🏀

Κινητική & Δυναμική Ενέργεια

Κινητική ενέργεια ½·m·υ², βαρυτική δυναμική ενέργεια m·g·h, επίπεδο αναφοράς, ελαστική δυναμική ενέργεια

Γιατί με νοιάζει;

Μια μπάλα του μπάσκετ πάνω στο ράφι δεν κάνει τίποτα — αν όμως πέσει, μπορεί να σπάσει ένα ποτήρι. Ένα αυτοκίνητο στα 10 km/h σταματά σε ένα μέτρο· στα 100 km/h χρειάζεται δεκάδες μέτρα. Και στα δύο κρύβεται αποθηκευμένη ενέργεια: ενέργεια λόγω θέσης και ενέργεια λόγω κίνησης.

Κινητική και δυναμική ενέργεια

Κινητική ενέργεια $KE$ : την έχει κάθε σώμα που κινείται. Εξαρτάται από τη μάζα και — προσοχή — από το τετράγωνο της ταχύτητας: διπλάσια ταχύτητα σημαίνει τετραπλάσια κινητική ενέργεια!
Δυναμική ενέργεια $U$ : την έχει ένα σώμα λόγω θέσης ή κατάστασης. Η βαρυτική δυναμική ενέργεια $U = m \cdot g \cdot h$ εξαρτάται από το ύψος πάνω από το επίπεδο αναφοράς που εμείς διαλέγουμε. Δυναμική ενέργεια έχει και ένα παραμορφωμένο ελατήριο.

$KE = \frac{1}{2} \cdot m \cdot \upsilon^2 \qquad U = m \cdot g \cdot h$

Γρήγορος έλεγχος

Ένας ποδηλάτης διπλασιάζει την ταχύτητά του, χωρίς να αλλάξει η μάζα του. Τι παθαίνει η κινητική του ενέργεια;

Κόλπο μνήμης

Στην κινητική ενέργεια η ταχύτητα «μετράει διπλά» γιατί είναι στο τετράγωνο: $2\times$ ταχύτητα → $4\times$ ενέργεια, $3\times$ ταχύτητα → $9\times$ ενέργεια. Γι' αυτό ένα αυτοκίνητο στα $100 \; \text{km/h}$ χρειάζεται περίπου τετραπλάσια απόσταση φρεναρίσματος από ό,τι στα $50 \; \text{km/h}$ .

Μέθοδος: υπολογισμός κινητικής και δυναμικής ενέργειας

Μονάδες S.I.: μάζα σε kg, ταχύτητα σε m/s (km/h διά $3{,}6$ ), ύψος σε m.
Κινητική: πρώτα το τετράγωνο της ταχύτητας, μετά επί $m$ και επί $\frac{1}{2}$ .
Δυναμική: διάλεξε επίπεδο αναφοράς ( $h = 0$ ) και μέτρησε το ύψος από εκεί.
Αντίστροφα: $h = \frac{U}{m g}$ και $\upsilon^2 = \frac{2 \cdot KE}{m}$ — μην ξεχάσεις τη ρίζα.
Έλεγχος: η κινητική ενέργεια δεν είναι ποτέ αρνητική· η δυναμική εξαρτάται από το επίπεδο αναφοράς που διάλεξες.

Παράδειγμα 2 — γιατί η ταχύτητα «κοστίζει»: Αυτοκίνητο μάζας $m = 1000 \; \text{kg}$ κινείται με $72 \; \text{km/h}$ .

Δεδομένα: $m = 1000 \; \text{kg}$ , $\upsilon = \frac{72}{3{,}6} = 20 \; \text{m/s}$ .

Ζητούμενο: η κινητική ενέργεια, και σύγκριση με την κίνηση στα $36 \; \text{km/h}$ .

Λύση: $KE = \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot 20^2 = 500 \cdot 400 = 200.000 \; \text{J}$ .

Στα $36 \; \text{km/h} = 10 \; \text{m/s}$ : $KE' = \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot 10^2 = 50.000 \; \text{J}$ .

Απάντηση: $200.000 \; \text{J}$ — τετραπλάσια από τα $50.000 \; \text{J}$ των $36 \; \text{km/h}$ , αν και η ταχύτητα είναι μόνο διπλάσια. Γι' αυτό μια σύγκρουση σε διπλάσια ταχύτητα είναι πολύ πιο καταστροφική και το φρενάρισμα απαιτεί πολύ μεγαλύτερη απόσταση.

