⚖️

Βάρος & Μάζα

w = mg, επιτάχυνση της βαρύτητας, μάζα ως μέτρο της αδράνειας, ζυγός σύγκρισης

Γιατί στη Σελήνη σηκώνεις εύκολα ένα βαρύ κιβώτιο, αλλά δυσκολεύεσαι το ίδιο να το σταματήσεις όταν γλιστρά;

Στη Σελήνη κάθε σώμα ζυγίζει περίπου έξι φορές λιγότερο από ό,τι στη Γη, οπότε το σήκωμα είναι παιχνιδάκι. Όμως ένα κιβώτιο που γλιστρά οριζόντια προς το μέρος σου θέλει την ίδια δύναμη για να σταματήσει στον ίδιο χρόνο όσο και στη Γη. Ο λόγος: άλλο το βάρος και άλλο η μάζα. Εδώ θα τα ξεχωρίσεις οριστικά.

Το βάρος

Το βάρος $w = mg$ είναι η ελκτική δύναμη της Γης — μην το μπερδεύεις με τη μάζα: η μάζα είναι ίδια παντού, το βάρος αλλάζει από τόπο σε τόπο γιατί αλλάζει το $g$ .

Το βάρος είναι δύναμη: διάνυσμα, κατακόρυφο προς το κέντρο της Γης, με μονάδα το N. Η σχέση του με τη μάζα προκύπτει από τον 2ο νόμο: σε σώμα που πέφτει ελεύθερα η μόνη δύναμη είναι το βάρος και η επιτάχυνση είναι $g$ , άρα $w = mg$ . Το $g$ λέγεται επιτάχυνση της βαρύτητας· στην επιφάνεια της Γης είναι περίπου $9{,}8 \ \text{m/s}^2$ (στις ασκήσεις $10 \ \text{m/s}^2$ ), λίγο μεγαλύτερο στους πόλους ( $\approx 9{,}83$ ) από ό,τι στον ισημερινό ( $\approx 9{,}78$ ), και μικραίνει όσο απομακρυνόμαστε από τη Γη.

$w = m g, \qquad \frac{w_1}{w_2} = \frac{m_1}{m_2} \ (\text{στον ίδιο τόπο})$

Γρήγορος έλεγχος

Αστροναύτης έχει στη Γη μάζα $60 \ \text{kg}$ . Στη Σελήνη, όπου $g_{\Sigma} = 1{,}6 \ \text{m/s}^2$ , η μάζα και το βάρος του είναι:

Η μάζα

Η μάζα $m$ ενός σώματος είναι το μέτρο της αδράνειάς του: όσο μεγαλύτερη η μάζα, τόσο μεγαλύτερη δύναμη χρειάζεται για να αλλάξει η ταχύτητά του κατά το ίδιο ποσό στον ίδιο χρόνο. Είναι μονόμετρο μέγεθος, με μονάδα στο S.I. το χιλιόγραμμο ( $1 \ \text{kg}$ ), και δεν αλλάζει από τόπο σε τόπο.

Πώς τη μετράμε; Με τον ζυγό σύγκρισης (ζυγαριά με δύο δίσκους): στον ίδιο τόπο το $g$ είναι ίδιο για όλα τα σώματα, οπότε ίσα βάρη σημαίνουν ίσες μάζες. Ο ζυγός συγκρίνει την άγνωστη μάζα με γνωστά σταθμά και δίνει την ίδια ένδειξη στη Γη και στη Σελήνη. Αντίθετα, ένα δυναμόμετρο μετρά βάρος και η ένδειξή του αλλάζει με τον τόπο.

Κόλπο μνήμης

ρώτα «αλλάζει αν πάω στη Σελήνη;». Αν ναι, είναι βάρος (σε N)· αν όχι, είναι μάζα (σε kg). Και θυμήσου ότι στην καθομιλουμένη το «ζυγίζω 60 κιλά» σημαίνει «έχω μάζα 60 kg» — το βάρος σου είναι περίπου $600 \ \text{N}$ .

Ήξερες ότι;

Για 130 χρόνια (1889–2019) το χιλιόγραμμο οριζόταν από έναν μεταλλικό κύλινδρο από λευκόχρυσο και ιρίδιο, φυλαγμένο σε θησαυροφυλάκιο κοντά στο Παρίσι. Από τις 20 Μαΐου 2019 ορίζεται μέσω μιας σταθεράς της φύσης, της σταθεράς του Planck, ώστε να μπορεί να αναπαραχθεί σε κάθε κατάλληλα εξοπλισμένο εργαστήριο του κόσμου.

