🧊

Πυκνότητα

ρ = m/V, μέτρηση όγκου με υπερχείλιση, πλεύση και βύθιση

Γιατί ένα ατσάλινο πλοίο επιπλέει, ενώ ένα ατσάλινο καρφί βουλιάζει;

Το πλοίο ζυγίζει χιλιάδες τόνους, το καρφί λίγα γραμμάρια. Κι όμως, βουλιάζει το ελαφρύ! Άρα δεν αποφασίζει το βάρος. Αποφασίζει ένα μέγεθος που θα γνωρίσεις σε αυτό το μάθημα: η πυκνότητα. Στο τέλος θα μπορείς να προβλέψεις τι επιπλέει και τι όχι, πριν καν το ρίξεις στο νερό.

Τι είναι η πυκνότητα

Ένα κιλό σίδερο και ένα κιλό βαμβάκι έχουν την ίδια μάζα — αλλά καθόλου τον ίδιο όγκο! Αυτό που τα ξεχωρίζει είναι η πυκνότητα: πόση μάζα «στριμώχνεται» σε κάθε μονάδα όγκου του υλικού.

Η πυκνότητα ορίζεται ως το πηλίκο της μάζας ενός σώματος προς τον όγκο του: $\rho = \frac{m}{V}$ .

Είναι χαρακτηριστική ιδιότητα του υλικού, όχι του αντικειμένου: ένα μικρό καρφί και μια μεγάλη σιδερένια ράγα έχουν την ίδια πυκνότητα, αφού είναι από το ίδιο υλικό. Γι' αυτό η πυκνότητα βοηθά να αναγνωρίσουμε από τι είναι φτιαγμένο ένα σώμα.

Μονάδες: στο S.I. το $1 \; \text{kg/m}^3$ , στο εργαστήριο συνήθως το $1 \; \text{g/cm}^3$ . Ισχύει $1 \; \text{g/cm}^3 = 1000 \; \text{kg/m}^3$ . Το νερό έχει $\rho \approx 1 \; \text{g/cm}^3$ .

Πώς μετράμε τον όγκο

Για τη μάζα έχουμε τον ζυγό. Για τον όγκο:

Υγρά: τα ρίχνουμε σε ογκομετρικό κύλινδρο και διαβάζουμε την ένδειξη. Θυμήσου: $1 \; \text{mL} = 1 \; \text{cm}^3$ .
Στερεά με κανονικό σχήμα: γεωμετρικά, π.χ. ορθογώνιο κουτί $V = \alpha \cdot \beta \cdot \gamma$ .
Στερεά με ακανόνιστο σχήμα (πέτρα, κλειδί): η μέθοδος της υπερχείλισης ή της ανόδου της στάθμης! Βυθίζουμε το σώμα σε ογκομετρικό κύλινδρο με νερό: ο όγκος του σώματος ισούται με τον όγκο του νερού που εκτοπίζεται — δηλαδή με τη διαφορά της στάθμης πριν και μετά: $V_{\text{σώματος}} = V_{\text{μετά}} - V_{\text{πριν}}$ .

Μονάδες όγκου και σωστή ανάγνωση

Χρήσιμες σχέσεις: $1 \; \text{L} = 1000 \; \text{mL} = 1000 \; \text{cm}^3$ και $1 \; \text{m}^3 = 1000 \; \text{L}$ .

Στον ογκομετρικό κύλινδρο η επιφάνεια του νερού δεν είναι επίπεδη: σχηματίζει μια μικρή «καμπύλη», τον μηνίσκο. Διαβάζουμε την ένδειξη στο κατώτερο σημείο του μηνίσκου, με το μάτι στο ίδιο ύψος με την επιφάνεια — ούτε από πάνω ούτε από κάτω.

Στη μέθοδο της ανόδου της στάθμης το σώμα πρέπει να βυθιστεί ολόκληρο και να μην έχουν κολλήσει πάνω του φυσαλίδες αέρα — αλλιώς ο όγκος βγαίνει λάθος.

Παράδειγμα — όγκος κουτιού: Ένα ξύλινο τουβλάκι έχει διαστάσεις $5 \; \text{cm} \times 4 \; \text{cm} \times 2 \; \text{cm}$ .

Λύση: Κανονικό σχήμα, άρα γεωμετρικά: $V = \alpha \cdot \beta \cdot \gamma = 5 \cdot 4 \cdot 2 = 40 \; \text{cm}^3$ .

