⛵

Άνωση & Αρχή Αρχιμήδη

Άνωση, αρχή του Αρχιμήδη, συνθήκες πλεύσης, γιατί επιπλέουν τα πλοία

Πώς επιπλέει ένα ατσάλινο πλοίο;

Ένα καρφί βυθίζεται αμέσως· ένα κρουαζιερόπλοιο από ατσάλι, βαρύ όσο μια ολόκληρη γειτονιά, επιπλέει. Ένα αυγό πάει στον πάτο στο νερό της βρύσης — αλλά επιπλέει αν διαλύσεις αρκετό αλάτι. Όλα αυτά τα εξηγεί ένας κανόνας που βρήκε ένας Έλληνας πριν από περίπου 2.200 χρόνια.

Η δύναμη που σε «σηκώνει» στο νερό

Γιατί νιώθεις πιο «ελαφρύς» μέσα στη θάλασσα; Γιατί μια πέτρα σηκώνεται ευκολότερα μέσα στο νερό απ' ό,τι έξω;

Κάθε σώμα βυθισμένο (ολικά ή μερικά) σε υγρό δέχεται από αυτό μια κατακόρυφη δύναμη με φορά προς τα πάνω — την άνωση $A$ .

Από πού προέρχεται; Από την υδροστατική πίεση! Η κάτω επιφάνεια του σώματος βρίσκεται σε μεγαλύτερο βάθος από την πάνω, άρα δέχεται μεγαλύτερη πίεση. Η δύναμη από κάτω προς τα πάνω νικάει τη δύναμη από πάνω προς τα κάτω — και η διαφορά τους είναι η άνωση.

Άλλαξε την πυκνότητα του σώματος και άφησέ το στο υγρό: θα ανακαλύψεις ότι όταν είναι αραιότερο από το υγρό αναδύεται και επιπλέει, όταν είναι πυκνότερο βυθίζεται, και όταν οι πυκνότητες είναι ίσες αιωρείται όπου το αφήσεις — η σύγκριση πυκνοτήτων κρίνει τα πάντα.

Η αρχή του Αρχιμήδη

Ο Αρχιμήδης ανακάλυψε (λέγεται, μέσα στην μπανιέρα του — «Εύρηκα!») τον κανόνα που υπολογίζει την άνωση:

Η άνωση ισούται με το βάρος του υγρού που εκτοπίζει το σώμα.

Με σύμβολα: $A = \rho_{\text{υγρ}} \cdot g \cdot V_{\text{βυθ}}$ , όπου $V_{\text{βυθ}}$ είναι ο όγκος μόνο του βυθισμένου μέρους του σώματος.

Πρόσεξε τι δεν υπάρχει στον τύπο: ούτε η μάζα του σώματος, ούτε το υλικό του, ούτε το βάθος! Μια σιδερένια και μια ξύλινη μπάλα ίδιου όγκου, ολόκληρες μέσα στο νερό, δέχονται ακριβώς την ίδια άνωση — απλώς η σιδερένια έχει πολύ μεγαλύτερο βάρος, γι' αυτό βυθίζεται.

$A = \rho_{\text{υγρ}} \cdot g \cdot V_{\text{βυθ}}$

Κόλπο μνήμης

Άνωση = το βάρος του υγρού που «έδιωξες». Φαντάσου ότι το σώμα κάνει «έξωση» σε λίγο υγρό για να πιάσει τη θέση του — και το υγρό του γύρω νερού σπρώχνει προς τα πάνω με όσο ζύγιζε το υγρό που έφυγε.

Πλεύση: η μονομαχία άνωσης και βάρους (§4.6 — εκτός ύλης 2025-26, για εμβάθυνση)

Η μοίρα ενός σώματος μέσα σε υγρό κρίνεται από τη σύγκριση βάρους και άνωσης — ή ισοδύναμα, των πυκνοτήτων:

$\rho_{\text{σωμ}} < \rho_{\text{υγρ}}$ : το σώμα ανεβαίνει και επιπλέει, με ένα μέρος του έξω από το υγρό. Στην ισορροπία ισχύει $A = w$ .
$\rho_{\text{σωμ}} = \rho_{\text{υγρ}}$ : το σώμα ισορροπεί όπου το αφήσεις μέσα στο υγρό.
$\rho_{\text{σωμ}} > \rho_{\text{υγρ}}$ : το βάρος νικάει και το σώμα βυθίζεται.