Μέθοδος: ασκήσεις βάρους και μάζας

Ξεχώρισε τι δίνεται: μάζα (kg, g) ή βάρος (N).
Μετάτρεψε τη μάζα σε kg.
Βάρος από μάζα: $w = mg$ με το $g$ του τόπου· μάζα από βάρος: $m = \frac{w}{g}$ .
Αλλαγή τόπου: η μάζα μένει ίδια, το βάρος αλλάζει ανάλογα με το $g$ , $\frac{w_2}{w_1} = \frac{g_2}{g_1}$ .
Στον ίδιο τόπο, τα βάρη είναι ανάλογα των μαζών.

Παράδειγμα: Σακίδιο έχει μάζα $m = 8 \ \text{kg}$ . α) Πόσο είναι το βάρος του στη Γη ( $g = 10 \ \text{m/s}^2$ ); β) Πόση είναι η μάζα και πόσο το βάρος του στον Άρη, όπου $g_A = 3{,}7 \ \text{m/s}^2$ ;

Λύση: α) $w = mg = 8 \cdot 10 = 80 \ \text{N}$ .

β) Η μάζα δεν αλλάζει: $m = 8 \ \text{kg}$ . Βάρος: $w_A = mg_A = 8 \cdot 3{,}7 = 29{,}6 \ \text{N}$ .

Παράδειγμα (δυναμόμετρο και ζυγός): Δυναμόμετρο δείχνει $15 \ \text{N}$ όταν κρεμάμε από αυτό ένα σώμα στη Γη ( $g = 10 \ \text{m/s}^2$ ). α) Ποια είναι η μάζα του σώματος; β) Τι θα δείξει το δυναμόμετρο και τι ένας ζυγός σύγκρισης στη Σελήνη ( $g_\Sigma = 1{,}6 \ \text{m/s}^2$ );

Λύση: α) $m = \frac{w}{g} = \frac{15}{10} = 1{,}5 \ \text{kg}$ .

β) Το δυναμόμετρο μετρά βάρος: $w_\Sigma = 1{,}5 \cdot 1{,}6 = 2{,}4 \ \text{N}$ . Ο ζυγός σύγκρισης μετρά μάζα, συγκρίνοντας με σταθμά που «ελαφραίνουν» κι αυτά στον ίδιο λόγο: θα δείξει πάλι $1{,}5 \ \text{kg}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Ζυγός σύγκρισης ισορροπεί στη Γη με ένα σώμα στον έναν δίσκο και σταθμά $2 \ \text{kg}$ στον άλλο. Αν μεταφέρουμε ζυγό, σώμα και σταθμά στη Σελήνη:

Γρήγορος έλεγχος

Ποιο από τα παρακάτω είναι βάρος και όχι μάζα;

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Ρομποτικό όχημα μάζας $m = 20 \ \text{kg}$ πρόκειται να σταλεί στη Σελήνη ( $g_\Sigma = 1{,}6 \ \text{m/s}^2$ ). Στη Γη ( $g = 10 \ \text{m/s}^2$ ) οι μηχανικοί το δοκιμάζουν σε λείο οριζόντιο δάπεδο, όπου ο κινητήρας του ασκεί οριζόντια δύναμη $F = 30 \ \text{N}$ .

Δεδομένα: $m = 20 \ \text{kg}$ , $g = 10 \ \text{m/s}^2$ , $g_\Sigma = 1{,}6 \ \text{m/s}^2$ , $F = 30 \ \text{N}$ .

Ζητούμενα: α) το βάρος του στη Γη και στη Σελήνη, β) η επιτάχυνσή του στη Γη, γ) η επιτάχυνσή του στη Σελήνη με την ίδια οριζόντια δύναμη σε λείο οριζόντιο έδαφος, δ) η κατακόρυφη δύναμη που χρειάζεται για να το ανυψώσουν με σταθερή ταχύτητα σε κάθε τόπο.

Λύση: α) $w = 20 \cdot 10 = 200 \ \text{N}$ και $w_\Sigma = 20 \cdot 1{,}6 = 32 \ \text{N}$ .

β) $\alpha = \frac{F}{m} = \frac{30}{20} = 1{,}5 \ \text{m/s}^2$ .

γ) Η μάζα (αδράνεια) δεν άλλαξε, άρα πάλι $\alpha = 1{,}5 \ \text{m/s}^2$ — το βάρος είναι κατακόρυφο και δεν επηρεάζει την οριζόντια κίνηση σε λείο έδαφος.

δ) Σταθερή ταχύτητα σημαίνει $\Sigma F = 0$ , άρα $F = w$ : $200 \ \text{N}$ στη Γη και μόλις $32 \ \text{N}$ στη Σελήνη.

Απάντηση: α) $200 \ \text{N}$ και $32 \ \text{N}$ β) και γ) $1{,}5 \ \text{m/s}^2$ δ) $200 \ \text{N}$ και $32 \ \text{N}$ .

