🏎️

Εξισώσεις Κίνησης & Διαγράμματα (ΕΟΜΚ)

Δx = υ₀t + ½αt², απόσταση στάσης, συνάντηση κινητών, διαγράμματα x-t, υ-t, α-t

Γιατί στα 100 km/h χρειάζεσαι τόσο περισσότερο δρόμο για να σταματήσεις;

Στα μαθήματα οδήγησης θα ακούσεις ότι αν διπλασιάσεις την ταχύτητα, η απόσταση φρεναρίσματος τετραπλασιάζεται. Δεν είναι κανόνας για να σε τρομάξουν: βγαίνει κατευθείαν από τις εξισώσεις αυτού του μαθήματος. Μέχρι το τέλος θα μπορείς να το αποδείξεις μόνος σου, και θα λύνεις κάθε άσκηση ευθύγραμμης κίνησης με ένα πρόχειρο διάγραμμα υ-t.

Η εξίσωση θέσης στην ΕΟΜΚ

Στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση η ταχύτητα αλλάζει γραμμικά, $\upsilon = \upsilon_0 + \alpha t$ (δες την επιτάχυνση). Η μετατόπιση βγαίνει από το εμβαδόν του διαγράμματος υ-t:

$\Delta x = \upsilon_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2$

Με αρχική θέση $x_0$ , η εξίσωση κίνησης είναι $x = x_0 + \upsilon_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2$ . Στην επιβραδυνόμενη κίνηση (με $\alpha$ το μέτρο) γράφουμε $\Delta x = \upsilon_0 t - \frac{1}{2}\alpha t^2$ . Από ηρεμία ( $\upsilon_0 = 0$ ) οι σχέσεις γίνονται $\upsilon = \alpha t$ και $\Delta x = \frac{1}{2}\alpha t^2$ — η μετατόπιση μεγαλώνει με το τετράγωνο του χρόνου.

Σύρε τον χρόνο στο διάγραμμα υ-t και δες το εμβαδόν κάτω από τη γραμμή να «χτίζει» τη μετατόπιση: θα παρατηρήσεις ότι ορθογώνιο σημαίνει ΕΟΚ, τρίγωνο σημαίνει εκκίνηση από ηρεμία, και ότι η κλίση της γραμμής είναι ακριβώς η επιτάχυνση α.

$\upsilon = \upsilon_0 + \alpha t, \qquad \Delta x = \upsilon_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$

Κόλπο μνήμης

ξέχασες τον τύπο της μετατόπισης; Ζωγράφισε το υ-t. Στην ΕΟΕΚ είναι τραπέζιο με βάσεις $\upsilon_0$ και $\upsilon$ και ύψος $t$ , άρα $\Delta x = \frac{\upsilon_0 + \upsilon}{2}\, t$ . Βάλε $\upsilon = \upsilon_0 + \alpha t$ και ο τύπος «ξαναγεννιέται»: $\frac{2\upsilon_0 + \alpha t}{2}\, t = \upsilon_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2$ .

Διαγράμματα: ο χάρτης της κίνησης

Τρεις χρυσοί κανόνες λύνουν σχεδόν κάθε θέμα με γραφικές παραστάσεις:

Η κλίση στο διάγραμμα x-t δίνει την ταχύτητα $\upsilon$
Η κλίση στο διάγραμμα υ-t δίνει την επιτάχυνση $\alpha$
Το εμβαδόν ανάμεσα στη γραμμή του υ-t και τον άξονα του χρόνου δίνει τη μετατόπιση $\Delta x$

Στην ΕΟΕΚ το υ-t είναι ευθεία με κλίση $\alpha$ , ενώ το x-t γίνεται παραβολή — η θέση αλλάζει όλο και πιο γρήγορα. Οριζόντια γραμμή στο x-t σημαίνει ακινησία, και σε καμπύλη x-t η στιγμιαία ταχύτητα είναι η κλίση στο συγκεκριμένο σημείο. Εμβαδόν του υ-t κάτω από τον άξονα μετράει ως αρνητική μετατόπιση, ενώ το εμβαδόν στο διάγραμμα α-t δίνει τη μεταβολή της ταχύτητας $\Delta\upsilon$ .

