💪

Η Έννοια της Δύναμης

Αποτελέσματα της δύναμης, διανυσματικό μέγεθος, newton, δυνάμεις επαφής και από απόσταση, νόμος του Hooke, δυναμόμετρο

Γιατί με νοιάζει;

Κλοτσάς μια μπάλα και φεύγει· σφίγγεις ένα μπαλάκι του στρες και ζουλιέται· ο μαγνήτης τραβά τον συνδετήρα χωρίς καν να τον αγγίξει. Τι κοινό έχουν; Σε όλα ασκείται μια δύναμη. Εδώ μαθαίνεις τι ακριβώς είναι, πώς τη σχεδιάζουμε και πώς τη μετράμε με ένα απλό ελατήριο.

Τι είναι η δύναμη

Η δύναμη δεν υπάρχει «μόνη της» — είναι πάντα αλληλεπίδραση ανάμεσα σε δύο σώματα. Τα αποτελέσματά της είναι δύο ειδών: μεταβάλλει την κινητική κατάσταση ενός σώματος (το επιταχύνει, το φρενάρει, το στρίβει) ή το παραμορφώνει.

Η δύναμη είναι διανυσματικό μέγεθος: έχει μέτρο, διεύθυνση και φορά, γι' αυτό τη σχεδιάζουμε με βέλος $\vec{F}$ . Μονάδα μέτρησης το 1 Newton (N) — περίπου όσο το βάρος ενός μικρού μήλου!

Οι δυνάμεις ασκούνται με επαφή (σπρώξιμο, τριβή, τάση νήματος) ή από απόσταση (βάρος, μαγνητικές, ηλεκτρικές).

Γρήγορος έλεγχος

Σε ποια περίπτωση το αποτέλεσμα της δύναμης είναι μόνο παραμόρφωση;

Πώς σχεδιάζουμε μια δύναμη

Αφού η δύναμη είναι διανυσματική, το βέλος της πρέπει να δείχνει τέσσερα πράγματα:

το σημείο εφαρμογής (πού ασκείται — από εκεί ξεκινά το βέλος),
τη διεύθυνση (την ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται: οριζόντια, κατακόρυφη, πλάγια),
τη φορά (προς τα πού δείχνει η μύτη),
το μέτρο (πόσα N), που το δείχνει το μήκος του βέλους με μια κλίμακα, π.χ. $1 \; \text{cm} \leftrightarrow 10 \; \text{N}$ .

Δύο δυνάμεις είναι ίσες μόνο αν έχουν ίδιο μέτρο και ίδια διεύθυνση και ίδια φορά. Δύο δυνάμεις $20 \; \text{N}$ , η μία προς τα δεξιά και η άλλη προς τα αριστερά, δεν είναι ίσες — είναι αντίθετες.

Το ελατήριο μετράει δυνάμεις

Όταν τραβάμε ένα ελατήριο, αυτό επιμηκύνεται — και ο νόμος του Hooke λέει ότι η επιμήκυνση είναι ανάλογη της δύναμης: διπλάσια δύναμη, διπλάσια επιμήκυνση. Πάνω σε αυτό στηρίζεται το δυναμόμετρο, το «μέτρο» των δυνάμεων.

Παρατήρησε ότι δύναμη και επιμήκυνση του ελατηρίου είναι ανάλογα ποσά: όσο διπλασιάζεις τη δύναμη, διπλασιάζεται η επιμήκυνση και η γραφική παράσταση είναι ευθεία που περνά από την αρχή των αξόνων — η «υπογραφή» κάθε νόμου αναλογίας στη φυσική.

$F = k \cdot x \qquad k = \frac{F}{x} \qquad \text{μονάδα του } k\text{: } 1 \; \frac{\text{N}}{\text{m}}$

Γρήγορος έλεγχος

Ελατήριο επιμηκύνεται κατά 3 cm όταν του ασκούμε δύναμη 6 N. Πόση θα είναι η επιμήκυνση με δύναμη 10 N (χωρίς να ξεπεράσουμε το όριο ελαστικότητας);

Μέθοδος: ασκήσεις με ελατήριο (νόμος του Hooke)

Βρες την επιμήκυνση: $x = \ell - \ell_0$ (μήκος τώρα μείον φυσικό μήκος) — όχι το συνολικό μήκος.
Μονάδες: αν το $k$ είναι σε $\text{N/m}$ , η επιμήκυνση μπαίνει σε m ( $1 \; \text{cm} = 0{,}01 \; \text{m}$ ).
Από ένα γνωστό ζευγάρι τιμών βρες τη σταθερά: $k = \frac{F}{x}$ .
Άγνωστη δύναμη: $F = k \cdot x$ · άγνωστη επιμήκυνση: $x = \frac{F}{k}$ . Εναλλακτικά, με αναλογία: $\frac{F_1}{x_1} = \frac{F_2}{x_2}$ .
Έλεγχος: διπλάσια δύναμη πρέπει να δίνει διπλάσια επιμήκυνση — και ο νόμος ισχύει μόνο μέσα στο όριο ελαστικότητας.