Και το πλοίο; Είναι ατσάλινο, κι όμως επιπλέει! Το κόλπο είναι το σχήμα του: το κύτος κλείνει μέσα του τεράστιο όγκο αέρα, οπότε η μέση πυκνότητα του πλοίου γίνεται μικρότερη από του νερού. Γι' αυτό στη Νεκρά Θάλασσα (πολύ αλμυρό, πυκνότερο νερό) επιπλέεις χωρίς καμία προσπάθεια!

Γρήγορος έλεγχος

Κομμάτι ξύλου βάρους 12 N επιπλέει ακίνητο στην επιφάνεια του νερού. Πόση άνωση δέχεται;

Μέθοδος: ασκήσεις άνωσης

Βρες τον βυθισμένο όγκο σε $\text{m}^3$ : $1 \; \text{L} = 0{,}001 \; \text{m}^3$ , $1 \; \text{cm}^3 = 0{,}000001 \; \text{m}^3$ .
Υπολόγισε την άνωση με την πυκνότητα του υγρού: $A = \rho_{\text{υγρ}} \cdot g \cdot V_{\text{βυθ}}$ .
Σύγκρινε με το βάρος $w = m g$ : $A > w$ ανεβαίνει, $A = w$ ισορροπεί, $A < w$ βυθίζεται.
Αν το σώμα επιπλέει, γράψε $A = w$ και λύσε για το άγνωστο (συνήθως τον $V_{\text{βυθ}}$ ).
Με δυναμόμετρο: $A = w_{\text{αέρα}} - w_{\text{νερό}}$ (η ένδειξη μικραίνει όσο είναι η άνωση).

Παράδειγμα (τύπου διαγωνίσματος): Συμπαγές σώμα όγκου $V = 0{,}002 \; \text{m}^3$ και βάρους $w = 30 \; \text{N}$ βυθίζεται ολόκληρο σε νερό. Δίνονται $\rho = 1000 \; \text{kg/m}^3$ , $g = 10 \; \text{m/s}^2$ .

(α) Άνωση: $A = \rho \cdot g \cdot V_{\text{βυθ}} = 1000 \cdot 10 \cdot 0{,}002 = 20 \; \text{N}$ .

(β) Σύγκριση: $w = 30 \; \text{N} > A = 20 \; \text{N}$ , άρα το σώμα βυθίζεται. Η συνισταμένη είναι $30 - 20 = 10 \; \text{N}$ προς τα κάτω — το «φαινόμενο βάρος» του μέσα στο νερό.

(γ) Αν το ίδιο σώμα είχε βάρος $w' = 20 \; \text{N}$ , τότε $A = w'$ και θα ισορροπούσε πλήρως βυθισμένο, σε όποιο σημείο του νερού το αφήσουμε.

Παράδειγμα 2 — πέτρα στο δυναμόμετρο: Κρεμάμε μια πέτρα σε δυναμόμετρο: στον αέρα δείχνει $25 \; \text{N}$ . Όταν βυθίσουμε την πέτρα ολόκληρη σε νερό, δείχνει $15 \; \text{N}$ . Δίνονται $\rho_{\text{νερού}} = 1000 \; \text{kg/m}^3$ , $g = 10 \; \text{m/s}^2$ .

Δεδομένα: $w_{\text{αέρα}} = 25 \; \text{N}$ , $w_{\text{νερό}} = 15 \; \text{N}$ , $\rho_{\text{νερού}} = 1000 \; \text{kg/m}^3$ , $g = 10 \; \text{m/s}^2$ .

Ζητούμενα: (α) η άνωση, (β) ο όγκος της πέτρας, (γ) η πυκνότητά της.