Απάντηση: $V = 40 \; \text{cm}^3 = 40 \; \text{mL}$ . Αν το βυθίζαμε σε ογκομετρικό κύλινδρο με νερό (κρατώντας το ολόκληρο μέσα), η στάθμη θα ανέβαινε κατά $40 \; \text{mL}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Σε ογκομετρικό κύλινδρο το νερό φτάνει στα 50 mL. Βυθίζουμε ολόκληρο ένα κλειδί και η στάθμη ανεβαίνει στα 72 mL. Πόσος είναι ο όγκος του κλειδιού;

Ρίξε διαφορετικά υλικά στο νερό και ανακάλυψε τον «χρυσό κανόνα» της πλεύσης: όποιο σώμα έχει πυκνότητα μικρότερη από του νερού επιπλέει, όποιο έχει μεγαλύτερη βυθίζεται — δοκίμασε φελλό, πάγο, πλαστικό και σίδερο και πρόβλεψε πριν τα αφήσεις!

$\rho = \frac{m}{V} \qquad \rho_{\text{νερού}} = 1 \; \frac{\text{g}}{\text{cm}^3} = 1000 \; \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \qquad 1 \; \text{mL} = 1 \; \text{cm}^3$

Κόλπο μνήμης

σκέψου ένα βαγόνι του μετρό. Οι επιβάτες είναι η μάζα, το βαγόνι είναι ο όγκος. Ώρα αιχμής = πολλοί επιβάτες στο ίδιο βαγόνι = μεγάλη πυκνότητα. Γι' αυτό η μάζα πάει πάνω και ο όγκος κάτω: $\rho = \frac{m}{V}$ .

Πίνακας πυκνοτήτων

Επειδή η πυκνότητα είναι «ταυτότητα» του υλικού, συγκρίνοντας με πίνακα βρίσκουμε από τι είναι φτιαγμένο ένα σώμα (τιμές περίπου, σε $\text{g/cm}^3$ ):

Φελλός $0{,}2$ · οινόπνευμα $0{,}8$ · λάδι $0{,}9$ · πάγος $0{,}92$
Νερό $1$ · γυαλί $2{,}5$ · αλουμίνιο $2{,}7$
Σίδηρος $7{,}9$ · χαλκός $8{,}9$ · μόλυβδος $11{,}3$ · χρυσός $19{,}3$

Από τον τύπο $\rho = \frac{m}{V}$ βγαίνουν και οι δύο «αδελφοί» του: αν ξέρουμε πυκνότητα και όγκο, $m = \rho \cdot V$ · αν ξέρουμε πυκνότητα και μάζα, $V = \frac{m}{\rho}$ .

Σωστό ή λάθος το «ο σίδηρος είναι βαρύτερος από το αλουμίνιο»; Ένα σιδερένιο καρφί είναι ελαφρύτερο από μια αλουμινένια σκάλα! Το σωστό είναι: για ίσους όγκους, ο σίδηρος έχει μεγαλύτερη μάζα — έχει μεγαλύτερη πυκνότητα.

Γρήγορος έλεγχος

Δύο κύβοι έχουν τον ίδιο όγκο: ο ένας είναι από σίδηρο (ρ = 7,9 g/cm³), ο άλλος από αλουμίνιο (ρ = 2,7 g/cm³). Ποιος έχει τη μεγαλύτερη μάζα;

Πλεύση και βύθιση

Η σύγκριση πυκνοτήτων αποφασίζει τη «μοίρα» κάθε σώματος μέσα σε ένα υγρό:

$\rho_{\text{σώματος}} < \rho_{\text{υγρού}}$ → το σώμα επιπλέει (φελλός, πάγος, λάδι σε νερό).
$\rho_{\text{σώματος}} > \rho_{\text{υγρού}}$ → το σώμα βυθίζεται (πέτρα, σίδερο).

Και το διάσημο «παράδοξο»: πώς επιπλέει ένα ατσάλινο πλοίο, αφού το ατσάλι βυθίζεται; Επειδή το πλοίο είναι κούφιο: ο τεράστιος όγκος του περιέχει πολύ αέρα, οπότε η μέση πυκνότητά του (ατσάλι + αέρας) βγαίνει μικρότερη από του νερού. Το σχήμα κερδίζει το υλικό!

Ήξερες ότι;

Ο Κρόνος, ο δεύτερος μεγαλύτερος πλανήτης του ηλιακού μας συστήματος, έχει μέση πυκνότητα περίπου $0{,}7 \; \text{g/cm}^3$ , μικρότερη από του νερού. Είναι ο μόνος πλανήτης με μέση πυκνότητα κάτω από $1 \; \text{g/cm}^3$ . Αν υπήρχε μια (αδύνατη) τεράστια μπανιέρα, ο Κρόνος θα επέπλεε!