Πρόκληση

Πόσο ζυγίζεις στον Διεθνή Διαστημικό Σταθμό; Ο Διεθνής Διαστημικός Σταθμός (ISS) περιφέρεται σε ύψος περίπου $400 \ \text{km}$ , όπου η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι περίπου $8{,}7 \ \text{m/s}^2$ . Αστροναύτης έχει μάζα $70 \ \text{kg}$ . α) Πόσο είναι το βάρος του εκεί; β) Τότε γιατί «αιωρείται»; γ) Πώς μετρούν τη μάζα του μέσα στον σταθμό, αφού μια ζυγαριά μπάνιου θα έδειχνε μηδέν;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

α) $w = mg' = 70 \cdot 8{,}7 = 609 \ \text{N}$ — περίπου το $87\%$ του βάρους του στη Γη ( $700 \ \text{N}$ ). Η βαρύτητα κάθε άλλο παρά έχει εξαφανιστεί!

β) Ο σταθμός και ο αστροναύτης πέφτουν μαζί διαρκώς προς τη Γη με την ίδια επιτάχυνση (κινούνται σε τροχιά). Όπως σε ασανσέρ που πέφτει ελεύθερα, το πάτωμα δεν χρειάζεται να του ασκήσει δύναμη, άρα η ζυγαριά δείχνει μηδέν.

γ) Εκμεταλλεύονται την αδράνεια: ασκούν γνωστή δύναμη $F$ (π.χ. με ελατήρια), μετρούν την επιτάχυνση $\alpha$ και βρίσκουν $m = \frac{F}{\alpha}$ από τον 2ο νόμο.

Απάντηση: α) περίπου $609 \ \text{N}$ β) πέφτει μαζί με τον σταθμό γ) μέσω του $m = \frac{F}{\alpha}$ .

Συνηθισμένα λάθη

Μάζα και βάρος: η μάζα (kg) δεν αλλάζει από τόπο σε τόπο, το βάρος (N) εξαρτάται από το $g$ .
Βάρος σε kg: «βάρος 5 κιλά» είναι λάθος στη Φυσική. Διόρθωση: σώμα $5 \ \text{kg}$ έχει βάρος $mg = 50 \ \text{N}$ .
Λιγότερο βάρος = λιγότερη αδράνεια: στη Σελήνη χρειάζεσαι την ίδια οριζόντια δύναμη για την ίδια επιτάχυνση. Διόρθωση: την αδράνεια τη μετρά η μάζα.
Γραμμάρια στο $w = mg$ : Διόρθωση: $250 \ \text{g} = 0{,}25 \ \text{kg}$ , άρα $w = 2{,}5 \ \text{N}$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

Βάρος: η ελκτική δύναμη της Γης, $w = mg$ , σε N· αλλάζει από τόπο σε τόπο μαζί με το $g$ .
Μάζα: μέτρο της αδράνειας, σε kg· ίδια παντού.
Ζυγός σύγκρισης → μάζα· δυναμόμετρο → βάρος.
Στον ίδιο τόπο τα βάρη είναι ανάλογα των μαζών.

Το βάρος

Το βάρος

w = mg

είναι η ελκτική δύναμη της Γης — μην το μπερδεύεις με τη μάζα: η μάζα είναι ίδια παντού, το βάρος αλλάζει από τόπο σε τόπο γιατί αλλάζει το

g

g

, άρα

w = mg

. Το

g

λέγεται επιτάχυνση της βαρύτητας· στην επιφάνεια της Γης είναι περίπου

9{,}8 \ \text{m/s}^2

(στις ασκήσεις

10 \ \text{m/s}^2

), λίγο μεγαλύτερο στους πόλους (

\approx 9{,}83

) από ό,τι στον ισημερινό (

\approx 9{,}78

), και μικραίνει όσο απομακρυνόμαστε από τη Γη.

Η μάζα

Η μάζα

m

ενός σώματος είναι το μέτρο της αδράνειάς του: όσο μεγαλύτερη η μάζα, τόσο μεγαλύτερη δύναμη χρειάζεται για να αλλάξει η ταχύτητά του κατά το ίδιο ποσό στον ίδιο χρόνο. Είναι μονόμετρο μέγεθος, με μονάδα στο S.I. το χιλιόγραμμο (

1 \ \text{kg}

), και δεν αλλάζει από τόπο σε τόπο.

Πώς τη μετράμε; Με τον ζυγό σύγκρισης (ζυγαριά με δύο δίσκους): στον ίδιο τόπο το

g

είναι ίδιο για όλα τα σώματα, οπότε ίσα βάρη σημαίνουν ίσες μάζες. Ο ζυγός συγκρίνει την άγνωστη μάζα με γνωστά σταθμά και δίνει την ίδια ένδειξη στη Γη και στη Σελήνη. Αντίθετα, ένα δυναμόμετρο μετρά βάρος και η ένδειξή του αλλάζει με τον τόπο.