Λυμένη άσκηση 2 — η γλάστρα στο μπαλκόνι: Μια γλάστρα μάζας $3 \; \text{kg}$ βρίσκεται στο πάτωμα ενός μπαλκονιού, $9 \; \text{m}$ πάνω από το πεζοδρόμιο ( $g = 10 \; \text{N/kg}$ ).

(α) Ως προς το πεζοδρόμιο: $U = 3 \cdot 10 \cdot 9 = 270 \; \text{J}$ .

(β) Ως προς το πάτωμα του μπαλκονιού: $U = 0$ , αφού $h = 0$ .

(γ) Αν την ανεβάσουμε σε τραπέζι ύψους $1 \; \text{m}$ : $U = 30 \; \text{J}$ ως προς το μπαλκόνι ή $U = 3 \cdot 10 \cdot 10 = 300 \; \text{J}$ ως προς το πεζοδρόμιο. Η αύξηση είναι $30 \; \text{J}$ και με τα δύο επίπεδα — αυτό που έχει φυσική σημασία είναι η μεταβολή.

Γρήγορος έλεγχος

Βιβλίο μάζας 2 kg βρίσκεται σε ράφι ύψους 1,5 m από το πάτωμα (g = 10 N/kg). Πόση είναι η δυναμική του ενέργεια ως προς το πάτωμα;

Λυμένη άσκηση 3 — φορτηγό ή αυτοκίνητο; Ένα φορτηγό $10.000 \; \text{kg}$ κινείται με $5 \; \text{m/s}$ και ένα αυτοκίνητο $1000 \; \text{kg}$ με $20 \; \text{m/s}$ .

Δεδομένα: $m_\Phi = 10.000 \; \text{kg}$ , $\upsilon_\Phi = 5 \; \text{m/s}$ , $m_A = 1000 \; \text{kg}$ , $\upsilon_A = 20 \; \text{m/s}$ .

Ζητούμενα: ποιο έχει περισσότερη κινητική ενέργεια, και με πόση ταχύτητα θα είχε το αυτοκίνητο ίση κινητική ενέργεια με το φορτηγό.

Λύση: $KE_\Phi = \frac{1}{2} \cdot 10.000 \cdot 5^2 = 125.000 \; \text{J}$ και $KE_A = \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot 20^2 = 200.000 \; \text{J}$ .

Για ίση ενέργεια: $\frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot \upsilon^2 = 125.000 \Rightarrow \upsilon^2 = 250 \Rightarrow \upsilon \approx 15{,}8 \; \text{m/s}$ .

Απάντηση: το αυτοκίνητο, αν και δέκα φορές ελαφρύτερο — η τετραπλάσια ταχύτητα «μετράει» $16$ φορές. Με περίπου $15{,}8 \; \text{m/s}$ θα είχαν ίσες ενέργειες.

Ελαστική δυναμική ενέργεια

Δυναμική ενέργεια δεν έχουν μόνο τα σώματα που βρίσκονται ψηλά. Ένα τεντωμένο ή συμπιεσμένο ελατήριο, το λάστιχο μιας σφεντόνας, ένα τεντωμένο τόξο, το τραμπολίνο που βουλιάζει, αποθηκεύουν ενέργεια λόγω παραμόρφωσης — την ελαστική δυναμική ενέργεια. Όσο μεγαλύτερη η παραμόρφωση, τόσο περισσότερη ενέργεια αποθηκεύεται· όταν το σώμα επανέρχεται, η ενέργεια αυτή γίνεται συνήθως κινητική (το βέλος εκτοξεύεται).

Γρήγορος έλεγχος

Ένα σώμα έχει κινητική ενέργεια 100 J. Αν η ταχύτητά του τριπλασιαστεί, η κινητική του ενέργεια θα γίνει:

Ήξερες ότι;

Το 1983 ένα κομματάκι μπογιάς μικρότερο από κόκκο αλατιού χτύπησε το παράθυρο του διαστημικού λεωφορείου Challenger (αποστολή STS-7) και άνοιξε μια μικρή λακκούβα στο τζάμι, που χρειάστηκε αντικατάσταση. Σε τροχιά τα σώματα κινούνται με περίπου $7{,}7 \; \text{km/s}$ , και επειδή η κινητική ενέργεια αυξάνεται με το τετράγωνο της ταχύτητας, ακόμη και ένα ελάχιστο θραύσμα γίνεται επικίνδυνο βλήμα.

