Σύνθεση Δυνάμεων
Συνισταμένη δυνάμεων στην ίδια ευθεία, κανόνας του παραλληλογράμμου, κάθετες δυνάμεις και Πυθαγόρειο
Στη διελκυστίνδα κερδίζει πάντα η ομάδα με τα περισσότερα παιδιά; Όχι απαραίτητα! Και όταν δύο ρυμουλκά τραβούν ένα πλοίο με σχοινιά που σχηματίζουν γωνία, το πλοίο δεν πηγαίνει ούτε εκεί που τραβά το ένα ούτε εκεί που τραβά το άλλο. Εδώ μαθαίνεις να αντικαθιστάς πολλές δυνάμεις με μία: τη συνισταμένη.
Σύνθεση δυνάμεων — η συνισταμένη
Όταν σε ένα σώμα ασκούνται πολλές δυνάμεις, μπορούμε να τις αντικαταστήσουμε με μία, τη συνισταμένη , που έχει το ίδιο αποτέλεσμα:
- Ίδια κατεύθυνση: τα μέτρα προστίθενται, .
- Αντίθετη κατεύθυνση: τα μέτρα αφαιρούνται, , με φορά της μεγαλύτερης.
Μέθοδος: συνισταμένη δυνάμεων στην ίδια ευθεία
- Σχεδίασε το σώμα και όλες τις δυνάμεις του ως βέλη.
- Διάλεξε μία φορά ως θετική (π.χ. δεξιά ή πάνω).
- Πρόσθεσε τις δυνάμεις με πρόσημο: όσες έχουν τη θετική φορά, οι άλλες. Το αποτέλεσμα είναι η .
- Αν η συνισταμένη έχει τη θετική φορά, αν την αντίθετη.
- Αν , το σώμα ισορροπεί: μένει ακίνητο ή κινείται ευθύγραμμα ομαλά.
Παράδειγμα — διελκυστίνδα: Στην ομάδα Α τρία παιδιά τραβούν προς τα δεξιά με , και . Στην ομάδα Β δύο παιδιά τραβούν προς τα αριστερά με και .
Λύση: Θετική φορά τα δεξιά.
- Ομάδα Α: δεξιά.
- Ομάδα Β: αριστερά.
, δηλαδή προς τα δεξιά: το σχοινί αρχίζει να κινείται προς την ομάδα Α.
(β) Για να «κολλήσει» το σχοινί (), ένα ακόμη παιδί στην ομάδα Β αρκεί να τραβήξει με .
Απάντηση: κερδίζει η ομάδα Α, με συνισταμένη προς τα δεξιά — παρόλο που έχει μόνο ένα παιδί παραπάνω, δεν μετράει το πλήθος αλλά το άθροισμα των δυνάμεων.
Σε κιβώτιο ασκούνται οριζόντια 30 N προς τα δεξιά, 20 N προς τα δεξιά και 45 N προς τα αριστερά. Η συνισταμένη είναι:
Πρόσθεσε βάρη στους δύο δίσκους και δες πότε ο ζυγός ηρεμεύει: ισορροπία υπάρχει μόνο όταν οι δύο πλευρές «τραβούν» εξίσου — ακριβώς όπως σε ένα σώμα οι δυνάμεις προς τη μία φορά πρέπει να εξουδετερώνουν τις δυνάμεις προς την άλλη για να ισχύει ΣF = 0.
Σύνθεση δυνάμεων υπό γωνία
Όταν δύο δυνάμεις έχουν την ίδια διεύθυνση, η συνισταμένη βρίσκεται με πρόσθεση ή αφαίρεση. Όταν όμως σχηματίζουν γωνία, χρησιμοποιούμε τον κανόνα του παραλληλογράμμου:
Σχεδιάζουμε τις δύο δυνάμεις και με κοινή αρχή, συμπληρώνουμε το παραλληλόγραμμο με πλευρές τα δύο βέλη, και η διαγώνιος από την κοινή αρχή είναι η συνισταμένη .
Στην ειδική περίπτωση που οι δυνάμεις είναι κάθετες μεταξύ τους, το παραλληλόγραμμο γίνεται ορθογώνιο και το μέτρο της συνισταμένης βρίσκεται με το Πυθαγόρειο θεώρημα. Σε κάθε περίπτωση, το μέτρο της συνισταμένης είναι ανάμεσα στη διαφορά και στο άθροισμα των δύο μέτρων.
Σύρε τις μύτες των δύο βελών-δυνάμεων και δες τη συνισταμένη να σχηματίζεται ως διαγώνιος του παραλληλογράμμου: όσο κλείνεις τη γωνία πλησιάζει το άθροισμα των μέτρων, όσο την ανοίγεις προς τις 180° πέφτει προς τη διαφορά τους.
Δες τα τετράγωνα των δύο κάθετων πλευρών να «γεμίζουν» το τετράγωνο της υποτείνουσας: η ίδια ακριβώς σχέση δίνει το μέτρο της συνισταμένης δύο κάθετων δυνάμεων — οι κάθετες δυνάμεις 3 N και 4 N συνθέτουν συνισταμένη 5 N, όχι 7 N.
Μέθοδος: συνισταμένη δύο δυνάμεων
- Ίδια κατεύθυνση: , με την κοινή φορά.
- Αντίθετες: , με τη φορά της μεγαλύτερης.
- Κάθετες: — διαγώνιος του ορθογωνίου.
