🏃

Η Έννοια της Ταχύτητας

Μέση και στιγμιαία ταχύτητα, m/s και km/h, ευθύγραμμη ομαλή κίνηση και διαγράμματα

Πώς ξέρει το κινητό πότε θα φτάσεις;

Ανοίγεις τον χάρτη στο κινητό: «12 km — 15 λεπτά». Για να το υπολογίσει, η εφαρμογή κάνει ό,τι θα μάθεις εδώ: συνδέει απόσταση, χρόνο και ταχύτητα. Και όταν πέσεις σε κίνηση, ξαναϋπολογίζει τη μέση ταχύτητα — που, όπως θα δεις, δεν είναι ο μέσος όρος των ταχυτήτων.

Η έννοια της ταχύτητας

Η ταχύτητα μάς λέει πόσο γρήγορα κινείται ένα σώμα.

Μέση ταχύτητα: το διάστημα διά τον χρόνο, $\upsilon_{\text{μ}} = \frac{s}{t}$ . Αυτή «βλέπει» όλη τη διαδρομή συνολικά.
Μέση διανυσματική ταχύτητα: η μετατόπιση διά τον χρόνο, $\upsilon = \frac{\Delta x}{\Delta t}$ — έχει και κατεύθυνση.
Στιγμιαία ταχύτητα: η ταχύτητα μια συγκεκριμένη στιγμή — αυτό ακριβώς δείχνει το κοντέρ του αυτοκινήτου.

Στο Διεθνές Σύστημα (S.I.) μονάδα είναι το $1 \; \text{m/s}$ , ενώ στην καθημερινότητα χρησιμοποιούμε το $\text{km/h}$ . Ο «μαγικός» αριθμός μετατροπής είναι το $3{,}6$ : από km/h σε m/s διαιρούμε με 3,6, αντίστροφα πολλαπλασιάζουμε.

Γρήγορος έλεγχος

Το κοντέρ ενός αυτοκινήτου δείχνει 60 km/h. Τι ακριβώς μετράει;

$\upsilon = \frac{\Delta x}{\Delta t} \qquad x = \upsilon \cdot t \qquad 1 \; \frac{\text{m}}{\text{s}} = 3{,}6 \; \frac{\text{km}}{\text{h}}$

Μέθοδος: προβλήματα ταχύτητας

Γράψε τα δεδομένα με τα σύμβολά τους ( $\Delta x$ ή $s$ , $t$ , $\upsilon$ ) και το ζητούμενο.
Φέρε όλα τα μεγέθη στις ίδιες μονάδες — συνήθως S.I.: m, s, m/s (km/h $\to$ m/s διά 3,6).
Διάλεξε τη μορφή του τύπου που δίνει το ζητούμενο: $\upsilon = \frac{\Delta x}{\Delta t}$ , $\Delta x = \upsilon \cdot \Delta t$ ή $\Delta t = \frac{\Delta x}{\upsilon}$ .
Για μέση ταχύτητα σε διαδρομή με πολλά κομμάτια: συνολικό διάστημα διά συνολικό χρόνο — μαζί και οι στάσεις.
Αντικατέστησε, γράψε μονάδα στο αποτέλεσμα και έλεγξε αν είναι λογικό (ένας πεζός δεν πάει με 50 m/s!).

Παράδειγμα 2 — μέση ταχύτητα ταξιδιού: Μια οικογένεια ταξιδεύει από την Αθήνα προς τη Λαμία. Διανύει $150 \; \text{km}$ σε $1{,}5 \; \text{h}$ , σταματά για φαγητό $0{,}5 \; \text{h}$ και διανύει άλλα $90 \; \text{km}$ σε $1 \; \text{h}$ .

Δεδομένα: $s_1 = 150 \; \text{km}$ , $t_1 = 1{,}5 \; \text{h}$ , στάση $t_2 = 0{,}5 \; \text{h}$ , $s_3 = 90 \; \text{km}$ , $t_3 = 1 \; \text{h}$ .

Ζητούμενο: η μέση ταχύτητα όλου του ταξιδιού.

Λύση: Συνολικό διάστημα $s = 150 + 0 + 90 = 240 \; \text{km}$ . Συνολικός χρόνος — μαζί με τη στάση — $t = 1{,}5 + 0{,}5 + 1 = 3 \; \text{h}$ .