Πρόκληση

Όταν ένα αυτοκίνητο φρενάρει με σταθερή δύναμη $F$ , το έργο των φρένων αφαιρεί όλη την κινητική του ενέργεια: $F \cdot x = KE$ . Αυτοκίνητο $1000 \; \text{kg}$ στα $36 \; \text{km/h}$ σταματά σε $10 \; \text{m}$ . (α) Πόση κινητική ενέργεια είχε; (β) Πόση ήταν η δύναμη των φρένων; (γ) Σε πόση απόσταση σταματά με την ίδια δύναμη στα $72 \; \text{km/h}$ και στα $108 \; \text{km/h}$ ;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

(α) $36 \; \text{km/h} = 10 \; \text{m/s}$ , άρα $KE = \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot 10^2 = 50.000 \; \text{J}$ .

(β) $F = \frac{KE}{x} = \frac{50.000}{10} = 5000 \; \text{N}$ .

(γ) Στα $72 \; \text{km/h} = 20 \; \text{m/s}$ : $KE = 200.000 \; \text{J}$ , $x = \frac{200.000}{5000} = 40 \; \text{m}$ . Στα $108 \; \text{km/h} = 30 \; \text{m/s}$ : $KE = 450.000 \; \text{J}$ , $x = 90 \; \text{m}$ .

Απάντηση: (α) $50.000 \; \text{J}$ · (β) $5000 \; \text{N}$ · (γ) $40 \; \text{m}$ και $90 \; \text{m}$ — διπλάσια ταχύτητα, τετραπλάσια απόσταση φρεναρίσματος.

Συνηθισμένα λάθη

Ξεχνάς το τετράγωνο: $KE = \frac{1}{2} m \upsilon^2$ , όχι $\frac{1}{2} m \upsilon$ . Και στο τέλος, αν βρεις $\upsilon^2$ , πάρε ρίζα.
Ταχύτητα σε km/h στον τύπο: η $KE$ βγαίνει σε J μόνο με $\upsilon$ σε m/s.
Ύψος από λάθος σημείο: το $h$ στο $U = m g h$ μετριέται από το επίπεδο αναφοράς που διάλεξες, και το ίδιο επίπεδο κρατάς σε όλη την άσκηση.
Μάζα σε γραμμάρια. Μια μπάλα $400 \; \text{g}$ μπαίνει στον τύπο ως $0{,}4 \; \text{kg}$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

Κινητική ενέργεια: την έχει κάθε σώμα που κινείται, $KE = \frac{1}{2} m \upsilon^2$ — διπλάσια ταχύτητα, τετραπλάσια $KE$ .
Βαρυτική δυναμική ενέργεια: $U = m g h$ , με $h$ από το επίπεδο αναφοράς που διαλέγουμε.
Ελαστική δυναμική ενέργεια: σε παραμορφωμένα σώματα (ελατήρια, λάστιχα, τόξα).
Όλα σε S.I. (kg, m/s, m) για να βγει η ενέργεια σε J.

🏀

Κινητική & Δυναμική Ενέργεια

Κινητική ενέργεια ½·m·υ², βαρυτική δυναμική ενέργεια m·g·h, επίπεδο αναφοράς, ελαστική δυναμική ενέργεια

Γιατί με νοιάζει;

Κινητική και δυναμική ενέργεια

Κινητική ενέργεια $KE$ : την έχει κάθε σώμα που κινείται. Εξαρτάται από τη μάζα και — προσοχή — από το τετράγωνο της ταχύτητας: διπλάσια ταχύτητα σημαίνει τετραπλάσια κινητική ενέργεια!
Δυναμική ενέργεια $U$ : την έχει ένα σώμα λόγω θέσης ή κατάστασης. Η βαρυτική δυναμική ενέργεια $U = m \cdot g \cdot h$ εξαρτάται από το ύψος πάνω από το επίπεδο αναφοράς που εμείς διαλέγουμε. Δυναμική ενέργεια έχει και ένα παραμορφωμένο ελατήριο.