Παράδειγμα — το δυναμόμετρο: Κρεμάμε στο ελατήριο ενός δυναμόμετρου βάρος $5 \; \text{N}$ και επιμηκύνεται $2 \; \text{cm}$ . Δίνεται $g = 10 \; \text{N/kg}$ .

Δεδομένα: $F_1 = 5 \; \text{N}$ , $x_1 = 2 \; \text{cm} = 0{,}02 \; \text{m}$ .

Ζητούμενα: (α) η σταθερά $k$ , (β) η δύναμη όταν η επιμήκυνση είναι $6 \; \text{cm}$ , (γ) η μάζα του σώματος που την προκαλεί.

Λύση:

(α) $k = \frac{F_1}{x_1} = \frac{5}{0{,}02} = 250 \; \text{N/m}$ .

(β) $x_2 = 0{,}06 \; \text{m}$ : $F_2 = k \cdot x_2 = 250 \cdot 0{,}06 = 15 \; \text{N}$ — τριπλάσια επιμήκυνση, τριπλάσια δύναμη.

(γ) Η δύναμη αυτή είναι το βάρος: $m = \frac{w}{g} = \frac{15}{10} = 1{,}5 \; \text{kg}$ .

Απάντηση: $k = 250 \; \text{N/m}$ , $F = 15 \; \text{N}$ , $m = 1{,}5 \; \text{kg}$ .

Λυμένη άσκηση 2 — φυσικό μήκος και επιμήκυνση: Ένα ελατήριο έχει φυσικό μήκος $\ell_0 = 20 \; \text{cm}$ . Όταν του κρεμάμε βάρος $4 \; \text{N}$ , το μήκος του γίνεται $24 \; \text{cm}$ .

(α) Επιμήκυνση $x = 24 - 20 = 4 \; \text{cm} = 0{,}04 \; \text{m}$ , άρα $k = \frac{4}{0{,}04} = 100 \; \text{N/m}$ .

(β) Με βάρος $10 \; \text{N}$ : $x = \frac{10}{100} = 0{,}1 \; \text{m} = 10 \; \text{cm}$ , οπότε το μήκος γίνεται $20 + 10 = 30 \; \text{cm}$ .

(γ) Αν το μήκος είναι $27 \; \text{cm}$ : $x = 7 \; \text{cm} = 0{,}07 \; \text{m}$ και $F = 100 \cdot 0{,}07 = 7 \; \text{N}$ .

Λυμένη άσκηση 3 — σχεδιάζω δυνάμεις υπό κλίμακα: Κλίμακα $1 \; \text{cm} \leftrightarrow 5 \; \text{N}$ .

(α) Το βάρος μιας τσάντας, $20 \; \text{N}$ , σχεδιάζεται με βέλος $\frac{20}{5} = 4 \; \text{cm}$ κατακόρυφο προς τα κάτω.

(β) Ένα βέλος μήκους $3{,}5 \; \text{cm}$ παριστάνει δύναμη $3{,}5 \cdot 5 = 17{,}5 \; \text{N}$ .

(γ) Χαρακτήρισε τις δυνάμεις: το βάρος και η μαγνητική δύναμη ασκούνται από απόσταση· η τάση του νήματος, το σπρώξιμο και η τριβή ασκούνται με επαφή.

Γρήγορος έλεγχος

Ελατήριο με σταθερά k = 200 N/m επιμηκύνεται κατά 5 cm. Πόση δύναμη του ασκείται;

Ήξερες ότι;

Ο Άγγλος Ρόμπερτ Χουκ ανακοίνωσε τον νόμο του το 1676 κρυμμένο σε έναν γρίφο-αναγραμματισμό: «ceiiinosssttuv». Τη λύση την αποκάλυψε το 1678: «ut tensio, sic vis» — λατινικά, «όπως η επιμήκυνση, έτσι και η δύναμη». Έτσι εξασφάλιζε ότι η ιδέα ήταν δική του, χωρίς να την προδώσει αμέσως στους ανταγωνιστές του.

