⚓

Σύνθεση Πολλών Δυνάμεων & Ισορροπία

ΣFx και ΣFy, ισορροπία ομοεπίπεδων δυνάμεων, τάσεις νημάτων

Γιατί το σχοινί για τα ρούχα δεν γίνεται ποτέ τελείως ίσιο, όσο κι αν το τεντώσεις;

Κρέμασε μια μπλούζα στη μέση ενός σχοινιού: όσο κι αν το τεντώσεις, πάντα «κάνει κοιλιά». Η εξήγηση κρύβεται στις συνιστώσες των δυνάμεων, που θα μάθεις εδώ. Με τα ίδια εργαλεία θα βρίσκεις τις τάσεις σε νήματα, σχοινιά και καλώδια που κρατούν ένα σώμα ακίνητο.

Σύνθεση πολλών ομοεπίπεδων δυνάμεων

Με τρεις ή περισσότερες πλάγιες δυνάμεις ο κανόνας του παραλληλογράμμου γίνεται κουραστικός. Η λύση είναι η ανάλυση σε συνιστώσες: πάνω σε κάθε άξονα οι δυνάμεις γίνονται συγγραμμικές και προστίθενται με απλή άλγεβρα.

Αναλύουμε κάθε δύναμη σε συνιστώσες στους άξονες $x$ και $y$ .
Αθροίζουμε με πρόσημα: $\Sigma F_x$ και $\Sigma F_y$ .
Ξανασυνθέτουμε τις δύο κάθετες συνιστώσες με το Πυθαγόρειο και βρίσκουμε τη γωνία από την εφαπτομένη, $\varepsilon\varphi\varphi = \frac{\Sigma F_y}{\Sigma F_x}$ .

$\Sigma F_x = F_{1x} + F_{2x} + \dots, \quad \Sigma F_y = F_{1y} + F_{2y} + \dots, \quad \Sigma F = \sqrt{(\Sigma F_x)^2 + (\Sigma F_y)^2}$

Παράδειγμα (σύνθεση τριών δυνάμεων): Σε σώμα ασκούνται τρεις ομοεπίπεδες δυνάμεις: $F_1 = 20 \ \text{N}$ κατά τον θετικό άξονα $x$ , $F_2 = 20 \ \text{N}$ με γωνία $60^{\circ}$ πάνω από τον θετικό άξονα $x$ , και $F_3 = 10\sqrt{3} \ \text{N}$ κατά τον αρνητικό άξονα $y$ . Να βρεθεί η συνισταμένη.

Λύση: Ανάλυση της $F_2$ : $F_{2x} = 20\sigma\upsilon\nu 60^{\circ} = 10 \ \text{N}$ και $F_{2y} = 20\eta\mu 60^{\circ} = 10\sqrt{3} \ \text{N}$ .

$\Sigma F_x = 20 + 10 = 30 \ \text{N}, \qquad \Sigma F_y = 10\sqrt{3} - 10\sqrt{3} = 0$

Άρα $\Sigma F = \sqrt{30^2 + 0^2} = 30 \ \text{N}$ , κατά τον θετικό άξονα $x$ . Οι κατακόρυφες συνιστώσες αλληλοαναιρέθηκαν — γι' αυτό η ανάλυση σε άξονες είναι τόσο δυνατό εργαλείο.

Γρήγορος έλεγχος

Σε σώμα ασκούνται τρεις δυνάμεις με $\Sigma F_x = -6 \ \text{N}$ και $\Sigma F_y = 8 \ \text{N}$ . Το μέτρο της συνισταμένης είναι:

Πειραματίσου με τα βάρη στη ζυγαριά μέχρι να ισορροπήσει: θα ανακαλύψεις ότι ισορροπία σημαίνει πλήρης αλληλοαναίρεση των δράσεων — ακριβώς όπως στις ομοεπίπεδες δυνάμεις, όπου πρέπει να μηδενίζονται ταυτόχρονα και το $\Sigma F_x$ και το $\Sigma F_y$!

Ισορροπία ομοεπίπεδων δυνάμεων

Ένα σώμα ισορροπεί (μένει ακίνητο ή κινείται ευθύγραμμα ομαλά) όταν η συνισταμένη όλων των δυνάμεων είναι μηδέν. Στο επίπεδο αυτό σπάει σε δύο εξισώσεις:

$\Sigma F_x = 0 \quad \kappa\alpha\iota \quad \Sigma F_y = 0$

Ισοδύναμα: αν σε σώμα που ισορροπεί ασκούνται τρεις δυνάμεις, η καθεμιά είναι αντίθετη της συνισταμένης των άλλων δύο.

