🎢

Μηχανική Ενέργεια & Διατήρηση

E = KE + U, διατήρηση της μηχανικής ενέργειας χωρίς τριβές, τι γίνεται όταν υπάρχουν τριβές

Γιατί με νοιάζει;

Στο λούνα παρκ, ένα καλώδιο ανεβάζει το τρενάκι μόνο στον πρώτο λόφο· από εκεί και πέρα κάνει όλη τη διαδρομή «μόνο του», χωρίς μηχανή. Πώς ξέρουν οι μηχανικοί πόσο ψηλά επιτρέπεται να είναι ο επόμενος λόφος; Με ένα απλό λογιστικό κόλπο: τη διατήρηση της μηχανικής ενέργειας.

Μηχανική ενέργεια

Ένα σώμα μπορεί να έχει ταυτόχρονα κινητική ενέργεια (επειδή κινείται) και δυναμική (επειδή βρίσκεται σε ύψος). Το άθροισμά τους, $E = KE + U$ , λέγεται μηχανική ενέργεια.

Σκέψου μια κούνια: στο ψηλότερο σημείο σταματά στιγμιαία — όλη η ενέργεια είναι δυναμική. Καθώς κατεβαίνει, η δυναμική μικραίνει και η κινητική μεγαλώνει· στο χαμηλότερο σημείο η ταχύτητα είναι μέγιστη. Μετά ανεβαίνει ξανά, και η κινητική ξαναγίνεται δυναμική.

Διατήρηση της ενέργειας

Όταν οι τριβές είναι αμελητέες, η μηχανική ενέργεια διατηρείται: ό,τι χάνει η $U$ το κερδίζει η $KE$ και αντίστροφα. Με τριβές, η μηχανική ενέργεια δεν χάνεται — μετατρέπεται σε θερμική ενέργεια. Η ολική ενέργεια διατηρείται πάντα.

$E = KE + U \qquad \text{χωρίς τριβές: } \; E_{\text{αρχ}} = E_{\text{τελ}}$

Άφησε την μπάλα να πέφτει και παρακολούθησε τις μπάρες ενέργειας: η U αδειάζει, η ΚΕ γεμίζει, αλλά το συνολικό «ύψος» των δύο μπαρών μένει αμετάβλητο — έτσι βλέπεις με τα μάτια σου τη διατήρηση της μηχανικής ενέργειας.

Γρήγορος έλεγχος

Μπάλα αφήνεται να πέσει ελεύθερα (χωρίς αντίσταση αέρα). Στη μέση της διαδρομής προς το έδαφος (με h = 0 στο έδαφος) τι ισχύει;

Μέθοδος: διατήρηση της μηχανικής ενέργειας

Διάλεξε επίπεδο αναφοράς ( $h = 0$ ), συνήθως το χαμηλότερο σημείο.
Γράψε τη μηχανική ενέργεια στην αρχική θέση: $E_{\text{αρχ}} = KE + U$ (αν το σώμα «αφήνεται», $KE = 0$ ).
Γράψε τη μηχανική ενέργεια στη θέση που σε ενδιαφέρει, με τα άγνωστα ως σύμβολα.
Χωρίς τριβές: $E_{\text{αρχ}} = E_{\text{τελ}}$ . Με τριβές: η διαφορά $E_{\text{αρχ}} - E_{\text{τελ}}$ έγινε θερμική ενέργεια.
Λύσε για το άγνωστο και κάνε έλεγχο με έναν μικρό «ενεργειακό πίνακα».

Παράδειγμα (τύπου διαγωνίσματος): Μπάλα μάζας $m = 2 \; \text{kg}$ αφήνεται από ύψος $h = 20 \; \text{m}$ . Δίνεται $g = 10 \; \text{N/kg}$ , η αντίσταση του αέρα αμελητέα.

(α) Αρχικά: $U = m \cdot g \cdot h = 2 \cdot 10 \cdot 20 = 400 \; \text{J}$ και $KE = 0$ (αφήνεται).

(β) Σε ύψος 10 m: $U = 2 \cdot 10 \cdot 10 = 200 \; \text{J}$ , άρα από διατήρηση $KE = 400 - 200 = 200 \; \text{J}$ — η ενέργεια μοιράστηκε στη μέση!

(γ) Στο έδαφος: $U = 0$ , άρα $KE = 400 \; \text{J}$ . Από $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \upsilon^2 = 400$ παίρνουμε $\upsilon^2 = 400$ , δηλαδή $\upsilon = 20 \; \text{m/s}$ .