Με αυτά τα εργαλεία μπορείς να «διαβάσεις» ολόκληρη την ιστορία της κίνησης από ένα μόνο σχήμα, χωρίς ούτε μία εξίσωση.

$\kappa\lambda\acute{\iota}\sigma\eta\ (x\text{–}t) = \upsilon, \qquad \kappa\lambda\acute{\iota}\sigma\eta\ (\upsilon\text{–}t) = \alpha, \qquad \varepsilon\mu\beta\alpha\delta\acute{o}\nu\ (\upsilon\text{–}t) = \Delta x$

Ήξερες ότι;

Ο Γαλιλαίος δεν είχε χρονόμετρα αρκετά ακριβή για την ελεύθερη πτώση, που είναι πολύ γρήγορη. Έτσι την «επιβράδυνε»: άφηνε μπάλες να κυλούν σε κεκλιμένα επίπεδα και μετρούσε τον χρόνο ζυγίζοντας το νερό που έτρεχε από ένα δοχείο. Βρήκε ότι, ξεκινώντας από ηρεμία, οι αποστάσεις αυξάνονται ανάλογα με το τετράγωνο του χρόνου, δηλαδή $\Delta x = \frac{1}{2}\alpha t^2$ . Το δημοσίευσε το 1638.

Γρήγορος έλεγχος

Σε διάγραμμα ταχύτητας–χρόνου, τι παριστάνει το εμβαδόν ανάμεσα στη γραμμή και στον άξονα του χρόνου;

Μέθοδος: ασκήσεις ευθύγραμμης κίνησης

Σχεδίασε άξονα, όρισε αρχή ( $x = 0$ ), θετική φορά και χρονική στιγμή $t = 0$ .
Χώρισε την κίνηση σε φάσεις (ΕΟΚ, επιταχυνόμενη, επιβραδυνόμενη) και γράψε για καθεμιά τα $\upsilon_0$ και $\alpha$ .
Γράψε για κάθε φάση $\upsilon = \upsilon_0 + \alpha t$ και $x = x_0 + \upsilon_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2$ — η τελική ταχύτητα μιας φάσης είναι η αρχική της επόμενης.
Σε ασκήσεις συνάντησης δύο κινητών γράψε τις εξισώσεις θέσης με κοινή αρχή και κοινό $t = 0$ και θέσε $x_A = x_B$ .
Έλεγξε το αποτέλεσμα με το διάγραμμα υ-t (εμβαδόν = μετατόπιση).

Στάση επιβραδυνόμενου κινητού: αν $\alpha$ είναι το μέτρο της επιβράδυνσης, το κινητό σταματά όταν $\upsilon = 0$ , δηλαδή μετά από χρόνο και απόσταση

$t_{\sigma\tau} = \frac{\upsilon_0}{\alpha}, \qquad \Delta x_{\sigma\tau} = \frac{\upsilon_0^2}{2\alpha}$

(το εμβαδόν του τριγώνου $\frac{1}{2}\upsilon_0 t_{\sigma\tau}$ στο υ-t).

Άσκηση: Αυτοκίνητο ξεκινά από ηρεμία και επιταχύνεται ομαλά με $\alpha = 2 \ \text{m/s}^2$ για $5 \ \text{s}$ , και στη συνέχεια κινείται με σταθερή ταχύτητα για άλλα $5 \ \text{s}$ . Να βρεθεί η συνολική μετατόπιση.

Λύση: Φάση 1 (ΕΟΕΚ, $\upsilon_0 = 0$ ): η τελική ταχύτητα είναι $\upsilon = \alpha t = 2 \cdot 5 = 10 \ \text{m/s}$ .