Μέθοδος: υπολογισμός πυκνότητας

Μάζα $m$ : με ζυγό (αν μετράς υγρό, ζύγισε το δοχείο άδειο και γεμάτο και αφαίρεσε).
Όγκος $V$ : γεωμετρικά ( $V = \alpha \cdot \beta \cdot \gamma$ ) ή με άνοδο στάθμης ( $V = V_{\text{μετά}} - V_{\text{πριν}}$ ).
Φέρε μάζα και όγκο σε ταιριαστές μονάδες: g με cm³ ή kg με m³.
Υπολόγισε $\rho = \frac{m}{V}$ και γράψε μονάδα.
Σύγκρινε: με τον πίνακα για να αναγνωρίσεις το υλικό, με το $\rho_{\text{υγρού}}$ για να προβλέψεις πλεύση ή βύθιση.

Μετατροπή: $1 \; \text{g/cm}^3 = \frac{0{,}001 \; \text{kg}}{0{,}000001 \; \text{m}^3} = 1000 \; \text{kg/m}^3$ — από g/cm³ σε kg/m³ πολλαπλασιάζουμε επί 1000.

Παράδειγμα (τύπου διαγωνίσματος): Πέτρα έχει μάζα $m = 156 \; \text{g}$ . Τη βυθίζουμε σε ογκομετρικό κύλινδρο: η στάθμη του νερού ανεβαίνει από τα $80 \; \text{mL}$ στα $140 \; \text{mL}$ .

(α) Όγκος πέτρας: $V = 140 - 80 = 60 \; \text{mL} = 60 \; \text{cm}^3$ .

(β) Πυκνότητα: $\rho = \frac{m}{V} = \frac{156}{60} = 2{,}6 \; \text{g/cm}^3$ .

(γ) Αφού $2{,}6 > 1$ , η πέτρα είναι πυκνότερη από το νερό — γι' αυτό άλλωστε βυθίστηκε και μπορέσαμε να μετρήσουμε τον όγκο της! Σε μονάδες S.I.: $\rho = 2600 \; \text{kg/m}^3$ .

Παράδειγμα — ποιο μέταλλο είναι; Ένας μικρός μεταλλικός κύβος έχει ακμή $2 \; \text{cm}$ και μάζα $21{,}6 \; \text{g}$ .

Δεδομένα: ακμή $\alpha = 2 \; \text{cm}$ , $m = 21{,}6 \; \text{g}$ .

Ζητούμενο: η πυκνότητα και το υλικό.

Λύση: Όγκος κύβου: $V = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \; \text{cm}^3$ . Πυκνότητα: $\rho = \frac{21{,}6}{8} = 2{,}7 \; \text{g/cm}^3$ .

Απάντηση: Από τον πίνακα, $2{,}7 \; \text{g/cm}^3$ είναι η πυκνότητα του αλουμινίου. Αφού $2{,}7 > 1$ , ο κύβος βυθίζεται στο νερό.

Παράδειγμα — μάζα και όγκος από την πυκνότητα:

(α) Πόση μάζα έχουν $2 \; \text{L}$ λαδιού ( $\rho = 0{,}9 \; \text{g/cm}^3$ ); Μετατρέπουμε: $2 \; \text{L} = 2000 \; \text{cm}^3$ . Τότε $m = \rho \cdot V = 0{,}9 \cdot 2000 = 1800 \; \text{g} = 1{,}8 \; \text{kg}$ — λιγότερο από τα $2 \; \text{kg}$ που θα είχαν $2 \; \text{L}$ νερού.

(β) Πόσο όγκο έχει ένα σιδερένιο βαρίδι $790 \; \text{g}$ ( $\rho = 7{,}9 \; \text{g/cm}^3$ ); $V = \frac{m}{\rho} = \frac{790}{7{,}9} = 100 \; \text{cm}^3$ .

(γ) Γιατί το λάδι επιπλέει στο νερό της σαλάτας; Επειδή $0{,}9 < 1$ : το λάδι είναι λιγότερο πυκνό από το νερό.

Γρήγορος έλεγχος

Σώμα έχει μάζα 250 g και όγκο 500 cm³. Τι θα συμβεί αν το αφήσουμε μέσα σε νερό (ρ = 1 g/cm³);

Γρήγορος έλεγχος

Κόβουμε ένα ξύλινο τουβλάκι ακριβώς στη μέση. Τι συμβαίνει στην πυκνότητα του κάθε κομματιού σε σχέση με το αρχικό;

Γρήγορος έλεγχος

Το οινόπνευμα έχει πυκνότητα 0,8 g/cm³. Πόση είναι σε kg/m³;