Μέθοδος: ισορροπία ομοεπίπεδων δυνάμεων

Σχεδίασε ΟΛΕΣ τις δυνάμεις στο σώμα — βάρος $w = mg$ , κάθετη αντίδραση $N$ από επιφάνειες, τάσεις νημάτων, τριβές.
Διάλεξε βολικούς άξονες — συνήθως έναν παράλληλο στην κίνηση ή στην επιφάνεια, ώστε να χρειαστεί να αναλύσεις όσο λιγότερες δυνάμεις γίνεται.
Ανάλυσε όσες δυνάμεις είναι πλάγιες.
Γράψε τις δύο εξισώσεις $\Sigma F_x = 0$ και $\Sigma F_y = 0$ και λύσε το σύστημα.

Γρήγορος έλεγχος

Σώμα ισορροπεί με την επίδραση τριών δυνάμεων. Οι δύο είναι κάθετες μεταξύ τους, με μέτρα $5 \ \text{N}$ και $12 \ \text{N}$ . Η τρίτη δύναμη έχει μέτρο:

Παράδειγμα (ισορροπία με δύο νήματα): Φωτιστικό μάζας $m = 4 \ \text{kg}$ κρέμεται ακίνητο από δύο όμοια νήματα, που σχηματίζουν το καθένα γωνία $30^{\circ}$ με την οριζόντια οροφή, συμμετρικά ( $g = 10 \ \text{m/s}^2$ ). Να βρεθούν οι τάσεις των νημάτων.

Λύση: Δυνάμεις: βάρος $w = 40 \ \text{N}$ κατακόρυφα προς τα κάτω και τάσεις $T_1$ , $T_2$ κατά μήκος των νημάτων. Άξονες: $x$ οριζόντιος, $y$ κατακόρυφος.

$\Sigma F_x = 0$ : $T_1\sigma\upsilon\nu 30^{\circ} = T_2\sigma\upsilon\nu 30^{\circ} \Rightarrow T_1 = T_2 = T$ .

$\Sigma F_y = 0$ : $2T\eta\mu 30^{\circ} = w \Rightarrow 2T \cdot 0{,}5 = 40 \Rightarrow T = 40 \ \text{N}$ .

Κάθε νήμα τεντώνεται με δύναμη ίση με όλο το βάρος! Όσο πιο κοντά στην οριζόντια είναι τα νήματα, τόσο μεγαλύτερες τάσεις χρειάζονται — γι' αυτό ένα σχοινί που κρατά βάρος δεν γίνεται ποτέ τελείως οριζόντιο.

Κόλπο μνήμης

«τρεις σε ισορροπία = κλειστό τρίγωνο». Αν σχεδιάσεις τρεις δυνάμεις που ισορροπούν τη μία μετά την άλλη (αρχή της επόμενης στο τέλος της προηγούμενης), σχηματίζουν κλειστό τρίγωνο — δεν περισσεύει τίποτα, άρα η συνισταμένη είναι μηδέν. Στο φωτιστικό με τα δύο νήματα των $30^{\circ}$ το τρίγωνο είναι ισόπλευρο: γι' αυτό κάθε τάση βγαίνει ίση με το βάρος!

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Σώμα βάρους $w = 100 \ \text{N}$ κρέμεται ακίνητο από δύο νήματα. Το νήμα 1 είναι οριζόντιο και δεμένο σε κατακόρυφο τοίχο· το νήμα 2 είναι δεμένο στην οροφή και σχηματίζει γωνία $\varphi$ με την κατακόρυφο, με $\eta\mu\varphi = 0{,}6$ και $\sigma\upsilon\nu\varphi = 0{,}8$ .

Δεδομένα: $w = 100 \ \text{N}$ , $\eta\mu\varphi = 0{,}6$ , $\sigma\upsilon\nu\varphi = 0{,}8$ ( $\varphi$ η γωνία του νήματος 2 με την κατακόρυφο).

Ζητούμενα: α) οι τάσεις $T_1$ και $T_2$ των νημάτων, β) τι συμβαίνει στις τάσεις αν η γωνία $\varphi$ αυξηθεί;

Λύση: Άξονες: $x$ οριζόντιος, $y$ κατακόρυφος. Αναλύουμε μόνο την $T_2$ : $T_{2x} = T_2\eta\mu\varphi$ (αντίθετα από την $T_1$ ) και $T_{2y} = T_2\sigma\upsilon\nu\varphi$ (προς τα πάνω).

α) $\Sigma F_y = 0$ : $T_2 \cdot 0{,}8 = 100 \Rightarrow T_2 = 125 \ \text{N}$ .

$\Sigma F_x = 0$ : $T_1 = T_2 \cdot 0{,}6 = 75 \ \text{N}$ .

β) Γενικά $T_2 = \frac{w}{\sigma\upsilon\nu\varphi}$ και $T_1 = w\,\varepsilon\varphi\varphi$ . Όσο μεγαλώνει η $\varphi$ , το $\sigma\upsilon\nu\varphi$ μικραίνει και η $\varepsilon\varphi\varphi$ μεγαλώνει, άρα αυξάνονται και οι δύο τάσεις.

Απάντηση: α) $T_1 = 75 \ \text{N}$ , $T_2 = 125 \ \text{N}$ β) αυξάνονται και οι δύο.