- Άλλη γωνία: κανόνας του παραλληλογράμμου με σχέδιο υπό κλίμακα.
- Έλεγχος: το αποτέλεσμα πρέπει να βρίσκεται ανάμεσα σε και .
Παράδειγμα (τύπου διαγωνίσματος): Δύο παιδιά τραβούν ένα έλκηθρο με σχοινιά κάθετα μεταξύ τους, με δυνάμεις και .
(α) Μέτρο συνισταμένης: .
(β) Έλεγχος λογικής: η τιμή 5 N βρίσκεται πράγματι ανάμεσα στη διαφορά (αντίθετες δυνάμεις) και στο άθροισμα (ίδια κατεύθυνση).
(γ) Η κατεύθυνση της συνισταμένης είναι η διαγώνιος του ορθογωνίου — πιο κοντά στη διεύθυνση της μεγαλύτερης δύναμης .
Δύο κάθετες μεταξύ τους δυνάμεις έχουν μέτρα 6 N και 8 N. Το μέτρο της συνισταμένης τους είναι:
Δύο δυνάμεις 5 N και 12 N ασκούνται στο ίδιο σημείο ενός σώματος, με οποιαδήποτε γωνία μεταξύ τους. Ποια τιμή ΔΕΝ μπορεί να έχει η συνισταμένη τους;
Μάθε απέξω το «μαγικό» τρίγωνο 3–4–5: δύο κάθετες δυνάμεις και δίνουν συνισταμένη , γιατί . Το ίδιο ισχύει για τα πολλαπλάσιά του: ––, ––, ––. Πολλές ασκήσεις «κρύβουν» ακριβώς αυτά τα νούμερα.
Λυμένη άσκηση 3 — τα ρυμουλκά: Δύο ρυμουλκά τραβούν ένα πλοίο με σχοινιά κάθετα μεταξύ τους, με δυνάμεις και .
Δεδομένα: , , γωνία .
Ζητούμενα: το μέτρο της συνισταμένης και οι τιμές ανάμεσα στις οποίες θα βρισκόταν για οποιαδήποτε γωνία.
Λύση: (το τρίγωνο 3–4–5 επί 3.000!).
Για οποιαδήποτε γωνία: .
Απάντηση: , προς μια διεύθυνση ανάμεσα στα δύο σχοινιά· γενικά από ως .
Ένα σχοινί ακροβασίας δεν μπορεί ποτέ να τεντωθεί εντελώς οριζόντια όταν στέκεται πάνω του ο ακροβάτης. Τα δύο κομμάτια του σχοινιού τραβούν σχεδόν οριζόντια, και για να δώσουν μια μικρή κατακόρυφη συνισταμένη ίση με το βάρος του χρειάζονται τεράστια μέτρα — γι' αυτό τα σχοινιά αυτά τεντώνονται με δυνάμεις πολλών χιλιάδων newton και στερεώνονται σε πολύ γερές βάσεις.
Δύο φίλοι σπρώχνουν ένα βαρύ κιβώτιο στο πάτωμα με οριζόντιες δυνάμεις κάθετες μεταξύ τους: η Ελένη με προς τα ανατολικά, ο Άρης με προς τα βόρεια. Το κιβώτιο κινείται με σταθερή ταχύτητα. (α) Πόση είναι η τριβή και ποια η κατεύθυνσή της; (β) Θα μπορούσαν οι δύο δυνάμεις, με άλλη γωνία μεταξύ τους, να δώσουν συνισταμένη ; Ή ;
Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση
(α) Συνισταμένη των δύο σπρωξιμάτων (κάθετες): , λοξά προς τα βορειοανατολικά.
Σταθερή ταχύτητα σημαίνει , άρα η τριβή εξουδετερώνει αυτή τη συνισταμένη: , με κατεύθυνση αντίθετη της (προς τα νοτιοδυτικά), δηλαδή αντίθετα στην κίνηση.
(β) Για οποιαδήποτε γωνία ισχύει , δηλαδή .
Απάντηση: (α) , αντίθετα στη συνισταμένη των σπρωξιμάτων. (β) Ούτε (κάτω από το ελάχιστο ) ούτε (πάνω από το μέγιστο ) — είναι αδύνατα.
- Συνισταμένη αντίθετων δυνάμεων = άθροισμα. Όταν οι δυνάμεις είναι αντίθετες, τα μέτρα αφαιρούνται και η φορά είναι της μεγαλύτερης.
- Άθροισμα μέτρων σε κάθετες δυνάμεις. 3 N και 4 N κάθετες δίνουν 5 N, όχι 7 N — χρησιμοποίησε Πυθαγόρειο.
- Ξεχασμένο πρόσημο. Δυνάμεις με αντίθετες φορές δεν μπαίνουν όλες με · διάλεξε θετική φορά πριν προσθέσεις.
- Συνισταμένη σαν «ακόμη μία» δύναμη. Η συνισταμένη αντικαθιστά τις δυνάμεις — δεν τη σχεδιάζεις μαζί τους για να τις προσθέσεις ξανά.
- Συνισταμένη : μία δύναμη με το ίδιο αποτέλεσμα με όλες μαζί.
- Ίδια ευθεία: ίδια φορά · αντίθετες με τη φορά της μεγαλύτερης.
- Κανόνας του παραλληλογράμμου· για κάθετες δυνάμεις .
- Πάντα .
- Το πλήθος δεν μετράει — μετράει το άθροισμα των δυνάμεων με τα πρόσημά τους.