Στο διάγραμμα υ-t η φάση 1 είναι τρίγωνο με βάση 5 s και ύψος 10 m/s:

$\Delta x_1 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 10 = 25 \ \text{m}$

Η φάση 2 (ΕΟΚ) είναι ορθογώνιο:

$\Delta x_2 = \upsilon \cdot t = 10 \cdot 5 = 50 \ \text{m}$

Συνολικά: $\Delta x = 25 + 50 = 75 \ \text{m}$ . Επαλήθευση με τύπο: $\Delta x_1 = \frac{1}{2} \alpha t^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 25 = 25 \ \text{m}$ . ✔

Παράδειγμα (φρενάρισμα): Αυτοκίνητο κινείται με $72 \ \text{km/h}$ . Ο οδηγός φρενάρει και το αυτοκίνητο επιβραδύνεται ομαλά με επιβράδυνση μέτρου $\alpha = 4 \ \text{m/s}^2$ . Σε πόσο χρόνο και σε πόση απόσταση σταματά;

Λύση: Μετατροπή: $\upsilon_0 = \frac{72}{3{,}6} = 20 \ \text{m/s}$ .

Χρόνος στάσης: $0 = \upsilon_0 - \alpha t \Rightarrow t_{\sigma\tau} = \frac{20}{4} = 5 \ \text{s}$ .

Απόσταση:

$\Delta x = \upsilon_0 t - \frac{1}{2}\alpha t^2 = 20 \cdot 5 - \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 25 = 100 - 50 = 50 \ \text{m}$

Επαλήθευση: $\frac{\upsilon_0^2}{2\alpha} = \frac{400}{8} = 50 \ \text{m}$ ✔ — και στο υ-t, τρίγωνο με βάση $5 \ \text{s}$ και ύψος $20 \ \text{m/s}$ : $\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 20 = 50 \ \text{m}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Αυτοκίνητο με ταχύτητα $\upsilon_0 = 20 \ \text{m/s}$ φρενάρει με σταθερή επιβράδυνση μέτρου $5 \ \text{m/s}^2$ . Σε πόση απόσταση σταματά;

Γρήγορος έλεγχος

Στο διάγραμμα υ-t η ταχύτητα ενός κινητού αυξάνεται γραμμικά από $4 \ \text{m/s}$ σε $12 \ \text{m/s}$ στο χρονικό διάστημα $0$ – $4 \ \text{s}$ . Η μετατόπισή του σε αυτό το διάστημα είναι:

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Τη χρονική στιγμή $t = 0$ αυτοκίνητο Α ξεκινά από ηρεμία από το σημείο Ο με σταθερή επιτάχυνση $\alpha = 2 \ \text{m/s}^2$ . Την ίδια στιγμή περνά από το Ο μοτοσικλέτα Β που κινείται ομόρροπα με σταθερή ταχύτητα $\upsilon_B = 10 \ \text{m/s}$ .

Δεδομένα: $\upsilon_{0A} = 0$ , $\alpha = 2 \ \text{m/s}^2$ , $\upsilon_B = 10 \ \text{m/s}$ , κοινή αρχή το Ο.

Ζητούμενο: α) Πότε και πού το Α φτάνει τη Β; β) Ποια είναι τότε η ταχύτητα του Α; γ) Ποια είναι η μέγιστη απόσταση των δύο οχημάτων πριν συναντηθούν;

Λύση: Εξισώσεις θέσης (σε m, με $t$ σε s): $x_A = \frac{1}{2}\alpha t^2 = t^2$ και $x_B = \upsilon_B t = 10t$ .

α) Συνάντηση: $x_A = x_B \Rightarrow t^2 = 10t \Rightarrow t = 10 \ \text{s}$ (η λύση $t = 0$ είναι η αρχική στιγμή). Θέση: $x = 10 \cdot 10 = 100 \ \text{m}$ .

β) $\upsilon_A = \alpha t = 2 \cdot 10 = 20 \ \text{m/s}$ — διπλάσια της $\upsilon_B$ .

γ) Όσο $\upsilon_A < \upsilon_B$ η Β απομακρύνεται· η απόσταση γίνεται μέγιστη όταν $\upsilon_A = \upsilon_B$ , δηλαδή $2t = 10 \Rightarrow t = 5 \ \text{s}$ . Τότε $x_B - x_A = 50 - 25 = 25 \ \text{m}$ .

Απάντηση: α) $t = 10 \ \text{s}$ , $x = 100 \ \text{m}$ β) $20 \ \text{m/s}$ γ) $25 \ \text{m}$ .

