🔥

Η Τριβή & η Μηχανική Ενέργεια

ΘΜΚΕ με τριβή, ΔE = W_T, θερμότητα Q = T·s, διαδρομές με τμήματα

Γιατί τρίβεις τα χέρια σου όταν κρυώνεις;

Κάθε φορά που δύο επιφάνειες γλιστρούν η μία πάνω στην άλλη, ένα μέρος της μηχανικής ενέργειας «εξαφανίζεται»… και εμφανίζεται ως θερμότητα. Τα χέρια σου ζεσταίνονται, τα φρένα ενός αυτοκινήτου καίνε μετά από μια μεγάλη κατηφόρα, ένα σπίρτο ανάβει. Εδώ θα μάθεις να υπολογίζεις ακριβώς πόση ενέργεια μετατρέπεται σε θερμότητα λόγω τριβής.

Η τριβή «τρώει» μηχανική ενέργεια

Αν όμως υπάρχει τριβή, η μηχανική ενέργεια μειώνεται: η «χαμένη» ενέργεια γίνεται θερμότητα, ίση με $|W_T| = T \cdot x$ . Τότε δουλεύεις με ΘΜΚΕ αντί για διατήρηση.

Γιατί; Το ΘΜΚΕ με βάρος και τριβή δίνει $W_w + W_T = K_2 - K_1$ . Αφού $W_w = U_1 - U_2$ :

$(K_2 + U_2) - (K_1 + U_1) = W_T \Rightarrow \Delta E = W_T = -T \cdot s$

Η μηχανική ενέργεια μειώνεται ακριβώς κατά $T \cdot s$ , όπου $s$ το μήκος της διαδρομής πάνω στην οποία υπάρχει ολίσθηση. Η ενέργεια αυτή δεν χάνεται: γίνεται θερμότητα $Q = T \cdot s$ στις δύο επιφάνειες. Η ολική ενέργεια διατηρείται πάντα· μειώνεται μόνο η μηχανική.

$\Delta E_{\mu\eta\chi} = W_T = -T \cdot s, \qquad Q = |W_T| = T \cdot s$

Ήξερες ότι;

Γύρω στο 1845 ο Τζέιμς Τζάουλ έδειξε ότι η «χαμένη» μηχανική ενέργεια δεν χάνεται. Άφηνε βάρη να πέφτουν και να γυρίζουν ένα πτερύγιο μέσα σε νερό· η τριβή του πτερυγίου με το νερό ζέσταινε το νερό, ελάχιστα αλλά μετρήσιμα. Όσο περισσότερο έργο έδιναν τα βάρη, τόσο περισσότερο ανέβαινε η θερμοκρασία. Γι' αυτό σήμερα η ενέργεια μετριέται σε joule.

Γρήγορος έλεγχος

Σώμα ολισθαίνει σε πλαγιά με τριβή, από ύψος $h$ μέχρι το έδαφος. Η μηχανική του ενέργεια:

Μέθοδος: ενέργεια με τριβή

Χώρισε τη διαδρομή σε τμήματα (λεία ή τραχιά, οριζόντια ή κεκλιμένα).
Σε κάθε τραχύ τμήμα βρες την κάθετη $N$ και την τριβή $T = \mu N$ (σε κεκλιμένο $N = mg\sigma\upsilon\nu\phi$ ).
Γράψε ΘΜΚΕ ανά τμήμα ( $K_2 - K_1 = W_w + W_T + W_F$ ) ή, ισοδύναμα, $E_2 - E_1 = W_T + W_F$ — όχι και τα δύο μαζί.
Η τελική ταχύτητα ενός τμήματος είναι η αρχική του επόμενου.
Θερμότητα: $Q = T \cdot s$ σε κάθε τραχύ τμήμα· έλεγχος: $E_{\alpha\rho\chi} = E_{\tau\varepsilon\lambda} + Q_{o\lambda}$ .

Παράδειγμα (σκιέρ): Σκιέρ μάζας $m = 60 \ \text{kg}$ ξεκινά από ηρεμία από ύψος $h = 20 \ \text{m}$ και κατεβαίνει πλαγιά μήκους $s = 50 \ \text{m}$ , φτάνοντας στη βάση με ταχύτητα $\upsilon = 10 \ \text{m/s}$ ( $g = 10 \ \text{m/s}^2$ ). Πόση μηχανική ενέργεια χάθηκε και πόση είναι η (σταθερή) δύναμη τριβής;

Λύση: Αναφορά η βάση της πλαγιάς. $E_{\alpha\rho\chi} = mgh = 60 \cdot 10 \cdot 20 = 12000 \ \text{J}$ και $E_{\tau\varepsilon\lambda} = \frac{1}{2}m\upsilon^2 = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 100 = 3000 \ \text{J}$ .

