τη φορά: θετική προς τα δεξιά, αρνητική προς τα αριστερά.
Η χρονική στιγμή $t$ είναι μια «ένδειξη του χρονομέτρου» (π.χ. $t = 5 \; \text{s}$ ), ενώ η χρονική διάρκεια $\Delta t = t_{\text{τελ}} - t_{\text{αρχ}}$ είναι το πόσο κράτησε κάτι.

Το διάστημα $s$ δεν έχει πρόσημο: είναι πάντα θετικό και ποτέ μικρότερο από το μέτρο της μετατόπισης.

$\Delta x = x_{\text{τελ}} - x_{\text{αρχ}} \qquad \Delta t = t_{\text{τελ}} - t_{\text{αρχ}} \qquad s \ge |\Delta x|$

Κόλπο μνήμης

Το διάστημα είναι ό,τι μετράει ο χιλιομετρητής του αυτοκινήτου — κάθε μέτρο δρόμου, ακόμη κι αν γυρίσεις πίσω. Η μετατόπιση είναι το βέλος στον χάρτη από την «καρφίτσα» της αρχής στην «καρφίτσα» του τέλους. Γύρος του στίβου: ο χιλιομετρητής γράφει 400 m, το βέλος έχει μήκος μηδέν.

Μέθοδος: θέση, μετατόπιση, διάστημα

Διάλεξε σημείο αναφοράς $O$ και θετική φορά — και κράτα τα ίδια σε όλη την άσκηση.
Γράψε κάθε θέση με πρόσημο ( $x_A$ , $x_B$ , ...).
Μετατόπιση: $\Delta x = x_{\text{τελ}} - x_{\text{αρχ}}$ . Το πρόσημο δείχνει τη φορά.
Διάστημα: πρόσθεσε τα μήκη κάθε κομματιού χωριστά (χωρίς πρόσημα), ειδικά όταν το σώμα αλλάζει φορά.
Έλεγχος: $s \ge |\Delta x|$ . Ισότητα ισχύει μόνο αν το σώμα δεν γύρισε ποτέ πίσω.

Λυμένη άσκηση 1 — θελήματα στη γειτονιά: Η Ελένη ξεκινά από το σπίτι της ( $x = 0$ ), πηγαίνει στο περίπτερο στη θέση $x = +300 \; \text{m}$ και μετά γυρίζει προς τα πίσω ως το φαρμακείο, στη θέση $x = +100 \; \text{m}$ .

(α) Μετατόπιση κάθε κομματιού: $\Delta x_1 = 300 - 0 = +300 \; \text{m}$ και $\Delta x_2 = 100 - 300 = -200 \; \text{m}$ (το μείον δείχνει ότι γύρισε προς τα αριστερά).

(β) Συνολική μετατόπιση: $\Delta x = x_{\text{τελ}} - x_{\text{αρχ}} = 100 - 0 = +100 \; \text{m}$ — ίδια με το άθροισμα $+300 + (-200)$ .

(γ) Διάστημα: $s = 300 + 200 = 500 \; \text{m}$ . Η Ελένη περπάτησε 500 m, αλλά κατέληξε μόνο 100 m μακριά από το σπίτι.

Γρήγορος έλεγχος

Ένα σώμα πάνω σε άξονα πηγαίνει από τη θέση x = +8 m στη θέση x = −4 m. Πόση είναι η μετατόπισή του;

Λυμένη άσκηση 2 — ο ανελκυστήρας: Παίρνουμε κατακόρυφο άξονα με $O$ το ισόγειο και θετική φορά προς τα πάνω· κάθε όροφος έχει ύψος 3 m. Ο ανελκυστήρας ξεκινά τη στιγμή $t = 5 \; \text{s}$ από τον 2ο όροφο, κατεβαίνει στο υπόγειο $-1$ και μετά ανεβαίνει στον 4ο όροφο, όπου σταματά τη στιγμή $t = 45 \; \text{s}$ .

Δεδομένα: $x_A = +6 \; \text{m}$ , $x_B = -3 \; \text{m}$ , $x_\Gamma = +12 \; \text{m}$ , $t_{\text{αρχ}} = 5 \; \text{s}$ , $t_{\text{τελ}} = 45 \; \text{s}$ .

Ζητούμενα: η συνολική μετατόπιση, το διάστημα και η χρονική διάρκεια της διαδρομής.

Λύση: $\Delta x = x_\Gamma - x_A = 12 - 6 = +6 \; \text{m}$ (προς τα πάνω).

Διάστημα, κομμάτι-κομμάτι: κάθοδος $6 - (-3) = 9 \; \text{m}$ , άνοδος $12 - (-3) = 15 \; \text{m}$ , άρα $s = 9 + 15 = 24 \; \text{m}$ .

Διάρκεια: $\Delta t = 45 - 5 = 40 \; \text{s}$ .

Απάντηση: $\Delta x = +6 \; \text{m}$ , $s = 24 \; \text{m}$ , $\Delta t = 40 \; \text{s}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Ο Γιώργος κάθεται στη θέση του μέσα σε τρένο που κινείται. Ποια πρόταση είναι σωστή;

Λυμένη άσκηση 3 — αγώνας κολύμβησης: Στα $200 \; \text{m}$ ελεύθερο σε πισίνα μήκους $50 \; \text{m}$ , η κολυμβήτρια κάνει 4 μήκη πηγαινέλα.