$\upsilon_{\text{μ}} = \frac{s}{t} = \frac{240}{3} = 80 \; \text{km/h}$ , δηλαδή $\frac{80}{3{,}6} \approx 22{,}2 \; \text{m/s}$ .

Απάντηση: $\upsilon_{\text{μ}} = 80 \; \text{km/h}$ . Προσοχή: ο μέσος όρος των ταχυτήτων των δύο κομματιών ( $100$ και $90 \; \text{km/h}$ ) θα έδινε λάθος $95 \; \text{km/h}$ — η μέση ταχύτητα δεν είναι μέσος όρος ταχυτήτων.

Γρήγορος έλεγχος

Ποδηλάτης διανύει 6 km σε 20 min και μετά ξεκουράζεται 10 min. Ποια είναι η μέση ταχύτητά του για όλο το μισάωρο;

Ήξερες ότι;

Στο παγκόσμιο ρεκόρ των $100 \; \text{m}$ (Βερολίνο, 2009) ο Γιουσέιν Μπολτ έτρεξε σε $9{,}58 \; \text{s}$ . Η μέση ταχύτητά του ήταν $\frac{100}{9{,}58} \approx 10{,}4 \; \text{m/s}$ , δηλαδή περίπου $37{,}6 \; \text{km/h}$ — όσο ένα αυτοκίνητο σε δρόμο της πόλης. Στο ταχύτερο κομμάτι της κούρσας ξεπέρασε τα $12 \; \text{m/s}$ , αλλά η εκκίνηση από ακινησία «έριξε» τη μέση τιμή.

Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση (§2.3 — εκτός ύλης 2025-26, για εμβάθυνση)

Όταν ένα σώμα κινείται σε ευθεία τροχιά με σταθερή ταχύτητα, η κίνηση λέγεται ευθύγραμμη ομαλή: σε ίσους χρόνους διανύει ίσες μετατοπίσεις. Τότε ισχύει $x = \upsilon \cdot t$ .

Τα διαγράμματα είναι η «ακτινογραφία» της κίνησης:

Διάγραμμα x-t: ευθεία που ανεβαίνει — όσο πιο απότομη η κλίση της, τόσο μεγαλύτερη η ταχύτητα.
Διάγραμμα υ-t: οριζόντια γραμμή, αφού η ταχύτητα δεν αλλάζει. Και το κρυφό μυστικό: το εμβαδόν ανάμεσα στη γραμμή και τον άξονα του χρόνου ισούται με τη μετατόπιση!

Σύρε την ταχύτητα και δες το διάγραμμα υ-t να σχηματίζεται: στην ομαλή κίνηση η γραμμή μένει οριζόντια, και το εμβαδόν του ορθογωνίου κάτω από αυτή είναι ακριβώς η μετατόπιση — σύγκρινέ το με το αποτέλεσμα του x = υ·t.

Παράδειγμα (τύπου διαγωνίσματος): Ποδηλάτης κινείται ευθύγραμμα ομαλά και διανύει 90 m σε 15 s.

(α) Ταχύτητα: $\upsilon = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{90}{15} = 6 \; \text{m/s}$ . Σε km/h: $6 \cdot 3{,}6 = 21{,}6 \; \text{km/h}$ .

(β) Μετατόπιση σε 2 min = 120 s: $x = \upsilon \cdot t = 6 \cdot 120 = 720 \; \text{m}$ .

(γ) Επαλήθευση από το διάγραμμα υ-t: η γραμμή είναι οριζόντια στο 6 m/s, άρα το εμβαδόν από 0 έως 120 s είναι ορθογώνιο $6 \cdot 120 = 720 \; \text{m}$ ✓ — διάγραμμα και τύπος συμφωνούν πάντα.