Λυμένη άσκηση — η κούνια: Ένα παιδί $30 \; \text{kg}$ κάνει κούνια. Στο ψηλότερο σημείο σταματά στιγμιαία, $1{,}25 \; \text{m}$ πάνω από το χαμηλότερο ( $g = 10 \; \text{m/s}^2$ , χωρίς τριβές, $h = 0$ στο χαμηλότερο σημείο).

(α) Μηχανική ενέργεια: $E = U = 30 \cdot 10 \cdot 1{,}25 = 375 \; \text{J}$ (αφού $KE = 0$ στο ψηλότερο σημείο).

(β) Στο χαμηλότερο σημείο όλη έχει γίνει κινητική: $\frac{1}{2} \cdot 30 \cdot \upsilon^2 = 375 \Rightarrow \upsilon^2 = 25 \Rightarrow \upsilon = 5 \; \text{m/s}$ .

(γ) Σε ύψος $0{,}45 \; \text{m}$ : $U = 30 \cdot 10 \cdot 0{,}45 = 135 \; \text{J}$ , άρα $KE = 375 - 135 = 240 \; \text{J}$ και $\upsilon^2 = \frac{2 \cdot 240}{30} = 16$ , δηλαδή $\upsilon = 4 \; \text{m/s}$ .

Παράδειγμα 3 — η τσουλήθρα με τριβές: Παιδί μάζας $m = 30 \; \text{kg}$ ξεκινά από την ηρεμία από την κορυφή τσουλήθρας ύψους $h = 2 \; \text{m}$ και φτάνει στη βάση με ταχύτητα $\upsilon = 4 \; \text{m/s}$ . Δίνεται $g = 10 \; \text{m/s}^2$ .

Δεδομένα: $m = 30 \; \text{kg}$ , $h = 2 \; \text{m}$ , $\upsilon = 4 \; \text{m/s}$ στη βάση, $g = 10 \; \text{m/s}^2$ .

Ζητούμενα: (α) η αρχική μηχανική ενέργεια, (β) η κινητική ενέργεια στη βάση, (γ) η ενέργεια που έγινε θερμότητα, (δ) η ταχύτητα αν η τσουλήθρα δεν είχε τριβές.

Λύση (επίπεδο αναφοράς η βάση):

(α) $E_{\text{αρχ}} = U = 30 \cdot 10 \cdot 2 = 600 \; \text{J}$ (αφού $KE = 0$ ).

(β) $KE = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 4^2 = 15 \cdot 16 = 240 \; \text{J}$ .

(γ) $Q = 600 - 240 = 360 \; \text{J}$ έγιναν θερμική ενέργεια (ζεσταίνονται το παντελόνι και η τσουλήθρα!). Η ολική ενέργεια διατηρήθηκε.

(δ) Χωρίς τριβές: $\frac{1}{2} \cdot 30 \cdot \upsilon^2 = 600 \Rightarrow \upsilon^2 = 40 \Rightarrow \upsilon \approx 6{,}3 \; \text{m/s}$ .

Απάντηση: $E_{\text{αρχ}} = 600 \; \text{J}$ , $KE = 240 \; \text{J}$ , $Q = 360 \; \text{J}$ , και χωρίς τριβές $\upsilon \approx 6{,}3 \; \text{m/s}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Μπάλα μάζας 0,5 kg αφήνεται από ύψος 5 m (g = 10 m/s², χωρίς αντίσταση αέρα). Με ποια ταχύτητα φτάνει στο έδαφος;

Ήξερες ότι;

Ο Γαλιλαίος έκανε ένα κομψό πείραμα με ένα εκκρεμές: έβαλε ένα καρφί κάτω από το σημείο ανάρτησης, ώστε το νήμα να «σκαλώνει» στη μέση της διαδρομής. Όπου κι αν τοποθετούσε το καρφί, το βαρίδι ανέβαινε πάντα στο ίδιο ύψος από το οποίο ξεκίνησε — πάνω από δύο αιώνες πριν διατυπωθεί η έννοια της ενέργειας.

Κόλπο μνήμης

Φαντάσου τη μηχανική ενέργεια σαν χαρτζιλίκι σε δύο τσέπες, την $U$ και την $KE$ . Χωρίς τριβές απλώς μετακινείς χρήματα από τη μία τσέπη στην άλλη — το σύνολο μένει ίδιο. Οι τριβές είναι μια «τρύπα» από την οποία τα χρήματα φεύγουν ως θερμότητα.

Στις ασκήσεις ενέργειας, φτιάξε ενεργειακό «λογαριασμό»: ένας μικρός πίνακας με $U$ και $KE$ σε κάθε θέση — το άθροισμα πρέπει να βγαίνει ίδιο παντού, αλλιώς κάπου έγινε λάθος. Διάλεξε βολικά το επίπεδο αναφοράς ( $h = 0$ στο χαμηλότερο σημείο) και θυμήσου την αγαπημένη ερώτηση των διαγωνισμάτων: διπλάσια ταχύτητα → τετραπλάσια κινητική ενέργεια, γιατί το $\upsilon$ είναι στο τετράγωνο.