Μεταβολή: $\Delta E = 3000 - 12000 = -9000 \ \text{J}$ — έγιναν θερμότητα.

$W_T = \Delta E \Rightarrow -T \cdot 50 = -9000 \Rightarrow T = 180 \ \text{N}$

Χωρίς τριβή ο σκιέρ θα έφτανε με $\upsilon = \sqrt{2gh} = 20 \ \text{m/s}$ .

Παράδειγμα (τραχύ κεκλιμένο): Κιβώτιο μάζας $m = 2 \ \text{kg}$ αφήνεται από την κορυφή κεκλιμένου επιπέδου μήκους $s = 5 \ \text{m}$ , με $\eta\mu\phi = 0{,}6$ , $\sigma\upsilon\nu\phi = 0{,}8$ και $\mu = 0{,}25$ ( $g = 10 \ \text{m/s}^2$ ). Με τι ταχύτητα φτάνει στη βάση και πόση θερμότητα παράγεται;

Λύση: Ύψος $h = s\,\eta\mu\phi = 3 \ \text{m}$ . Κάθετη $N = mg\sigma\upsilon\nu\phi = 16 \ \text{N}$ , τριβή $T = \mu N = 4 \ \text{N}$ .

ΘΜΚΕ: $mgh - T s = \frac{1}{2}m\upsilon^2 \Rightarrow 60 - 20 = \upsilon^2 \Rightarrow \upsilon = \sqrt{40} \approx 6{,}3 \ \text{m/s}$ .

Θερμότητα: $Q = T s = 20 \ \text{J}$ . Έλεγχος: $E_{\alpha\rho\chi} = 60 \ \text{J} = K_{\tau\varepsilon\lambda} + Q = 40 + 20$ ✔

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Σώμα μάζας $m = 2 \ \text{kg}$ αφήνεται από την κορυφή λείας καμπύλης τσουλήθρας ύψους $h = 5 \ \text{m}$ . Στη βάση της συνεχίζει σε οριζόντιο δάπεδο με συντελεστή τριβής $\mu = 0{,}5$ , μέχρι να σταματήσει ( $g = 10 \ \text{m/s}^2$ ).

Δεδομένα: $m = 2 \ \text{kg}$ , $h = 5 \ \text{m}$ , $\upsilon_0 = 0$ , $\mu = 0{,}5$ .

Ζητούμενο: α) η ταχύτητα στη βάση της τσουλήθρας, β) η απόσταση που διανύει στο δάπεδο, γ) η θερμότητα που παράγεται.

Λύση: α) Στην τσουλήθρα έργο παράγει μόνο το βάρος (η $N$ είναι κάθετη στην τροχιά), άρα η μηχανική ενέργεια διατηρείται (αναφορά το δάπεδο):

$mgh = \frac{1}{2}m\upsilon^2 \Rightarrow \upsilon = \sqrt{2gh} = \sqrt{100} = 10 \ \text{m/s}$

β) Στο δάπεδο: $N = mg = 20 \ \text{N}$ , $T = \mu N = 10 \ \text{N}$ . ΘΜΚΕ μέχρι τη στάση:

$0 - \frac{1}{2}m\upsilon^2 = -T \cdot x \Rightarrow x = \frac{\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 100}{10} = 10 \ \text{m}$

γ) $Q = |W_T| = T \cdot x = 10 \cdot 10 = 100 \ \text{J}$ — ίση με την αρχική δυναμική ενέργεια $mgh = 100 \ \text{J}$ : όλη η μηχανική ενέργεια έγινε θερμότητα.

Απάντηση: α) $10 \ \text{m/s}$ β) $10 \ \text{m}$ γ) $100 \ \text{J}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Κιβώτιο με κινητική ενέργεια $50 \ \text{J}$ γλιστρά σε οριζόντιο δάπεδο όπου η τριβή είναι $T = 10 \ \text{N}$ . Πόση απόσταση διανύει μέχρι να σταματήσει;

Γρήγορος έλεγχος

Δύο όμοια κιβώτια κατεβαίνουν από το ίδιο ύψος πλαγιές με τον ίδιο συντελεστή τριβής: το Α μια πλαγιά μήκους $10 \ \text{m}$ , το Β μια πιο ήπια πλαγιά μήκους $20 \ \text{m}$ . Ποιο παράγει περισσότερη θερμότητα;

Κόλπο μνήμης

φαντάσου την ενέργεια σαν νερό σε κουβά με τρύπα. Χωρίς τριβή ο κουβάς είναι στεγανός: το νερό απλώς μεταγγίζεται από το «δοχείο» $U$ στο «δοχείο» $K$ και πίσω. Η τριβή είναι η τρύπα: σε κάθε μέτρο ολίσθησης στάζουν $T$ joule στο πάτωμα ως θερμότητα — και δεν γυρίζουν ποτέ πίσω.