Λύση:

(α) Η άνωση «ελαφραίνει» την πέτρα: $A = 25 - 15 = 10 \; \text{N}$ .

(β) Η πέτρα είναι ολόκληρη βυθισμένη, άρα $V = V_{\text{βυθ}} = \frac{A}{\rho g} = \frac{10}{1000 \cdot 10} = 0{,}001 \; \text{m}^3 = 1 \; \text{L}$ .

(γ) Μάζα $m = \frac{w}{g} = \frac{25}{10} = 2{,}5 \; \text{kg}$ , άρα $\rho = \frac{m}{V} = \frac{2{,}5}{0{,}001} = 2500 \; \text{kg/m}^3$ .

Απάντηση: $A = 10 \; \text{N}$ , $V = 1 \; \text{L}$ , $\rho = 2500 \; \text{kg/m}^3$ — πυκνότερη από το νερό, όπως αναμενόταν για πέτρα.

Παράδειγμα 3 — πόσο βουλιάζει ένα ξύλο: Ξύλινος κύβος έχει όγκο $V = 0{,}004 \; \text{m}^3$ και μάζα $m = 2{,}4 \; \text{kg}$ . Τον αφήνουμε στο νερό ( $\rho = 1000 \; \text{kg/m}^3$ , $g = 10 \; \text{m/s}^2$ ).

(α) Πυκνότητα ξύλου: $\rho_{\xi} = \frac{2{,}4}{0{,}004} = 600 \; \text{kg/m}^3 < 1000$ , άρα επιπλέει.

(β) Στην ισορροπία $A = w = 2{,}4 \cdot 10 = 24 \; \text{N}$ .

(γ) Βυθισμένος όγκος: $V_{\text{βυθ}} = \frac{A}{\rho g} = \frac{24}{1000 \cdot 10} = 0{,}0024 \; \text{m}^3$ .

(δ) Ποσοστό κάτω από το νερό: $\frac{0{,}0024}{0{,}004} = 0{,}6 = 60\%$ — ακριβώς όσο ο λόγος των πυκνοτήτων $\frac{600}{1000}$ ! Με τον ίδιο τρόπο εξηγείται γιατί από ένα παγόβουνο φαίνεται μόνο η «κορυφή» του.

Γρήγορος έλεγχος

Μια σιδερένια και μια ξύλινη σφαίρα έχουν τον ίδιο όγκο και βυθίζονται ολόκληρες σε νερό. Τι ισχύει για τις ανώσεις που δέχονται;

Γρήγορος έλεγχος

Μια πέτρα βρίσκεται ολόκληρη μέσα σε λίμνη και κατεβαίνει από βάθος 2 m σε βάθος 6 m. Τι παθαίνει η άνωση που δέχεται;

Γρήγορος έλεγχος

Ένα πλοίο φεύγει από το λιμάνι ενός ποταμού (γλυκό νερό) και βγαίνει στη θάλασσα (πυκνότερο, αλμυρό νερό). Τι θα συμβεί;

Ήξερες ότι;

Στη Νεκρή Θάλασσα το νερό είναι τόσο αλμυρό που η πυκνότητά του φτάνει περίπου τα $1240 \; \text{kg/m}^3$ — πολύ μεγαλύτερη από του ανθρώπινου σώματος. Γι' αυτό οι λουόμενοι επιπλέουν ξαπλωμένοι χωρίς καμία προσπάθεια και μπορούν να διαβάζουν εφημερίδα πάνω στο νερό. Ο βυθισμένος όγκος που χρειάζεται για να ισχύει $A = w$ είναι πολύ μικρός.

Όταν μια άσκηση λέει ότι σώμα επιπλέει και ισορροπεί, γράψε αμέσως $A = w$ — αυτή είναι σχεδόν πάντα η εξίσωση-κλειδί. Πρόσεχε το $V_{\text{βυθ}}$ : σε σώμα που επιπλέει είναι μικρότερο από τον ολικό όγκο. Και στον τύπο της άνωσης μπαίνει πάντα η πυκνότητα του υγρού, ποτέ του σώματος — η πυκνότητα του σώματος χρησιμεύει μόνο για να προβλέψεις αν θα επιπλεύσει ή θα βυθιστεί.