Γρήγορος έλεγχος

Αυτοκίνητο κινείται ευθύγραμμα ομαλά με ταχύτητα 72 km/h. Πόσο διάστημα διανύει σε 10 s;

Παράδειγμα 3 — διαβάζω διάγραμμα x-t: Ο Νίκος φεύγει από το σπίτι ( $x = 0$ ) για το περίπτερο. Το διάγραμμα θέσης–χρόνου έχει τρία ευθύγραμμα κομμάτια:

από $0$ έως $100 \; \text{s}$ η θέση ανεβαίνει ομαλά από $0$ σε $150 \; \text{m}$ ,
από $100$ έως $160 \; \text{s}$ η γραμμή είναι οριζόντια στα $150 \; \text{m}$ ,
από $160$ έως $260 \; \text{s}$ η θέση κατεβαίνει ομαλά πίσω στο $0$ .

(α) Ταχύτητα πηγαιμού: $\upsilon_1 = \frac{150}{100} = 1{,}5 \; \text{m/s}$ .

(β) Από $100$ έως $160 \; \text{s}$ η θέση δεν αλλάζει: ο Νίκος είναι ακίνητος (αγοράζει στο περίπτερο) για $60 \; \text{s}$ .

(γ) Επιστροφή: $150 \; \text{m}$ σε $260 - 160 = 100 \; \text{s}$ , άρα πάλι $1{,}5 \; \text{m/s}$ , αλλά με αντίθετη φορά — γι' αυτό η γραμμή κατεβαίνει.

(δ) Συνολικά: διάστημα $s = 300 \; \text{m}$ , μετατόπιση $\Delta x = 0$ (γύρισε σπίτι), μέση ταχύτητα $\upsilon_{\text{μ}} = \frac{300}{260} \approx 1{,}15 \; \text{m/s}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Σε διάγραμμα θέσης–χρόνου (x-t) η γραμμή είναι οριζόντια από t = 10 s έως t = 30 s. Τι κάνει το σώμα σε αυτό το διάστημα;

Στα διαγράμματα, διάβασε πρώτα τους άξονες! Οριζόντια γραμμή στο x-t σημαίνει ακινησία, ενώ στο υ-t σημαίνει ευθύγραμμη ομαλή κίνηση — η κλασικότερη παγίδα του κεφαλαίου. Και πριν από κάθε πράξη, έλεγξε τις μονάδες: km/h και δευτερόλεπτα δεν συνδυάζονται — μετέτρεψε με το 3,6 πριν αντικαταστήσεις.

Πρόκληση

Το σχολείο απέχει $3 \; \text{km}$ από το σπίτι. Πηγαίνεις με το ποδήλατο με $6 \; \text{km/h}$ (ανηφόρα!). (α) Αν γυρίσεις περπατώντας με $3 \; \text{km/h}$ , ποια είναι η μέση ταχύτητά σου για όλη τη διαδρομή; (β) Με πόση ταχύτητα θα έπρεπε να γυρίσεις ώστε η μέση ταχύτητα «πήγαινε–έλα» να βγει $12 \; \text{km/h}$ ;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

(α) Χρόνος μετάβασης: $t_1 = \frac{3}{6} = 0{,}5 \; \text{h}$ . Χρόνος επιστροφής: $t_2 = \frac{3}{3} = 1 \; \text{h}$ .

$\upsilon_{\text{μ}} = \frac{3 + 3}{0{,}5 + 1} = \frac{6}{1{,}5} = 4 \; \text{km/h}$ — όχι $\frac{6 + 3}{2} = 4{,}5 \; \text{km/h}$ !

(β) Για μέση ταχύτητα $12 \; \text{km/h}$ σε $6 \; \text{km}$ χρειάζεται συνολικός χρόνος $\frac{6}{12} = 0{,}5 \; \text{h}$ . Όμως τα $0{,}5 \; \text{h}$ τα «ξόδεψες» ήδη στη μετάβαση — για την επιστροφή μένει μηδέν χρόνος.

Απάντηση: (α) $4 \; \text{km/h}$ . (β) Είναι αδύνατο: όσο γρήγορα κι αν γυρίσεις, η μέση ταχύτητα μένει κάτω από $12 \; \text{km/h}$ . Ο αργός χρόνος «μετράει» περισσότερο.