$KE = \frac{1}{2} \cdot m \cdot \upsilon^2 \qquad U = m \cdot g \cdot h$

Γρήγορος έλεγχος

Ένας ποδηλάτης διπλασιάζει την ταχύτητά του, χωρίς να αλλάξει η μάζα του. Τι παθαίνει η κινητική του ενέργεια;

Κόλπο μνήμης

Μέθοδος: υπολογισμός κινητικής και δυναμικής ενέργειας

Μονάδες S.I.: μάζα σε kg, ταχύτητα σε m/s (km/h διά $3{,}6$ ), ύψος σε m.
Κινητική: πρώτα το τετράγωνο της ταχύτητας, μετά επί $m$ και επί $\frac{1}{2}$ .
Δυναμική: διάλεξε επίπεδο αναφοράς ( $h = 0$ ) και μέτρησε το ύψος από εκεί.
Αντίστροφα: $h = \frac{U}{m g}$ και $\upsilon^2 = \frac{2 \cdot KE}{m}$ — μην ξεχάσεις τη ρίζα.
Έλεγχος: η κινητική ενέργεια δεν είναι ποτέ αρνητική· η δυναμική εξαρτάται από το επίπεδο αναφοράς που διάλεξες.

Παράδειγμα 2 — γιατί η ταχύτητα «κοστίζει»: Αυτοκίνητο μάζας $m = 1000 \; \text{kg}$ κινείται με $72 \; \text{km/h}$ .

Δεδομένα: $m = 1000 \; \text{kg}$ , $\upsilon = \frac{72}{3{,}6} = 20 \; \text{m/s}$ .

Ζητούμενο: η κινητική ενέργεια, και σύγκριση με την κίνηση στα $36 \; \text{km/h}$ .

Λύση: $KE = \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot 20^2 = 500 \cdot 400 = 200.000 \; \text{J}$ .

Στα $36 \; \text{km/h} = 10 \; \text{m/s}$ : $KE' = \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot 10^2 = 50.000 \; \text{J}$ .

(α) Ως προς το πεζοδρόμιο: $U = 3 \cdot 10 \cdot 9 = 270 \; \text{J}$ .

(β) Ως προς το πάτωμα του μπαλκονιού: $U = 0$ , αφού $h = 0$ .

Γρήγορος έλεγχος

Δεδομένα: $m_\Phi = 10.000 \; \text{kg}$ , $\upsilon_\Phi = 5 \; \text{m/s}$ , $m_A = 1000 \; \text{kg}$ , $\upsilon_A = 20 \; \text{m/s}$ .

Λύση: $KE_\Phi = \frac{1}{2} \cdot 10.000 \cdot 5^2 = 125.000 \; \text{J}$ και $KE_A = \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot 20^2 = 200.000 \; \text{J}$ .

Για ίση ενέργεια: $\frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot \upsilon^2 = 125.000 \Rightarrow \upsilon^2 = 250 \Rightarrow \upsilon \approx 15{,}8 \; \text{m/s}$ .

Ελαστική δυναμική ενέργεια

Γρήγορος έλεγχος

Ένα σώμα έχει κινητική ενέργεια 100 J. Αν η ταχύτητά του τριπλασιαστεί, η κινητική του ενέργεια θα γίνει:

Ήξερες ότι;

Πρόκληση

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

(α) $36 \; \text{km/h} = 10 \; \text{m/s}$ , άρα $KE = \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot 10^2 = 50.000 \; \text{J}$ .

(β) $F = \frac{KE}{x} = \frac{50.000}{10} = 5000 \; \text{N}$ .

Συνηθισμένα λάθη

Ξεχνάς το τετράγωνο: $KE = \frac{1}{2} m \upsilon^2$ , όχι $\frac{1}{2} m \upsilon$ . Και στο τέλος, αν βρεις $\upsilon^2$ , πάρε ρίζα.
Ταχύτητα σε km/h στον τύπο: η $KE$ βγαίνει σε J μόνο με $\upsilon$ σε m/s.
Ύψος από λάθος σημείο: το $h$ στο $U = m g h$ μετριέται από το επίπεδο αναφοράς που διάλεξες, και το ίδιο επίπεδο κρατάς σε όλη την άσκηση.
Μάζα σε γραμμάρια. Μια μπάλα $400 \; \text{g}$ μπαίνει στον τύπο ως $0{,}4 \; \text{kg}$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

Κινητική ενέργεια: την έχει κάθε σώμα που κινείται, $KE = \frac{1}{2} m \upsilon^2$ — διπλάσια ταχύτητα, τετραπλάσια $KE$ .
Βαρυτική δυναμική ενέργεια: $U = m g h$ , με $h$ από το επίπεδο αναφοράς που διαλέγουμε.
Ελαστική δυναμική ενέργεια: σε παραμορφωμένα σώματα (ελατήρια, λάστιχα, τόξα).
Όλα σε S.I. (kg, m/s, m) για να βγει η ενέργεια σε J.