Ήξερες ότι;

Τα καλώδια της ηλεκτροδότησης ανάμεσα στις κολόνες αφήνονται επίτηδες να «κάνουν κοιλιά». Αν τα τέντωναν σχεδόν οριζόντια, η τάση που θα χρειαζόταν για να κρατηθεί ακόμα και το ίδιο τους το βάρος θα γινόταν τεράστια — και τον χειμώνα, όταν το μέταλλο συστέλλεται με το κρύο και τα καλώδια κονταίνουν, θα κινδύνευαν να σπάσουν.

Γρήγορος έλεγχος

Φωτιστικό κρέμεται από δύο συμμετρικά νήματα. Αν τα νήματα γίνουν πιο οριζόντια (μικρότερη γωνία με την οροφή), η τάση κάθε νήματος:

Πρόκληση

Μπορείς να τεντώσεις ένα σχοινί τελείως ίσιο; Σχοινί είναι δεμένο σε δύο καρφιά στο ίδιο ύψος, και στη μέση του κρεμάμε μπλούζα βάρους $w = 2 \ \text{N}$ . Κάθε μισό του σχοινιού σχηματίζει γωνία $\theta$ με την οριζόντια. α) Βρες την τάση $T$ συναρτήσει της $\theta$ . β) Πόση είναι η τάση για $\theta = 30^{\circ}$ , για $\eta\mu\theta = 0{,}1$ και για $\eta\mu\theta = 0{,}01$ ; γ) Τι σημαίνει αυτό για ένα σχοινί «τελείως» οριζόντιο;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

α) Λόγω συμμετρίας οι δύο τάσεις είναι ίσες. $\Sigma F_y = 0$ : $2T\eta\mu\theta = w \Rightarrow T = \frac{w}{2\eta\mu\theta}$ .

β) Για $\theta = 30^{\circ}$ : $T = \frac{2}{2 \cdot 0{,}5} = 2 \ \text{N}$ . Για $\eta\mu\theta = 0{,}1$ : $T = 10 \ \text{N}$ . Για $\eta\mu\theta = 0{,}01$ : $T = 100 \ \text{N}$ — πενήντα φορές το βάρος της μπλούζας!

γ) Για $\theta \to 0$ είναι $\eta\mu\theta \to 0$ και $T \to \infty$ . Κανένα σχοινί δεν αντέχει «άπειρη» τάση, άρα πάντα θα κάνει κοιλιά: η κατακόρυφη συνιστώσα που κρατά τη μπλούζα πρέπει να υπάρχει, και χωρίς γωνία δεν υπάρχει.

Απάντηση: $T = \frac{w}{2\eta\mu\theta}$ · $2$ , $10$ και $100 \ \text{N}$ · ποτέ τελείως ίσιο.

Συνηθισμένα λάθη

Ισορροπία μόνο σε έναν άξονα: για ισορροπία πρέπει $\Sigma F_x = 0$ και $\Sigma F_y = 0$ ταυτόχρονα.
Πρόσθεση $\Sigma F_x + \Sigma F_y$ : οι δύο συνιστώσες είναι κάθετες. Διόρθωση: $\Sigma F = \sqrt{(\Sigma F_x)^2 + (\Sigma F_y)^2}$ .
Τάση = μισό βάρος σε δύο νήματα: ισχύει μόνο για κατακόρυφα νήματα. Διόρθωση: $2T\eta\mu\theta = w$ , με $\theta$ τη γωνία με την οριζόντια.
Γωνία με την κατακόρυφο αντί για την οριζόντια: Διόρθωση: σημείωσε στο σχήμα με ποιον άξονα σχηματίζεται η γωνία πριν γράψεις ημ ή συν.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Πολλές δυνάμεις: ανάλυση όλων, $\Sigma F_x$ και $\Sigma F_y$ , μετά $\Sigma F = \sqrt{(\Sigma F_x)^2 + (\Sigma F_y)^2}$ .
Ισορροπία: $\Sigma F_x = 0$ και $\Sigma F_y = 0$ (ηρεμία ή ευθύγραμμη ομαλή κίνηση).
Τρεις δυνάμεις σε ισορροπία: η καθεμιά αντίθετη της συνισταμένης των άλλων δύο.
Όσο πιο οριζόντια τα νήματα, τόσο μεγαλύτερες οι τάσεις.

Σύνθεση πολλών ομοεπίπεδων δυνάμεων

Αναλύουμε κάθε δύναμη σε συνιστώσες στους άξονες

x

και

y

Αθροίζουμε με πρόσημα:

\Sigma F_x

και

\Sigma F_y

Ξανασυνθέτουμε τις δύο κάθετες συνιστώσες με το Πυθαγόρειο και βρίσκουμε τη γωνία από την εφαπτομένη,

\varepsilon\varphi\varphi = \frac{\Sigma F_y}{\Sigma F_x}