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Το διάγραμμα υ-t ενός αυτοκινήτου αποτελείται από τρία ευθύγραμμα τμήματα: η ταχύτητα αυξάνεται από $0$ σε $10 \ \text{m/s}$ στο διάστημα $0$ – $4 \ \text{s}$ , μένει σταθερή $10 \ \text{m/s}$ στο $4$ – $16 \ \text{s}$ και μειώνεται από $10 \ \text{m/s}$ σε $0$ στο $16$ – $20 \ \text{s}$ .

Δεδομένα: τα τρία τμήματα του διαγράμματος υ-t.

Ζητούμενο: α) η επιτάχυνση σε κάθε φάση, β) η συνολική μετατόπιση, γ) η μέση ταχύτητα, δ) η στιγμιαία ταχύτητα τη στιγμή $t = 2 \ \text{s}$ .

Λύση: α) Κλίσεις: $\alpha_1 = \frac{10 - 0}{4} = 2{,}5 \ \text{m/s}^2$ , $\alpha_2 = 0$ , $\alpha_3 = \frac{0 - 10}{4} = -2{,}5 \ \text{m/s}^2$ .

β) Εμβαδά: $\Delta x_1 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 10 = 20 \ \text{m}$ , $\Delta x_2 = 12 \cdot 10 = 120 \ \text{m}$ , $\Delta x_3 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 10 = 20 \ \text{m}$ , άρα $\Delta x = 160 \ \text{m}$ .

γ) Η κίνηση δεν αλλάζει φορά, οπότε $s = \Delta x$ και $\upsilon_{\mu} = \frac{160}{20} = 8 \ \text{m/s}$ .

δ) $\upsilon(2) = \alpha_1 t = 2{,}5 \cdot 2 = 5 \ \text{m/s}$ — διαφορετική από τη μέση, όπως περιμένουμε σε μη ομαλή κίνηση.

Απάντηση: α) $2{,}5$ , $0$ και $-2{,}5 \ \text{m/s}^2$ β) $160 \ \text{m}$ γ) $8 \ \text{m/s}$ δ) $5 \ \text{m/s}$ .

Πρόκληση

Χρόνος αντίδρασης. Ένας οδηγός βλέπει ξαφνικά εμπόδιο. Για $0{,}5 \ \text{s}$ (χρόνος αντίδρασης) το αυτοκίνητο συνεχίζει με σταθερή ταχύτητα. Μετά φρενάρει με επιβράδυνση μέτρου $\alpha = 5 \ \text{m/s}^2$ . Πόση είναι η συνολική απόσταση ακινητοποίησης αν κινείται (α) με $36 \ \text{km/h}$ και (β) με $72 \ \text{km/h}$ ; Τι παρατηρείς;

Δεδομένα: $t_\alpha = 0{,}5 \ \text{s}$ , $\alpha = 5 \ \text{m/s}^2$ , $\upsilon_1 = \frac{36}{3{,}6} = 10 \ \text{m/s}$ , $\upsilon_2 = \frac{72}{3{,}6} = 20 \ \text{m/s}$ .

Ζητούμενο: η συνολική απόσταση $d = d_{\alpha\nu\tau} + d_{\varphi\rho}$ .

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Στην αντίδραση έχουμε ΕΟΚ: $d_{\alpha\nu\tau} = \upsilon_0 t_\alpha$ . Στο φρενάρισμα ο χρόνος στάσης είναι $t = \frac{\upsilon_0}{\alpha}$ , άρα:

$d_{\varphi\rho} = \upsilon_0 \frac{\upsilon_0}{\alpha} - \frac{1}{2}\alpha \frac{\upsilon_0^2}{\alpha^2} = \frac{\upsilon_0^2}{2\alpha}$

(α) $d_{\alpha\nu\tau} = 10 \cdot 0{,}5 = 5 \ \text{m}$ , $d_{\varphi\rho} = \frac{100}{10} = 10 \ \text{m}$ , άρα $d = 15 \ \text{m}$ .

(β) $d_{\alpha\nu\tau} = 20 \cdot 0{,}5 = 10 \ \text{m}$ , $d_{\varphi\rho} = \frac{400}{10} = 40 \ \text{m}$ , άρα $d = 50 \ \text{m}$ .