Γρήγορος έλεγχος

Ένα παιδί κάνει κούνια. Στο ψηλότερο σημείο ακινητεί στιγμιαία και έχει U = 300 J. Αγνοώντας τις τριβές, πόση κινητική ενέργεια έχει στο χαμηλότερο σημείο (h = 0);

Πρόκληση

Λούνα παρκ. Ένα βαγονάκι του τρενάκι-τρόμου ξεκινά από την ηρεμία στην κορυφή ενός λόφου ύψους $45 \; \text{m}$ . Αγνόησε τριβές και αντίσταση του αέρα, $g = 10 \; \text{m/s}^2$ . (α) Πόση ταχύτητα έχει στο χαμηλότερο σημείο ( $h = 0$ ); (β) Και όταν περνά από δεύτερο λόφο ύψους $25 \; \text{m}$ ; (γ) Μπορεί να ανέβει σε τρίτο λόφο ύψους $50 \; \text{m}$ ; (Δεν σου δίνουμε τη μάζα — δεν τη χρειάζεσαι!)

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Η μηχανική ενέργεια διατηρείται: $m g h_{\text{αρχ}} = m g h + \frac{1}{2} m \upsilon^2$ . Η μάζα απλοποιείται, οπότε $\upsilon^2 = 2g(h_{\text{αρχ}} - h)$ .

(α) $\upsilon^2 = 2 \cdot 10 \cdot 45 = 900 \Rightarrow \upsilon = 30 \; \text{m/s}$ .

(β) $\upsilon^2 = 2 \cdot 10 \cdot (45 - 25) = 400 \Rightarrow \upsilon = 20 \; \text{m/s}$ .

(γ) Για να φτάσει σε ύψος $50 \; \text{m}$ θα χρειαζόταν $U = m g \cdot 50$ , περισσότερη από όλη τη μηχανική του ενέργεια $m g \cdot 45$ .

Απάντηση: (α) $30 \; \text{m/s}$ ( $108 \; \text{km/h}$ !), (β) $20 \; \text{m/s}$ , (γ) όχι — χωρίς μηχανή, κανένα βαγονάκι δεν ανεβαίνει ψηλότερα από εκεί που ξεκίνησε.

Συνηθισμένα λάθη

«Η ενέργεια χάθηκε λόγω τριβών». Η μηχανική μειώθηκε, αλλά η ολική διατηρήθηκε — η διαφορά έγινε θερμική.
Διατήρηση της μηχανικής με τριβές. Όταν υπάρχουν τριβές, $E_{\text{αρχ}} > E_{\text{τελ}}$ · η διαφορά είναι η θερμότητα.
Αλλαγή επιπέδου αναφοράς στη μέση της άσκησης. Διάλεξε ένα $h = 0$ και κράτα το σε όλες τις θέσεις.
Ψάχνεις τη μάζα που δεν δίνεται. Στη διατήρηση η μάζα συχνά απλοποιείται: $\upsilon^2 = 2 g (h_{\text{αρχ}} - h)$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

Μηχανική ενέργεια: $E = KE + U$ .
Χωρίς τριβές η μηχανική ενέργεια διατηρείται: ό,τι χάνει η $U$ το κερδίζει η $KE$ και αντίστροφα.
Με τριβές η μηχανική ενέργεια μειώνεται· η διαφορά γίνεται θερμική — η ολική ενέργεια διατηρείται.
Ένα σώμα χωρίς κινητήρα δεν ανεβαίνει ποτέ ψηλότερα από εκεί που ξεκίνησε από ηρεμία.
Στις ασκήσεις: επίπεδο αναφοράς, «ενεργειακός πίνακας» σε κάθε θέση, ίδιο άθροισμα παντού.

Μηχανική ενέργεια

Ένα σώμα μπορεί να έχει ταυτόχρονα κινητική ενέργεια (επειδή κινείται) και δυναμική (επειδή βρίσκεται σε ύψος). Το άθροισμά τους,

E = KE + U

, λέγεται μηχανική ενέργεια.

Διατήρηση της ενέργειας

Όταν οι τριβές είναι αμελητέες, η μηχανική ενέργεια διατηρείται: ό,τι χάνει η

U

το κερδίζει η

KE

και αντίστροφα. Με τριβές, η μηχανική ενέργεια δεν χάνεται — μετατρέπεται σε θερμική ενέργεια. Η ολική ενέργεια διατηρείται πάντα.