Πρόκληση

Το παγάκι στο ποτήρι. Ένα παγάκι όγκου $20 \; \text{cm}^3$ επιπλέει σε ποτήρι γεμάτο νερό ως το χείλος. Δίνονται $\rho_{\text{πάγου}} = 900 \; \text{kg/m}^3$ , $\rho_{\text{νερού}} = 1000 \; \text{kg/m}^3$ , $g = 10 \; \text{N/kg}$ . (α) Πόσος όγκος του παγακιού είναι κάτω από το νερό; (β) Όταν το παγάκι λιώσει, θα ξεχειλίσει το ποτήρι;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

(α) Όγκος σε S.I.: $V = 20 \; \text{cm}^3 = 20 \cdot 10^{-6} \; \text{m}^3$ . Μάζα: $m = 900 \cdot 20 \cdot 10^{-6} = 0{,}018 \; \text{kg} = 18 \; \text{g}$ . Βάρος: $w = 0{,}18 \; \text{N}$ .

Επιπλέει, άρα $A = w$ : $V_{\text{βυθ}} = \frac{0{,}18}{1000 \cdot 10} = 1{,}8 \cdot 10^{-5} \; \text{m}^3 = 18 \; \text{cm}^3$ , δηλαδή το $90\%$ του παγακιού.

(β) Όταν λιώσει, τα $18 \; \text{g}$ πάγου γίνονται $18 \; \text{g}$ νερού, με όγκο $\frac{18 \; \text{g}}{1 \; \text{g/cm}^3} = 18 \; \text{cm}^3$ — ακριβώς όσος ήταν ο βυθισμένος όγκος.

Απάντηση: (α) $18 \; \text{cm}^3$ κάτω από το νερό. (β) Όχι: το λιωμένο νερό γεμίζει ακριβώς την «τρύπα» που έπιανε το βυθισμένο κομμάτι, οπότε η στάθμη μένει ίδια.

Συνηθισμένα λάθη

Πυκνότητα σώματος στον τύπο της άνωσης. Στο $A = \rho g V_{\text{βυθ}}$ μπαίνει πάντα η πυκνότητα του υγρού.
Ολικός όγκος σε σώμα που επιπλέει. Μετράει μόνο ο βυθισμένος όγκος, που είναι μικρότερος από τον ολικό.
Λίτρα ή cm³ στον τύπο. Μετέτρεψε σε $\text{m}^3$ : $1 \; \text{L} = 0{,}001 \; \text{m}^3$ .
«Όσο πιο βαθιά, τόσο μεγαλύτερη άνωση». Η πίεση αυξάνεται με το βάθος· η άνωση ενός πλήρως βυθισμένου σώματος όχι.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Άνωση: κατακόρυφη δύναμη προς τα πάνω από το υγρό, λόγω διαφοράς υδροστατικής πίεσης πάνω–κάτω.
Αρχή του Αρχιμήδη: $A = \rho_{\text{υγρ}} \cdot g \cdot V_{\text{βυθ}}$ = βάρος του υγρού που εκτοπίζεται.
Δεν εξαρτάται από το υλικό, το βάρος ή το βάθος του σώματος — μόνο από το υγρό και τον βυθισμένο όγκο.
$\rho_{\text{σωμ}} < \rho_{\text{υγρ}}$ επιπλέει ( $A = w$ ), $=$ αιωρείται, $>$ βυθίζεται.
Με δυναμόμετρο: $A = w_{\text{αέρα}} - w_{\text{υγρό}}$ .

Η δύναμη που σε «σηκώνει» στο νερό

Γιατί νιώθεις πιο «ελαφρύς» μέσα στη θάλασσα; Γιατί μια πέτρα σηκώνεται ευκολότερα μέσα στο νερό απ' ό,τι έξω;

Κάθε σώμα βυθισμένο (ολικά ή μερικά) σε υγρό δέχεται από αυτό μια κατακόρυφη δύναμη με φορά προς τα πάνω — την άνωση

A