Απάντηση: $15 \ \text{m}$ και $50 \ \text{m}$ . Με διπλάσια ταχύτητα το φρενάρισμα τετραπλασιάστηκε (λόγω του $\upsilon_0^2$ ) και η συνολική απόσταση έγινε πάνω από τριπλάσια.

Στα θέματα κίνησης, ζωγράφισε ΠΑΝΤΑ πρόχειρα το υ-t — ακόμα κι αν δεν το ζητάει η εκφώνηση. Σπάσε την κίνηση σε φάσεις, υπολόγισε εμβαδά αντί να λύνεις εξισώσεις, και θυμήσου τις «μεταφράσεις»: «ξεκινά από ηρεμία» → $\upsilon_0 = 0$ , «σταματά» → $\upsilon = 0$ , «επιβραδύνεται ομαλά» → βάλε $-\alpha$ στις εξισώσεις. Τέλος, έλεγχος μονάδων: όλα σε m, s, m/s πριν αντικαταστήσεις.

Συνηθισμένα λάθη

Διάστημα αντί για μετατόπιση: σε κίνηση με αλλαγή φοράς τα $s$ και $\Delta x$ διαφέρουν. Διόρθωση: για «πόσο απέχει από την αφετηρία» θέλεις $\Delta x$ , για «πόσο δρόμο έκανε» θέλεις $s$ .
Θετικό $\alpha$ στο φρενάρισμα: Διόρθωση: στην επιβραδυνόμενη $\upsilon = \upsilon_0 - \alpha t$ και $\Delta x = \upsilon_0 t - \frac{1}{2}\alpha t^2$ , με $\alpha$ το μέτρο.
Χρόνος μετά τη στάση: αν ζητείται η θέση σε $t > t_{\sigma\tau}$ , το κινητό έχει ήδη σταματήσει και οι εξισώσεις δεν ισχύουν πια. Διόρθωση: υπολόγισε πρώτα $t_{\sigma\tau} = \frac{\upsilon_0}{\alpha}$ .
Λάθος διάγραμμα: οριζόντια γραμμή σημαίνει ακινησία στο x-t αλλά ΕΟΚ στο υ-t. Διόρθωση: διάβασε πρώτα τους άξονες.

Σύνοψη — τι κρατάμε

ΕΟΜΚ: $\upsilon = \upsilon_0 + \alpha t$ , $\Delta x = \upsilon_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2$ · στην επιβραδυνόμενη το $\alpha$ μπαίνει με μείον. Από ηρεμία $\Delta x = \frac{1}{2}\alpha t^2$ , ανάλογη του $t^2$ .
Στάση: $t_{\sigma\tau} = \frac{\upsilon_0}{\alpha}$ , $\Delta x_{\sigma\tau} = \frac{\upsilon_0^2}{2\alpha}$ .
Κλίση x-t = ταχύτητα, κλίση υ-t = επιτάχυνση, εμβαδόν υ-t = μετατόπιση, εμβαδόν α-t = $\Delta\upsilon$ .
Συνάντηση: $x_A = x_B$ με κοινή αρχή και κοινό $t = 0$ .

Η εξίσωση θέσης στην ΕΟΜΚ

Στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση η ταχύτητα αλλάζει γραμμικά,

\upsilon = \upsilon_0 + \alpha t

(δες την επιτάχυνση). Η μετατόπιση βγαίνει από το εμβαδόν του διαγράμματος υ-t:

\Delta x = \upsilon_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2

Με αρχική θέση

x_0

, η εξίσωση κίνησης είναι

x = x_0 + \upsilon_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2

. Στην επιβραδυνόμενη κίνηση (με

\alpha

το μέτρο) γράφουμε

\Delta x = \upsilon_0 t - \frac{1}{2}\alpha t^2

. Από ηρεμία (

\upsilon_0 = 0

) οι σχέσεις γίνονται

\upsilon = \alpha t

και

\Delta x = \frac{1}{2}\alpha t^2

— η μετατόπιση μεγαλώνει με το τετράγωνο του χρόνου.