Συνηθισμένα λάθη

Μέση ταχύτητα = μέσος όρος ταχυτήτων. Λάθος! Πάντα $\upsilon_{\text{μ}} = \frac{\text{συνολικό διάστημα}}{\text{συνολικό χρόνο}}$ , μαζί με τις στάσεις.
Ανακατεμένες μονάδες: km/h με δευτερόλεπτα ή m με ώρες. Μετέτρεψε πριν αντικαταστήσεις.
Λάθος διάγραμμα: οριζόντια γραμμή στο x-t = ακινησία, στο υ-t = σταθερή ταχύτητα. Κοίτα τον άξονα πριν απαντήσεις.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Η ταχύτητα δείχνει πόσο γρήγορα αλλάζει η θέση· στιγμιαία = του κοντέρ, μέση = για όλη τη διαδρομή.
Μέση ταχύτητα $\upsilon_{\text{μ}} = \frac{s}{t}$ με συνολικά $s$ και $t$ · μονάδα S.I. το $\text{m/s}$ , και $1 \; \text{m/s} = 3{,}6 \; \text{km/h}$ .
Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση: $x = \upsilon \cdot t$ · στο x-t ευθεία με κλίση, στο υ-t οριζόντια γραμμή.
Εμβαδόν κάτω από τη γραμμή του υ-t = μετατόπιση.

🏃

Η Έννοια της Ταχύτητας

Μέση και στιγμιαία ταχύτητα, m/s και km/h, ευθύγραμμη ομαλή κίνηση και διαγράμματα

Πώς ξέρει το κινητό πότε θα φτάσεις;

Η έννοια της ταχύτητας

Η ταχύτητα μάς λέει πόσο γρήγορα κινείται ένα σώμα.

Μέση ταχύτητα: το διάστημα διά τον χρόνο, $\upsilon_{\text{μ}} = \frac{s}{t}$ . Αυτή «βλέπει» όλη τη διαδρομή συνολικά.
Μέση διανυσματική ταχύτητα: η μετατόπιση διά τον χρόνο, $\upsilon = \frac{\Delta x}{\Delta t}$ — έχει και κατεύθυνση.
Στιγμιαία ταχύτητα: η ταχύτητα μια συγκεκριμένη στιγμή — αυτό ακριβώς δείχνει το κοντέρ του αυτοκινήτου.

Γρήγορος έλεγχος

Το κοντέρ ενός αυτοκινήτου δείχνει 60 km/h. Τι ακριβώς μετράει;

$\upsilon = \frac{\Delta x}{\Delta t} \qquad x = \upsilon \cdot t \qquad 1 \; \frac{\text{m}}{\text{s}} = 3{,}6 \; \frac{\text{km}}{\text{h}}$

Μέθοδος: προβλήματα ταχύτητας

Γράψε τα δεδομένα με τα σύμβολά τους ( $\Delta x$ ή $s$ , $t$ , $\upsilon$ ) και το ζητούμενο.
Φέρε όλα τα μεγέθη στις ίδιες μονάδες — συνήθως S.I.: m, s, m/s (km/h $\to$ m/s διά 3,6).
Διάλεξε τη μορφή του τύπου που δίνει το ζητούμενο: $\upsilon = \frac{\Delta x}{\Delta t}$ , $\Delta x = \upsilon \cdot \Delta t$ ή $\Delta t = \frac{\Delta x}{\upsilon}$ .
Για μέση ταχύτητα σε διαδρομή με πολλά κομμάτια: συνολικό διάστημα διά συνολικό χρόνο — μαζί και οι στάσεις.
Αντικατέστησε, γράψε μονάδα στο αποτέλεσμα και έλεγξε αν είναι λογικό (ένας πεζός δεν πάει με 50 m/s!).

Δεδομένα: $s_1 = 150 \; \text{km}$ , $t_1 = 1{,}5 \; \text{h}$ , στάση $t_2 = 0{,}5 \; \text{h}$ , $s_3 = 90 \; \text{km}$ , $t_3 = 1 \; \text{h}$ .

Ζητούμενο: η μέση ταχύτητα όλου του ταξιδιού.