Κόλπο μνήμης

Το $k$ είναι η «σκληράδα» του ελατηρίου: πόσα newton θέλει για κάθε μέτρο τεντώματος. Μεγάλο $k$ = σκληρό ελατήριο (αμορτισέρ αυτοκινήτου), μικρό $k$ = μαλακό ελατήριο (το ελατηριάκι του στυλό).

Πρόκληση

Έχεις δύο ελατήρια: το Α με $k_A = 100 \; \text{N/m}$ και το Β με $k_B = 400 \; \text{N/m}$ . Κρεμάς ένα σώμα στο Α και επιμηκύνεται $8 \; \text{cm}$ . (α) Πόσο είναι το βάρος του σώματος; (β) Πόσο θα επιμηκυνόταν το Β με το ίδιο σώμα; (γ) Ποιο ελατήριο θα διάλεγες για δυναμόμετρο που μετρά με ακρίβεια μικρές δυνάμεις, και ποιο για δυναμόμετρο ως $50 \; \text{N}$ αν η κλίμακα έχει μήκος μόνο $15 \; \text{cm}$ ;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

(α) $w = k_A \cdot x_A = 100 \cdot 0{,}08 = 8 \; \text{N}$ .

(β) $x_B = \frac{8}{400} = 0{,}02 \; \text{m} = 2 \; \text{cm}$ — τετραπλάσιο $k$ , τέταρτο της επιμήκυνσης.

(γ) Για μικρές δυνάμεις θέλουμε μεγάλη επιμήκυνση ώστε να διαβάζεται εύκολα: δύναμη $0{,}5 \; \text{N}$ τεντώνει το Α κατά $0{,}5 \; \text{cm}$ αλλά το Β μόλις $0{,}125 \; \text{cm}$ — διαλέγουμε το Α. Για $50 \; \text{N}$ το Α θα χρειαζόταν $50 \; \text{cm}$ (δεν χωράει), ενώ το Β μόνο $\frac{50}{400} = 0{,}125 \; \text{m} = 12{,}5 \; \text{cm}$ — διαλέγουμε το Β.

Απάντηση: (α) $8 \; \text{N}$ · (β) $2 \; \text{cm}$ · (γ) το μαλακό Α για ακρίβεια, το σκληρό Β για μεγάλες δυνάμεις.

Συνηθισμένα λάθη

Επιμήκυνση = συνολικό μήκος. Στο $F = k \cdot x$ μπαίνει το $x = \ell - \ell_0$ , όχι το μήκος του ελατηρίου.
Hooke με cm και N/m μαζί. Αν το $k$ είναι σε N/m, η επιμήκυνση μπαίνει σε m.
Δύναμη χωρίς φορά. Ένα « $20 \; \text{N}$ » δεν αρκεί· χρειάζεσαι και διεύθυνση και φορά — γι' αυτό σχεδιάζουμε βέλη.
«Η δύναμη μένει μέσα στη μπάλα». Η δύναμη υπάρχει μόνο όσο διαρκεί η αλληλεπίδραση: μόλις το πόδι αφήσει τη μπάλα, η κλοτσιά σταματά.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Δύναμη = αλληλεπίδραση δύο σωμάτων· αλλάζει την κίνηση ή το σχήμα ενός σώματος.
Διανυσματικό μέγεθος: σημείο εφαρμογής, διεύθυνση, φορά, μέτρο· μονάδα το $1 \; \text{N}$ .
Δυνάμεις επαφής (σπρώξιμο, τριβή, τάση νήματος) και από απόσταση (βάρος, μαγνητικές, ηλεκτρικές).
Νόμος του Hooke: $F = k \cdot x$ — η επιμήκυνση είναι ανάλογη της δύναμης· σε αυτό στηρίζεται το δυναμόμετρο.
$x = \ell - \ell_0$ σε m όταν το $k$ είναι σε N/m.

Τι είναι η δύναμη

Η δύναμη είναι διανυσματικό μέγεθος: έχει μέτρο, διεύθυνση και φορά, γι' αυτό τη σχεδιάζουμε με βέλος

\vec{F}

. Μονάδα μέτρησης το 1 Newton (N) — περίπου όσο το βάρος ενός μικρού μήλου!