Πρόκληση

Το σκέιτ στη ράμπα U. Σκέιτερ μάζας (μαζί με τη σανίδα) $50 \ \text{kg}$ αφήνεται από ύψος $h = 3 \ \text{m}$ στη μία πλευρά ράμπας σχήματος U. Οι καμπύλες πλευρές είναι λείες, αλλά ο οριζόντιος πάτος μήκους $d = 4 \ \text{m}$ έχει τριβή $T = 75 \ \text{N}$ ( $g = 10 \ \text{m/s}^2$ ). α) Σε τι ύψος ανεβαίνει στην απέναντι πλευρά; β) Πόσες φορές διασχίζει ολόκληρο τον πάτο και πού σταματά τελικά;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Αρχική μηχανική ενέργεια (αναφορά ο πάτος): $E_0 = mgh = 1500 \ \text{J}$ . Κάθε διάσχιση του πάτου κοστίζει $T \cdot d = 300 \ \text{J}$ .

(α) Μετά από μία διάσχιση: $E_1 = 1200 \ \text{J} = mgh_1 \Rightarrow h_1 = \frac{1200}{500} = 2{,}4 \ \text{m}$ .

(β) Όλη η ενέργεια γίνεται θερμότητα όταν $T \cdot s_{o\lambda} = 1500 \Rightarrow s_{o\lambda} = 20 \ \text{m}$ , δηλαδή ακριβώς $5$ διασχίσεις του πάτου. Μετά από περιττό αριθμό διασχίσεων βρίσκεται στην απέναντι πλευρά από την αφετηρία.

Απάντηση: α) $2{,}4 \ \text{m}$ β) $5$ διασχίσεις· σταματά στην άκρη του πάτου απέναντι από το σημείο εκκίνησης.

Συνηθισμένα λάθη

Διατήρηση μηχανικής ενέργειας με τριβή: Διόρθωση: $E_{\tau\varepsilon\lambda} = E_{\alpha\rho\chi} - T \cdot s$ .
Διπλομέτρηση: $W_w$ στο ΘΜΚΕ και μεταβολή της $U$ στην ίδια εξίσωση. Διόρθωση: ή το ένα ή το άλλο.
Τριβή και στο λείο τμήμα: μετράει μόνο το μήκος του τραχιού τμήματος. Διόρθωση: $Q = T \cdot s_{\tau\rho\alpha\chi}$ .
$N = mg$ στο κεκλιμένο: εκεί η τριβή είναι $\mu mg\sigma\upsilon\nu\phi$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

Με τριβή η μηχανική ενέργεια μειώνεται: $\Delta E = W_T = -T \cdot s$ .
Η «χαμένη» μηχανική ενέργεια γίνεται θερμότητα $Q = T \cdot s$ · η ολική ενέργεια διατηρείται.
Το έργο της τριβής εξαρτάται από το μήκος της διαδρομής, όχι μόνο από τα άκρα.
Σε διαδρομές με τμήματα: ΘΜΚΕ τμήμα-τμήμα, με την τελική ταχύτητα του ενός αρχική του επόμενου.

Η τριβή «τρώει» μηχανική ενέργεια

Αν όμως υπάρχει τριβή, η μηχανική ενέργεια μειώνεται: η «χαμένη» ενέργεια γίνεται θερμότητα, ίση με

|W_T| = T \cdot x

. Τότε δουλεύεις με ΘΜΚΕ αντί για διατήρηση.

Γιατί; Το ΘΜΚΕ με βάρος και τριβή δίνει

W_w + W_T = K_2 - K_1

. Αφού

W_w = U_1 - U_2

(K_2 + U_2) - (K_1 + U_1) = W_T \Rightarrow \Delta E = W_T = -T \cdot s

Η μηχανική ενέργεια μειώνεται ακριβώς κατά

T \cdot s

, όπου

s

το μήκος της διαδρομής πάνω στην οποία υπάρχει ολίσθηση. Η ενέργεια αυτή δεν χάνεται: γίνεται θερμότητα

Q = T \cdot s

στις δύο επιφάνειες. Η ολική ενέργεια διατηρείται πάντα· μειώνεται μόνο η μηχανική.