(α) Στο τέλος του αγώνα: διάστημα $s = 4 \cdot 50 = 200 \; \text{m}$ , αλλά βρίσκεται στο τοίχωμα της εκκίνησης, άρα $\Delta x = 0$ .

(β) Μετά από 3 μήκη: $s = 150 \; \text{m}$ και βρίσκεται στο απέναντι τοίχωμα, άρα $|\Delta x| = 50 \; \text{m}$ .

(γ) Παρατήρησε ότι σε κάθε περίπτωση $s \ge |\Delta x|$ — το διάστημα μετρά κάθε μέτρο, η μετατόπιση μόνο πού κατέληξες.

Ήξερες ότι;

Ακόμη κι όταν κάθεσαι εντελώς ακίνητος στο θρανίο, ως προς τον Ήλιο ταξιδεύεις μαζί με τη Γη με περίπου $30 \; \text{km/s}$ — πάνω από $100.000 \; \text{km/h}$ ! Το ίδιο σώμα είναι ακίνητο ή «πύραυλος», ανάλογα με το σημείο αναφοράς.

Γρήγορος έλεγχος

Ποια σχέση ισχύει ΠΑΝΤΑ ανάμεσα στο διάστημα s και στο μέτρο της μετατόπισης |Δx| ενός σώματος;

Πρόκληση

Ένα σαλιγκάρι σκαρφαλώνει σε κατακόρυφο τοίχο ύψους $10 \; \text{m}$ : κάθε μέρα ανεβαίνει $3 \; \text{m}$ και κάθε νύχτα γλιστρά $2 \; \text{m}$ προς τα κάτω. (α) Πόση είναι η μετατόπιση και πόσο το διάστημα μετά από ένα 24ωρο; (β) Ποια μέρα φτάνει στην κορυφή; (γ) Πόσο διάστημα έχει διανύσει τότε;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

(α) $\Delta x = +3 - 2 = +1 \; \text{m}$ , ενώ $s = 3 + 2 = 5 \; \text{m}$ .

(β) Μετά από 7 πλήρη 24ωρα βρίσκεται στα $7 \; \text{m}$ . Την 8η μέρα ανεβαίνει $3 \; \text{m}$ και φτάνει στα $10 \; \text{m}$ — στην κορυφή, πριν προλάβει να γλιστρήσει!

(γ) $s = 7 \cdot 5 + 3 = 38 \; \text{m}$ , για μετατόπιση μόλις $+10 \; \text{m}$ .

Απάντηση: (α) $+1 \; \text{m}$ και $5 \; \text{m}$ · (β) την 8η μέρα (όχι τη 10η!)· (γ) $38 \; \text{m}$ .

Συνηθισμένα λάθη

Διάστημα = μετατόπιση. Ισχύει μόνο αν το σώμα κινείται σε ευθεία χωρίς να γυρίσει πίσω· στη διαδρομή «πήγαινε–έλα» η μετατόπιση μπορεί να είναι μηδέν.
Αρχική μείον τελική. Η μετατόπιση είναι $x_{\text{τελ}} - x_{\text{αρχ}}$ · ανάποδα βγάζεις το σωστό μέτρο με λάθος φορά.
Θέσεις χωρίς πρόσημο. Σημείο αριστερά από το $O$ έχει αρνητική θέση — αν το ξεχάσεις, η μετατόπιση βγαίνει λάθος.
Στιγμή ή διάρκεια; «Τη στιγμή $t = 5 \; \text{s}$ » δεν είναι το ίδιο με «για $5 \; \text{s}$ »: η διάρκεια είναι πάντα διαφορά δύο στιγμών.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Η κίνηση είναι σχετική: περιγράφεται πάντα ως προς ένα σημείο αναφοράς.
Διάστημα $s$ = μήκος τροχιάς· μετατόπιση $\Delta x$ = από αρχική σε τελική θέση, με κατεύθυνση.
Θέση $x$ με πρόσημο ως προς σημείο αναφοράς· $\Delta x = x_{\text{τελ}} - x_{\text{αρχ}}$ , το πρόσημο δείχνει τη φορά.
Χρονική στιγμή $t$ ≠ χρονική διάρκεια $\Delta t = t_{\text{τελ}} - t_{\text{αρχ}}$ .
Πάντα $s \ge |\Delta x|$ · σε διαδρομή «πήγαινε–έλα» η μετατόπιση μπορεί να είναι μηδέν.

Πώς περιγράφουμε την κίνηση

Τροχιά λέγεται η γραμμή που διαγράφει το σώμα καθώς κινείται — ευθύγραμμη ή καμπυλόγραμμη.

Δύο μεγέθη που μπερδεύονται συχνά:

Διάστημα

s

: το μήκος της τροχιάς, δηλαδή πόσο δρόμο διένυσε το σώμα.

Μετατόπιση

\Delta x

: το ευθύγραμμο τμήμα από την αρχική στην τελική θέση, με κατεύθυνση — διανυσματικό μέγεθος.

Αν περπατήσεις 3 m δεξιά και μετά 3 m αριστερά, το διάστημα είναι 6 m, αλλά η μετατόπιση είναι μηδέν!