Πρόκληση

ο ντετέκτιβ του χρυσού. Σου φέρνουν δύο «χρυσά» μετάλλια. Και τα δύο ζυγίζουν ακριβώς $193 \; \text{g}$ , άρα η ζυγαριά δεν τα ξεχωρίζει. Βυθίζεις το καθένα σε ογκομετρικό κύλινδρο με νερό στα $50 \; \text{mL}$ . Με το πρώτο η στάθμη ανεβαίνει στα $60 \; \text{mL}$ , με το δεύτερο στα $67 \; \text{mL}$ . Ποιο είναι από καθαρό χρυσό ( $\rho = 19{,}3 \; \text{g/cm}^3$ );

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Μετάλλιο 1: $V = 60 - 50 = 10 \; \text{cm}^3$ , άρα $\rho = \frac{193}{10} = 19{,}3 \; \text{g/cm}^3$ . Ταιριάζει ακριβώς με τον χρυσό!

Μετάλλιο 2: $V = 67 - 50 = 17 \; \text{cm}^3$ , άρα $\rho = \frac{193}{17} \approx 11{,}4 \; \text{g/cm}^3$ . Πολύ κοντά στον μόλυβδο ( $11{,}3$ ): μάλλον επιχρυσωμένος μόλυβδος!

Απάντηση: καθαρός χρυσός είναι το πρώτο. Ίδια μάζα, αλλά ο «ψεύτικος» έχει μεγαλύτερο όγκο, γιατί το υλικό του είναι λιγότερο πυκνό. Σύμφωνα με την παράδοση, με παρόμοια ιδέα ο Αρχιμήδης έλεγξε το στέμμα του βασιλιά Ιέρωνα.

Πριν αντικαταστήσεις στον τύπο $\rho = \frac{m}{V}$ , βεβαιώσου ότι μάζα και όγκος «μιλούν την ίδια γλώσσα»: g με cm³ ή kg με m³ — ποτέ ανακατεμένα. Στην υπερχείλιση, ο όγκος του σώματος είναι η διαφορά των δύο ενδείξεων, όχι η τελική ένδειξη — κλασική παγίδα! Και αν σε ρωτήσουν «θα επιπλεύσει;», η απάντηση περνά πάντα από τη σύγκριση $\rho_{\text{σώματος}}$ με $\rho_{\text{υγρού}}$ .

Συνηθισμένα λάθη

Όγκος = τελική ένδειξη στην άνοδο στάθμης. Διόρθωση: ο όγκος του σώματος είναι η διαφορά $V_{\text{μετά}} - V_{\text{πριν}}$ .
Ανάποδη διαίρεση $\frac{V}{m}$ . Διόρθωση: πυκνότητα = μάζα διά όγκο — «πόσα γραμμάρια χωρούν σε κάθε κυβικό εκατοστό».
Ανακατεμένες μονάδες (kg με cm³, ή λίτρα με g/cm³). Διόρθωση: πρώτα μετατροπή ( $1 \; \text{L} = 1000 \; \text{cm}^3$ ), μετά ο τύπος.
«Βαρύ σώμα βυθίζεται»: ένας τεράστιος κορμός δέντρου επιπλέει, ενώ ένα μικρό καρφί βυθίζεται. Διόρθωση: αποφασίζει η πυκνότητα, όχι η μάζα ή ο όγκος μόνα τους.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Πυκνότητα: $\rho = \frac{m}{V}$ — χαρακτηριστική ιδιότητα του υλικού, ίδια για μικρό και μεγάλο κομμάτι.
Μονάδες: $1 \; \text{g/cm}^3 = 1000 \; \text{kg/m}^3$ · νερό $\rho = 1 \; \text{g/cm}^3$ · $1 \; \text{mL} = 1 \; \text{cm}^3$ , $1 \; \text{L} = 1000 \; \text{cm}^3$ .
Όγκος ακανόνιστου στερεού: $V = V_{\text{μετά}} - V_{\text{πριν}}$ (άνοδος στάθμης)· κανονικού: $V = \alpha \cdot \beta \cdot \gamma$ .
Χρήσιμες μορφές: $m = \rho \cdot V$ και $V = \frac{m}{\rho}$ .
$\rho_{\text{σώματος}} < \rho_{\text{υγρού}}$ → επιπλέει· $\rho_{\text{σώματος}} > \rho_{\text{υγρού}}$ → βυθίζεται.

Τι είναι η πυκνότητα

Η πυκνότητα ορίζεται ως το πηλίκο της μάζας ενός σώματος προς τον όγκο του:

\rho = \frac{m}{V}

Μονάδες: στο S.I. το

1 \; \text{kg/m}^3

, στο εργαστήριο συνήθως το

1 \; \text{g/cm}^3

. Ισχύει

1 \; \text{g/cm}^3 = 1000 \; \text{kg/m}^3

. Το νερό έχει

\rho \approx 1 \; \text{g/cm}^3