$\upsilon_{\text{μ}} = \frac{s}{t} = \frac{240}{3} = 80 \; \text{km/h}$ , δηλαδή $\frac{80}{3{,}6} \approx 22{,}2 \; \text{m/s}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Ποδηλάτης διανύει 6 km σε 20 min και μετά ξεκουράζεται 10 min. Ποια είναι η μέση ταχύτητά του για όλο το μισάωρο;

Ήξερες ότι;

Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση (§2.3 — εκτός ύλης 2025-26, για εμβάθυνση)

Τα διαγράμματα είναι η «ακτινογραφία» της κίνησης:

Διάγραμμα x-t: ευθεία που ανεβαίνει — όσο πιο απότομη η κλίση της, τόσο μεγαλύτερη η ταχύτητα.
Διάγραμμα υ-t: οριζόντια γραμμή, αφού η ταχύτητα δεν αλλάζει. Και το κρυφό μυστικό: το εμβαδόν ανάμεσα στη γραμμή και τον άξονα του χρόνου ισούται με τη μετατόπιση!

\Delta x = \upsilon \cdot t = 6 \cdot 4 = 24\,m

Ορθογώνιο εμβαδόν Δx = υ·t: στην ΕΟΚ διπλάσιος χρόνος δίνει διπλάσια μετατόπιση — ευθεία αναλογία.

Παράδειγμα (τύπου διαγωνίσματος): Ποδηλάτης κινείται ευθύγραμμα ομαλά και διανύει 90 m σε 15 s.

(α) Ταχύτητα: $\upsilon = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{90}{15} = 6 \; \text{m/s}$ . Σε km/h: $6 \cdot 3{,}6 = 21{,}6 \; \text{km/h}$ .

(β) Μετατόπιση σε 2 min = 120 s: $x = \upsilon \cdot t = 6 \cdot 120 = 720 \; \text{m}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Αυτοκίνητο κινείται ευθύγραμμα ομαλά με ταχύτητα 72 km/h. Πόσο διάστημα διανύει σε 10 s;

από $0$ έως $100 \; \text{s}$ η θέση ανεβαίνει ομαλά από $0$ σε $150 \; \text{m}$ ,
από $100$ έως $160 \; \text{s}$ η γραμμή είναι οριζόντια στα $150 \; \text{m}$ ,
από $160$ έως $260 \; \text{s}$ η θέση κατεβαίνει ομαλά πίσω στο $0$ .

(α) Ταχύτητα πηγαιμού: $\upsilon_1 = \frac{150}{100} = 1{,}5 \; \text{m/s}$ .

(β) Από $100$ έως $160 \; \text{s}$ η θέση δεν αλλάζει: ο Νίκος είναι ακίνητος (αγοράζει στο περίπτερο) για $60 \; \text{s}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Πρόκληση

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

(α) Χρόνος μετάβασης: $t_1 = \frac{3}{6} = 0{,}5 \; \text{h}$ . Χρόνος επιστροφής: $t_2 = \frac{3}{3} = 1 \; \text{h}$ .

$\upsilon_{\text{μ}} = \frac{3 + 3}{0{,}5 + 1} = \frac{6}{1{,}5} = 4 \; \text{km/h}$ — όχι $\frac{6 + 3}{2} = 4{,}5 \; \text{km/h}$ !

Συνηθισμένα λάθη

Μέση ταχύτητα = μέσος όρος ταχυτήτων. Λάθος! Πάντα $\upsilon_{\text{μ}} = \frac{\text{συνολικό διάστημα}}{\text{συνολικό χρόνο}}$ , μαζί με τις στάσεις.
Ανακατεμένες μονάδες: km/h με δευτερόλεπτα ή m με ώρες. Μετέτρεψε πριν αντικαταστήσεις.
Λάθος διάγραμμα: οριζόντια γραμμή στο x-t = ακινησία, στο υ-t = σταθερή ταχύτητα. Κοίτα τον άξονα πριν απαντήσεις.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Η ταχύτητα δείχνει πόσο γρήγορα αλλάζει η θέση· στιγμιαία = του κοντέρ, μέση = για όλη τη διαδρομή.
Μέση ταχύτητα $\upsilon_{\text{μ}} = \frac{s}{t}$ με συνολικά $s$ και $t$ · μονάδα S.I. το $\text{m/s}$ , και $1 \; \text{m/s} = 3{,}6 \; \text{km/h}$ .
Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση: $x = \upsilon \cdot t$ · στο x-t ευθεία με κλίση, στο υ-t οριζόντια γραμμή.
Εμβαδόν κάτω από τη γραμμή του υ-t = μετατόπιση.